注意事項：
1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息
2．請將答案正確填寫在答題卡上
第I卷（選擇題）
一、單選題(共60分，每小題5分)
1．某單位職工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，為了了解職工的建康狀況，用分層抽樣的方法從中抽取10人進(jìn)行體檢，則應(yīng)抽查的老年人的人數(shù)為（ ）
A．3B．5C．2D．1
2．已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．下列說法中錯誤的是（ ）
A．對于命題p：存在，使得，則：任意，均有
B．兩個變量線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)就越接近1
C．在線性回歸方程中，當(dāng)變量x每增加一個單位時，平均減少0.5個單位
D．某7個數(shù)的平均數(shù)為4，方差為2，現(xiàn)加入一個新數(shù)據(jù)4，此時這8個數(shù)的方差不變
4．如圖的程序框圖的算法思路源于歐幾里得在公元前300年左右提出的“輾轉(zhuǎn)相除法”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入，則輸出的值為（ ）
A．4B．37C．148D．333
5．圓與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．內(nèi)含C．相切D．相交
6．已知拋物線上一點到軸的距離是2，則點到焦點的距離為（ ）
A．B．2C．D．3
7．已知，為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足，那么點P到x軸的距離為（ ）
A．B．C．D．
8．橢圓上的點到一個焦點的距離為，是的中點，則點到橢圓中心的距離為（ ）
A．B．C．D．
9．已知直線y=x+m和圓交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，若，則實數(shù)m=（ ）
A．B．C．D．
10．已知，，直線：，：，且，則的最小值為（ ）
A．2B．4C．8D．9
11．已知為坐標(biāo)原點，，是雙曲線：（，）的左、右焦點，雙曲線上一點滿足，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
12．已知圓，直線為上的動點，過點作圓的切線，切點為，當(dāng)四邊形面積最小時，直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
第II卷（非選擇題）
二、填空題(共20分，每小題5分)
13．某校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間（單位:小時），制成了如圖所示的的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)為：_____．
14．從800名同學(xué)中，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個20人的樣本，將這800名同學(xué)按進(jìn)行隨機(jī)編號，若第一組抽取的號碼為3，則第五組抽取的號碼為__________.
15．拋物線的焦點為，為拋物線上一動點，定點，則的最小值為___________.
16．?dāng)?shù)學(xué)中有許多美麗的曲線，它蘊藏于特有的抽象概念，公式符號，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實美.如曲線，（如圖所示），給出下列三個結(jié)論
①曲線關(guān)于直線對稱；
②曲線上任意一點到原點的距離都小于；
③曲線圍成的圖形的面積是.
其中，正確結(jié)論的序號是_________.
三、解答題(共70分，第17題10分，其他每小題12分，共70分，需寫出詳細(xì)演算過程)
17．已知直線.
（1）若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程；
（2）當(dāng)點到直線l距離最大時，求直線l的方程.
18．已知命題； 命題.
(1)若p是q的充分條件，求m的取值范圍；
(2)當(dāng)時，已知是假命題，是真命題，求x的取值范圍.
19．已知某綠豆新品種發(fā)芽的適宜溫度在6℃~22℃之間，一農(nóng)學(xué)實驗室研究人員為研究溫度（℃）與綠豆新品種發(fā)芽數(shù)（顆）之間的關(guān)系，每組選取了成熟種子50顆，分別在對應(yīng)的8℃~14℃的溫度環(huán)境下進(jìn)行實驗，得到如下散點圖：
(1)由折線統(tǒng)計圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；
(2)建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測在19℃的溫度下，種子發(fā)芽的顆數(shù).
參考數(shù)據(jù)：，，，.
參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸直線方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.
20．圓心在上的圓與軸相切，且被直線截得的弦長為．
(1)求圓的方程；
(2)求過點且與該圓相切的直線方程．
21．已知拋物線的頂點是坐標(biāo)原點，而焦點是雙曲線的右頂點.
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線與拋物線相交于A、B兩點，則直線OA與OB的斜率之積是否為定值，若是，求出定值；若不是，說明理由.
