2022-2023學(xué)年四川省涼山州高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A．或 B．或C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意利用集合的并集運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：.故選：C.2．復(fù)數(shù)的虛部為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題得,即得復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由題得.所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和虛部的概念，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.3．下列函數(shù)中，滿足對(duì)任意的，都有的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的條件可判斷函數(shù)在上是增函數(shù)，依次判斷選項(xiàng)在該區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性即可得解.【詳解】對(duì)任意的，有，則函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，對(duì)于A，由在定義域單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B，由在定義域單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在定義域R上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，所以，可得，則在上單調(diào)遞增，設(shè)，則，所以，可得，則在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：A.4．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（    ）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)漸近線方程可得，再由可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，所以，所以雙曲線的離心率為，故選：B5．在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得∥，則異面直線與所成角（或其補(bǔ)角），進(jìn)而可得出為等邊三角形，從而得出所求角的大小為60°.【詳解】如下圖所示，連接，因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，則∥，又因?yàn)?/span>∥，且，則為平行四邊形，可得∥，所以∥，可知異面直線與所成角為（或其補(bǔ)角），又因?yàn)?/span>，即為等邊三角形所以，即異面直線與所成角的大小為.故選：B.  6．已知，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，且，所以，即，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，，所以，即，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，且，所以，得，即，所以，故選：B7．將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的可能取值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得平移后的函數(shù)解析式為，結(jié)合奇偶性可得，運(yùn)算求解即可.【詳解】將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到，得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；結(jié)合選項(xiàng)可知：B正確；A、C、D錯(cuò)誤.故選：B.8．已知向量，則“”是“”的（    ）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由共線向量基本定理進(jìn)行判斷.【詳解】若，則，此時(shí)，所以；若，由共線向量定理，得，解得，所以，“”是“”的充要條件.故選：A9．已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意可得，再根據(jù)二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，最后代入計(jì)算可得.【詳解】依題意，所以，所以.故選：B10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（    ）A．1012 B． C．2023 D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求得，依此類推，即可求解.【詳解】∵，故故.故選：D.11．已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與圓交于兩點(diǎn)，在軸的同側(cè)，則（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由已知聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求法結(jié)合拋物線定義表示，并求其值.【詳解】由已知拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，聯(lián)立，消得，設(shè)，則，所以，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，由已知可得，所以  故選：A.12．設(shè)，且滿足，則下列判斷正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接比較，的大小不好比較，可以作差比較和的大小，求得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分類討論思想即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，，構(gòu)造函數(shù)；；；在單調(diào)遞增．且；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)；，當(dāng)時(shí)，即，， 當(dāng)時(shí)，即，，綜上可得，大小關(guān)系不確定，一定成立，故選：D．【點(diǎn)睛】本題出題意圖在于通過構(gòu)造函數(shù)，并判斷其單調(diào)性，進(jìn)而比較代數(shù)式的大小.其中恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵. 二、填空題13．已知，則的值為         .【答案】1【分析】由，得到，再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，，所以，故答案為：114．若向量，則的面積為          .【答案】1【分析】根據(jù)條件，利用數(shù)量積求出的余弦值，再利用平方關(guān)系得出，再利用面積公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，故答案為：1.15．曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則          .【答案】/【分析】由題意可得，從而可求出的值.【詳解】由，得，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與直線平行，所以，得，故答案為：16．已知函數(shù).給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的圖象存在對(duì)稱中心；②函數(shù)是上的偶函數(shù)；③；④若，則函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為          .