2022-2023學(xué)年四川省自貢市高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．當時，復(fù)數(shù)在復(fù)數(shù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義，根據(jù)實部和虛部的符號，求復(fù)數(shù)在復(fù)數(shù)平面內(nèi)對應(yīng)點所在象限.【詳解】復(fù)數(shù)當時，，，，，復(fù)數(shù)在復(fù)數(shù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于第三象限.故選：C2．拋物線的焦點坐標是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的標準方程，直接可得答案.【詳解】拋物線即，故其焦點坐標為，故選：A3．將上所有點經(jīng)過伸縮變換：后得到的曲線方程為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由變換：變形得到，再代入，化簡即可.【詳解】由得，代入得，化簡得，即.故選：D4．已知命題，有，則是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題直接可得答案.【詳解】由全稱命題的否定可知，，.故選：B5．已知等比數(shù)列{}的前n項和為，則”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用等比數(shù)列前項和和的公式判斷符號即可求解.【詳解】若公比，則當時成立；若公比，則與符號相同與的符號相同，故即是的充要條件故選:C.6．已知是雙曲線的左焦點，過傾斜角為的直線與雙曲線漸近線相交于，兩點，為坐標原點，則的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得雙曲線焦點坐標和漸近線方程，求得過傾斜角為的直線方程，判斷，求出坐標，繼而求得，即可求得答案.【詳解】由題意雙曲線可知，，故其漸近線方程為，過傾斜角為的直線方程為，即，不妨設(shè)l與漸近線的交點如圖示：  由于，即；聯(lián)立，解得，即，則，聯(lián)立，解得，即，則，則,故的面積為，故選：D7．“以直代曲”是重要的數(shù)學(xué)思想．具體做法是：在函數(shù)圖像某個切點附近用切線代替曲線來近似計算．比如要求的近似值，我們可以先構(gòu)造函數(shù)，由于0.05與0比較接近，所以求出處的切線方程為，再把代入切線方程，故有，類比上述方式．則（    ）A．1.001 B．1.005 C．1.015 D．1.025【答案】B【分析】由題意可設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在處的切線方程，根據(jù)在函數(shù)圖像某個切點附近用切線代替曲線來近似計算，即可求得答案.【詳解】設(shè)，則，則，故在處的切線方程為，設(shè)為，故由題意得，故選：B8．已知，為的導(dǎo)函數(shù)，則的大致圖象是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先將函數(shù)化簡為，再求得，判斷為奇函數(shù)，排除B，D；再分析選項A，C圖像的區(qū)別，取特殊值即可判斷出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故B，D錯誤；將代入得：，故C錯誤．故選：A．9．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，是上的動點，則下列四個結(jié)論正確的個數(shù)（    ）①；②離心率；③面積的最大值為；④以線段為直徑的圓與直線相切．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由橢圓定義可判斷①；求出離心率可判斷②；當為橢圓短軸頂點時，的面積取得最大值，求出可判斷③；求出圓心到直線距離可判斷④.【詳解】對于①，由橢圓的定義可知，故①正確；對于②，由橢圓方程知，所以離心率，故②錯誤；對于③，，當為橢圓短軸頂點時，的面積取得最大值，最大值為，故③錯誤；對于④，以線段為直徑的圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為:，即圓心到直線的距離等于半徑，所以以線段F1F2為直徑的圓與直線相切，故④正確.故選：B.10．已知，，且，則（    ）A． B． C． D．，大小關(guān)系無法確定【答案】C【分析】將已知化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，即可得出結(jié)論.【詳解】易知，設(shè)，則，設(shè)，則，所以單調(diào)遞減，所以，即，單調(diào)遞減，因為，所以.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性.11．已知函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象在上有兩個不同的交點，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性，從而作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】令，原問題可轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點..