22．已知橢圓的左、右兩個焦點，，離心率，短軸長為2．
1求橢圓的方程；
2如圖，點A為橢圓上一動點非長軸端點，的延長線與橢圓交于B點，AO的延長線與橢圓交于C點，求面積的最大值.
寧南中學(xué)2024屆期末考試（理科）數(shù)學(xué)參考答案
AADBD BDBCC DA
9．C【詳解】聯(lián)立 ，得2x2+2mx+m2-1=0，
∵直線y=x+m和圓x2+y2=1交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，
∴△=4m2+8m2-8=12m2-8＞0，解得m＞或m＜-，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-m， ，
y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2，=（-x1，-y1），=（x2-x1，y2-y1），
∵+y12-y1y2=1+m2-m2=2-m2=，
解得m=．故選C．
10．C【詳解】因為，所以，即，
因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為8.故選：C.
11．D【詳解】設(shè)P為雙曲線右支上一點,=m,=n,|F1F2|=2c，
由雙曲線的定義可得m?n=2a，點P滿足,可得m2+n2=4c2，
即有(m?n)2+2mn=4c2，又mn=2a2，可得4a2+4a2=4c2，即有c=a，則離心率e=故選D .
12．A【詳解】解：圓的方程可化為，點到直線的距離為，所以直線 與圓相離．
依圓的知識可知，四點四點共圓，且，
所以，而 ，
當(dāng)直線時，， ，此時最小．
∴，即 ，由，解得．
所以以為直徑的圓的方程為，
即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．故選：A .
13．140 14．163
15．【詳解】由，得，準(zhǔn)線方程為：，
過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立.故答案為：
16．①③【詳解】設(shè)點在曲線上，則，關(guān)于直線對稱的點，將代入曲線中得，因此在曲線上，故①正確，曲線可知曲線關(guān)于原點，，軸對稱，
當(dāng)，時，可得，可得，所以可得曲線為為圓心，為半徑的半圓，曲線上任意點到原點的距離的最大值為，曲線上任意一點到原點的距離都小于或等于，故命題②錯誤；
根據(jù)對稱性可知曲線圍成的圖形的面積為4個半圓的面積加上邊長為的正方形的面積，即，故命題③正確；故答案為：①③
17．【詳解】（1）直線，取，
取，即，解得或，
故直線方程為或
（2）變換得到，故過定點
當(dāng)直線l與垂直時，距離最大.，故，解得，
故所求直線方程為
18．(1)解：由題意知p是q的充分條件，即p集合包含于q集合，
有；
(2)解：當(dāng)時，有，由題意知，p、q一真一假，
當(dāng)p真q假時，，
當(dāng)p假q真時，，綜上，x的取值范圍為
19．【詳解】（1）由題意可知：.
.又，所以相關(guān)系數(shù).
因為相關(guān)系數(shù)，所以與的線性相關(guān)性較高，可以利用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.
（2）由（1）知，，，.
所以,所以.
所以與的回歸直線為.
當(dāng)時，.即在19℃的溫度下，種子發(fā)芽的顆數(shù)為44.
20．(1)設(shè)圓心，則,到直線的距離為
,∴∴
圓的方程為
(2)①當(dāng)切線斜率不存在時，：滿足題意
②設(shè)：，即圓心到直線的距離為，∴
綜上得過與圓相切的直線方程為和
21．【解】（1）雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)形式：，，右頂點A，
設(shè)拋物線的方程為，焦點坐標(biāo)為，
由于拋物線的焦點是雙曲線的右頂點，所以，所以拋物線的方程；
（2）聯(lián)立，整理得，
設(shè)，則，
，
綜上，拋物線的方程，OA，OB斜率的乘積為-1.
22．解：（1） 由題意得，解得，
∵，∴，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時，不妨取
，故；
②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為 ，
聯(lián)立方程組，化簡得，
設(shè)
點到直線的距離
因為是線段的中點，所以點到直線的距離為，
∴
綜上，面積的最大值為.

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