2022-2023學年四川省涼山州高二下學期期末考試數(shù)學（理）試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A．或 B．或C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意利用集合的并集運算求解.【詳解】由題意可得：.故選：C.2．復數(shù)的共軛復數(shù)的虛部為（    ）A． B． C．2 D．-2【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則，求得，得到共軛復數(shù)為，即可求解.【詳解】由復數(shù)，可得其共軛復數(shù)為，所以共軛復數(shù)的虛部為.故選：C.3．某學校數(shù)學教研組舉辦了數(shù)學知識競賽（滿分100分），其中高一?高二?高三年級參賽選手的人數(shù)分別為.現(xiàn)用分層抽樣的方法從三個年級中抽取樣本，經(jīng)計算可得高二?高三年級參賽選手成績的樣本平均數(shù)分別為76，82，全校參賽選手成績的樣本平均數(shù)為75，則高一年級參賽選手成績的樣本平均數(shù)為（    ）A．69 B．70 C．73 D．79【答案】B【分析】利用分層抽樣的特點及平均數(shù)公式即可求解.【詳解】高一?高二?高三年級參賽選手的人數(shù)分別為.現(xiàn)用分層抽樣的方法從三個年級中抽取樣本，則樣本中高一?高二?高三年級參賽選手的人數(shù)比為，因為高二?高三年級參賽選手成績的樣本平均數(shù)分別為76，82，全校參賽選手成績的樣本平均數(shù)為75，設高一年級參賽選手成績的樣本平均數(shù)為，則，解得.所以高一年級參賽選手成績的樣本平均數(shù)為.故選：B.4．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（    ）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)漸近線方程可得，再由可求得結果.【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以，所以雙曲線的離心率為，故選：B5．在正方體中，分別為的中點，則異面直線與所成角的大小為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得∥，則異面直線與所成角（或其補角），進而可得出為等邊三角形，從而得出所求角的大小為60°.【詳解】如下圖所示，連接，因為分別為的中點，則∥，又因為∥，且，則為平行四邊形，可得∥，所以∥，可知異面直線與所成角為（或其補角），又因為，即為等邊三角形所以，即異面直線與所成角的大小為.故選：B.  6．已知，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得，，結合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得，即可求解.【詳解】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以，又由且，所以，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，即，所以.故選：B.7．將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度后，得到的圖象關于軸對稱，則的可能取值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得平移后的函數(shù)解析式為，結合奇偶性可得，運算求解即可.【詳解】將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度后，得到，得到的圖象關于軸對稱，則，解得，當時，；當時，；當時，；結合選項可知：B正確；A、C、D錯誤.故選：B.8．已知向量，則“”是“”的（    ）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)共線向量的坐標表示，以及充分、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】當時，可得，此時，所以；反之，若，可得，解得，所以是成立的充分不必要條件.故選：C.9．已知是函數(shù)的一個零點，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意可得，再根據(jù)二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關系將弦化切，最后代入計算可得.【詳解】依題意，所以，所以.故選：B10．已知數(shù)列的前項和為，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式得到，然后求和即可求解.【詳解】因為數(shù)列的前項和為，且，則，，，，所以，，依次類推，，，，所以.故選：D.11．已知直線與拋物線交于兩點，與圓交于兩點，在軸的同側(cè)，則（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由已知聯(lián)立方程組，利用設而不求法結合拋物線定義表示，并求其值.【詳解】由已知拋物線的焦點的坐標為，直線的方程為，聯(lián)立，消得，設，則，所以，圓的圓心坐標為，半徑為1，由已知可得，所以  故選：A.12．設，且滿足，則下列判斷正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由，構造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性和值域求解判斷.【詳解】因為，所以，則，令，則，所以在上遞增，且，當時，，當時，，所以當時，，即，則，B選項錯；所以，則，即，C選項錯；當時，，即，則，A選項錯；所以，則，即，D選項正確.故選:D. 二、填空題13．的展開式中的系數(shù)為          .（用數(shù)字作答）.【答案】【分析】化簡，結合二項展開式的形式，即可求解.【詳解】由，所以的展開式中項為，所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.14．若向量，則的面積為          .【答案】1【分析】根據(jù)條件，利用數(shù)量積求出的余弦值，再利用平方關系得出，再利用面積公式即可求出結果.【詳解】因為，所以，所以，所以，故答案為：1.15．曲線在點處的切線與直線平行，則          .【答案】/【分析】由題意可得，從而可求出的值.【詳解】由，得，因為曲線在點處的切線與直線平行，所以，得，故答案為：16．已知函數(shù).給出下列四個結論：①函數(shù)的圖象存在對稱中心；②函數(shù)是上的偶函數(shù)；③；④若，則函數(shù)有兩個零點.其中，所有正確結論的序號為          .