令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，即，從而，所以當時，，即，單調(diào)遞減；當時，，即，單調(diào)遞增.所以，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，易知當時，函數(shù)與的圖象有兩個不同的交點，即在上有兩個不同的零點.故選：D12．已知函數(shù)，，，恒成立，則的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，其中，分析可知，存在，使得，可得出，由題意可得出，可得出，由此可得出，令，其中，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即為的最大值.【詳解】令，其中，則，令，其中，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，①當時，，，則，所以，，所以，存在，使得；②當時，，則，，所以，存在，使得；③當時，令，則，令，則，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，即，當且僅當時，等號成立，所以，，所以存在，使得，即.由上可知，對任意的，存在，使得，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，則，所以，，令，其中，所以，，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，即的最大值為.故選：A.【點睛】方法點睛：求函數(shù)在區(qū)間上的最值的方法：（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則與一個為最大值，另一個為最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，則要求先求出函數(shù)在區(qū)間上的極值，再與、比大小，最大的為最大值，最小的為最小值；（3）若函數(shù)在區(qū)間上只有唯一的極大點，則這個極值點就是最大（最?。┲迭c，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用中經(jīng)常用到. 二、填空題13．已知，則          ．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求得復(fù)數(shù)z，根據(jù)模的計算即可求得答案.【詳解】由得，故，故答案為：14．已知函數(shù)，若，則的范圍是          ．【答案】【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解不等式.【詳解】由函數(shù)，可得，即為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，故由可得，即的范圍是，故答案為：15．雙曲線經(jīng)過一點，漸近線方程為，則該雙曲線的標準方程為          ．【答案】【分析】由題意可設(shè)雙曲線方程為，將代入方程求得，即可求得答案.【詳解】由題意雙曲線經(jīng)過一點，漸近線方程為，可設(shè)雙曲線方程為，將代入方程得，故雙曲線的方程為，標準方程為，故答案為：16．在平面直角坐標系中，若對于曲線上的任意點，都存在曲線上的點，使得成立，則稱函數(shù)具備“性質(zhì)”．則下列函數(shù)具備“性質(zhì)”的序號是          ．①；②；③；④.【答案】②④【分析】①②③④都可以作出簡圖，對于①和③，可在圖中選取特殊點驗證排除；②和④可在圖中任意選擇點，觀察是否存在點，使得成立，即可作出判斷.【詳解】對于①，如圖所示，曲線，當點時，要使得點滿足成立，那么點落在直線上，而此時與兩直線是平行的，不存在交點，故此時不滿足在上存在點，使得成立，故①不滿足條件；對于②，如圖所示，對于函數(shù)，對于曲線上的任意點，都存在曲線上的點，使得成立，故②滿足條件；對于③，因為，其中，則，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，當時，函數(shù)取得最大值，即，當時，；當時，.當點，要使得點滿足成立，那么點落在直線上，而此時與兩曲線不存在交點，故此時不滿足在上存在點，使得成立，故③不滿足；對于④，如下圖所示，曲線，對于曲線上的任意點，在曲線上都存在點，使得成立，故④滿足條件.故答案為：②④. 三、解答題17．已知拋物線，過焦點且傾斜角為的直線交拋物線于，兩點，求該拋物線準線方程及．【答案】；8【分析】根據(jù)拋物線方程即可確定焦準距，繼而可得拋物線準線方程；求出過焦點且傾斜角為的直線方程，聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用拋物線的弦長公式即可求得.【詳解】由題意拋物線可知焦準距為，則焦點，拋物線準線方程為；過焦點且傾斜角為的直線的方程為，聯(lián)立可得，設(shè)，則，故.18．某中學(xué)計劃在學(xué)校開設(shè)勞動實踐課程，為了解學(xué)生對勞動實踐課程的贊同度，隨機從高一、高二年級學(xué)生中一共抽取了100人進行調(diào)查，其中高一年級對開設(shè)勞動實踐課程贊同的占，而高二年級有20人表示對開設(shè)勞動實踐課程贊同．下表是部分列聯(lián)表： 贊同不贊同合計高一年級60高二年級20 合計   (1)求表中，，的值；能否有的把握認為對開設(shè)勞動實踐課程的贊同度與年級有關(guān)？(2)為進一步了解學(xué)生對勞動實踐課程認知，用分層抽樣的方法隨機從參與調(diào)查的高二學(xué)生中選取4人，若再從這4人中隨機選取2人進行個別交流，求這2人中至少有1人不贊同的概率．附表：．0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635【答案】(1)，，，有的把握認為對開設(shè)勞動實踐課程的贊同度與年級有關(guān)(2) 【分析】（1）已知條件結(jié)合表中數(shù)據(jù)求，，的值；計算，與臨界值比較下結(jié)論；（2）利用古典概型公式結(jié)合對立事件求解.【詳解】（1）由題意得，，，，，有的把握認為對開設(shè)勞動實踐課程的贊同度與年級有關(guān).（2）用分層抽樣的方法隨機從參與調(diào)查的高二學(xué)生中選取4人，則贊同的有2人，記為A,B,不贊同的2人，記為a，b，若再從這4人中隨機選取2人進行個別交流，總的基本事件有：，則2人中均贊同的基本事件僅有，所以這2人中至少有1人不贊同的概率概率為.19．已知函數(shù)．(1)若的單調(diào)遞減區(qū)間為，求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)在單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，可得是的兩根，即可求得答案；（2）由函數(shù)在單調(diào)遞減，可得在上恒成立，即可推出在上恒成立，從而求得答案.【詳解】（1）由題意得，因為的單調(diào)遞減區(qū)間為，即的解集為，故是的兩根，即，當時，，由，解得，等號僅在時取得，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，符合題意，故.（2）函數(shù)在單調(diào)遞減，即在上恒成立，即在上恒成立，此時，即在上恒成立，而，故,經(jīng)驗證當時, 即，等號僅在時取得，此時函數(shù)在單調(diào)遞減，符合題意，故.20．在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．(1)求曲線的普通方程，曲線的直角坐標方程；(2)求為曲線的點，為曲線的點，求的最小值．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用消參法可求得曲線的普通方程，根據(jù)極坐標與直角坐標之間的轉(zhuǎn)化公式可得曲線的直角坐標方程；（2）判斷兩曲線的位置關(guān)系，求出曲線的圓心到曲線的距離，即可求得答案.【詳解】（1）由題意知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），化為普通方程為；曲線的極坐標方程為，即，故化為直角坐標方程為；（2）由（1）知曲線:表示圓，圓心為，半徑為1；圓心到曲線，即到直線的距離為，故曲線與直線相離，則曲線的點與曲線上的點之間的最短距離為，即的最小值為.21．已知橢圓的離心率為，右頂點．(1)求橢圓的標準方程；(2)、為橢圓上的不同兩點，設(shè)直線，的斜率分別為，，若，判斷直線是否經(jīng)過定點并說明理由．【答案】(1)(2)直線經(jīng)過定點,理由見解析 【分析】（1）由離心率和右頂點坐標，求出，得橢圓的標準方程；（2）設(shè)直線的方程，代入橢圓方程，利用解得直線方程，判斷所過定點.【詳解】（1）由題意可知，，，則，所以橢圓的標準方程為.（2）直線經(jīng)過定點,理由如下，  若直線的斜率存在，設(shè)方程為，則將直線方程代入橢圓方程消去可得，，得，設(shè)、，則有，，，，，化簡得，解得或，當時，方程為，過定點，不合題意，當時，方程為，過定點，若直線的斜率不存在，設(shè)方程為，設(shè)，，則，即，解得，此時方程為，顯然過點綜上，直線經(jīng)過定點.22．已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)函數(shù)的圖象與軸交于兩點、且，證明：．【答案】(1)極大值為，無極小值(2)證明見解析 【分析】（1）當時，可得出，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的極值；（2）利用點差法得到，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并且代入求，初步化簡后采用分析法證明，當證明到，根據(jù)，經(jīng)過換元設(shè)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明函的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得到不等式的證明.【詳解】（1）解：當時，，該函數(shù)的定義域為，則，令，可得，列表如下：增極大值減所以，函數(shù)的極大值為，無極小值；（2）證明：得到，，兩式相減得，得因為，得，因為，所以，要證，先證，即證，即證，設(shè)，原式即證，即證，即，構(gòu)造，其中，求導(dǎo)可得，故在上單調(diào)遞減，故，故，故原不等式得證.【點睛】思路點睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，同時也考查了構(gòu)造函數(shù)解決雙變量的問題，需要根據(jù)題意將所證明的不等式化簡，設(shè)，構(gòu)造函數(shù)分析單調(diào)性證明不等式，屬于難題 

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