【答案】②③【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義、零點的定義，結合導數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由題意可得：，且函數(shù)的定義域為.對于②：因為，所以函數(shù)是上的偶函數(shù)，故②正確；對于①：假設函數(shù)的圖象存在對稱中心，則，若，因為可得，則，所以，可知函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，顯然不成立；若，則（不是定值），這與（為定值）相矛盾；綜上所述：假設不成立，所以函數(shù)的圖象不存在對稱中心，故①錯誤；對于③：因為，當且僅當時，等號成立，當時，；當（當且僅當時，等號成立）時，，當且僅當時，等號成立；綜上所述：，當且僅當時，等號成立，故③正確；對于④：令，整理得，由③可得，整理得，構建，則，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，且當x趨近于0時，趨近于，當x趨近于時，趨近于0，  由題意可得：函數(shù)有兩個零點，等價于與有兩個不同的交點，則，因為?，故④錯誤；故答案為：②③.【點睛】關鍵點睛：利用函數(shù)極值與最值的關系進行判斷是解題的關鍵. 三、解答題17．已知是等差數(shù)列，且.(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）直接根據(jù)等差數(shù)列公式計算得到答案;（2）確定，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式計算即可.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，且，則，所以.（2）由（1）可得，所以即數(shù)列的前項和為.18．在中，角所對的邊分別為.已知.(1)求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)余弦定理進行求解即可；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)關系求正弦，再應用正弦定理進行求解即可.【詳解】（1）， 由余弦定理知，，又，所以，（2）由， 由正弦定理知，,所以.19．設甲盒有2個白球，2個紅球，乙盒有1個白球，3個紅球；現(xiàn)從甲盒任取2球放入乙盒，再從乙盒任取1球.(1)記隨機變量表示從甲盒取出的紅球個數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望；(2)求從乙盒取出1個紅球的概率.【答案】(1)分布列見解析，(2) 【分析】（1）根據(jù)已知條件求出隨機變量的取值，利用古典概型的概率的計算公式分別求出隨機變量的取值對應的概率，進而求出分布列，結合離散型隨機變量的均值的公式即可求解.（2）根據(jù)已知條件分類討論，利用古典概型的概率的計算公式及全概率公式即可求解.【詳解】（1）由題可知，隨機變量x可能的取值有0，1，2，所以，分布列如下：012所以.（2）（i）若，則此時甲盒取出來了2個白球放入乙盒，此時乙盒有3個白球，3個紅球，所以從乙盒取出1個紅球的概率為，（ii）若，則此時甲盒取出來了1個白球，1個紅球放入乙盒，此時乙盒有2個白球，4個紅球，所以從乙盒取出1個紅球的概率為，（iii）若，則此時甲盒取出來了2個紅球放入乙盒，此時乙盒有1個白球，5個紅球，所以從乙盒取出1個紅球的概率為，所以從乙盒取出1個紅球的概率為.20．如圖，在棱長為2的正方體中，點為線段的中點.(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）利用正方體的特征及平行四邊形的性質(zhì)定理，結合線面平行的判定定理即可求解；（2）根據(jù)已知條件建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，分別求出平面和平面的法向量，利用向量的夾角公司，結合向量的夾角與二面角的關系即可求解.【詳解】（1）在正方體中，且，且所以且，則為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.（2）因為正方體的棱長為是的中點，建立空間直角坐標系，如圖所示所以，由可得，設平面的法向量為，則,即，令，則所以，可得平面的法向量為，顯然平面的法向量可以為，設二面角的平面角為，所以所以二面角的余弦值.21．已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線交橢圓于兩點，為坐標原點，求面積的最大值.【答案】(1)(2)2 【分析】（1）根據(jù)題意，列出關于的方程組，求得的值，即可求解；（2）設直線的方程為，聯(lián)立方程組求得，得出，令，得到，設，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，橢圓的離心率為，點在橢圓上，可得，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）解：因為過點的直線交橢圓于兩點，不妨設直線的方程為，且，聯(lián)立方程組，整理的，即此時，且，所以，不妨令，則，此時不妨設，可得，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，當時，即時，取得最大值，最大值為.【點睛】解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.22．已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)若存在極大值點，且，求的取值范圍.【答案】(1)0(2) 【分析】（1）對函數(shù)求導后，可求得函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而可求出其最大值；（2）分，，和四種情況討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，再由極大值點，且，可求出的取值范圍.【詳解】（1）當時，，則，當時，，                                    所以函數(shù)的在區(qū)間上單調(diào)遞增，即當時，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.（2），  當時，令，得，則 時，；時，，所以函數(shù)僅有唯一極小值點，不合題意； 當時，令，得或，若，即時，由（1）小題可知，不合題意；若，即時，，；，，所以函數(shù)的極大值點，則符合題意；若，即時，，；，，所以函數(shù)的極大值點，則，得；綜上所述，的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數(shù)的綜合應用，考查利用導數(shù)解決函數(shù)極值點問題，解題的關鍵是對函數(shù)求導后，分類討論函數(shù)的極值，考查分類思想和計算能力，屬于較難題. 

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