【答案】②③【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義、零點(diǎn)的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由題意可得：，且函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.對(duì)于②：因?yàn)?/span>，所以函數(shù)是上的偶函數(shù)，故②正確；對(duì)于①：假設(shè)函數(shù)的圖象存在對(duì)稱中心，則，若，因?yàn)榭傻?/span>，則，所以，可知函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，顯然不成立；若，則（不是定值），這與（為定值）相矛盾；綜上所述：假設(shè)不成立，所以函數(shù)的圖象不存在對(duì)稱中心，故①錯(cuò)誤；對(duì)于③：因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；綜上所述：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故③正確；對(duì)于④：令，整理得，由③可得，整理得，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，且當(dāng)x趨近于0時(shí)，趨近于，當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于0，  由題意可得：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，因?yàn)?/span>?，故④錯(cuò)誤；故答案為：②③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用函數(shù)極值與最值的關(guān)系進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵. 三、解答題17．已知是等差數(shù)列，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）直接根據(jù)等差數(shù)列公式計(jì)算得到答案;（2）確定，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且，則，所以.（2）由（1）可得，所以即數(shù)列的前項(xiàng)和為.18．某高速交警分局為了解春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速收費(fèi)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)大年初一上午9：00~10：40這一時(shí)間段內(nèi)有1000輛車通過，將其通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻繪成頻率分布直方圖.其中時(shí)間段9：00~9：20記作區(qū)間，時(shí)間段9：20~9：40記作區(qū)間，記作記作記作，例如：10點(diǎn)03分，記作時(shí)刻63.  (1)估計(jì)這1000輛車在9：00~10：40時(shí)間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；(2)為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這1000輛車中抽取5輛，再?gòu)倪@5輛車中隨機(jī)抽取3輛，則恰有1輛為9：00~10：00之間通過的概率是多少？【答案】(1)(2) 【分析】（1）運(yùn)用頻率分布直方圖中平均數(shù)公式計(jì)算即可;（2）運(yùn)用分層抽樣比計(jì)算各段所抽取的車輛數(shù)，再運(yùn)用列舉法求古典概型的概率即可.【詳解】（1）這1000輛車在9：0010：40時(shí)間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值為，即：.（2）由題意知，時(shí)間段內(nèi)抽取車輛數(shù)為，分別記為：，時(shí)間段內(nèi)抽取車輛數(shù)為，分別記為：，所以從這5輛車中隨機(jī)抽取3輛的基本事件有：，共10個(gè)，恰有1輛為9：00~10：00之間通過的基本事件有：，共有6個(gè)，所以恰有1輛為之間通過的概率為.19．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).  (1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）首先證出，由線面平行的判斷定理即可證出.（2）記點(diǎn)到平面的距離為，利用，結(jié)合錐體的體積公式即可求解.【詳解】（1）在正方體中，且，且所以且，則.為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.  （2）記點(diǎn)到平面的距離為的面積為S，則由題意可知.在中，由余弦定理得，則所以，則，又，所以，即點(diǎn)到平面的距離為.20．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，即可得結(jié)果；（2）分類討論直線的斜率是否存在，根據(jù)弦長(zhǎng)公式結(jié)合二次函數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則，可得，所以；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得，則，可得，則，令，則，可得，因?yàn)?/span>，所以；綜上所述：的取值范圍為.  【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)圓錐曲線弦長(zhǎng)問題的求解方法涉及弦長(zhǎng)的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．21．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)若存在極大值點(diǎn)，且，求的取值范圍.【答案】(1)0(2) 【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，可求得函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而可求出其最大值；（2）分，，和四種情況討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，再由極大值點(diǎn)，且，可求出的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，                                    所以函數(shù)的在區(qū)間上單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.（2），  當(dāng)時(shí)，令，得，則 時(shí)，；時(shí)，，所以函數(shù)僅有唯一極小值點(diǎn)，不合題意； 當(dāng)時(shí)，令，得或，若，即時(shí)，由（1）小題可知，不合題意；若，即時(shí)，，；，，所以函數(shù)的極大值點(diǎn)，則符合題意；若，即時(shí)，，；，，所以函數(shù)的極大值點(diǎn)，則，得；綜上所述，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)極值點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，分類討論函數(shù)的極值，考查分類思想和計(jì)算能力，屬于較難題.22．在平面直角標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程；(2)若為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用求得的普通方程；（2）將直線的極坐標(biāo)方程化為普通方程，設(shè)點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合正弦型函數(shù)的有界性可求得點(diǎn)到直線距離的范圍．【詳解】（1）由得，再由可得，所以的普通方程為；（2）直線l可化簡(jiǎn)為，將代入直線l方程可得，設(shè)，則，，∴．23．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若的最小值為，求的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）代入，根據(jù)絕對(duì)值的定義，分類討論去掉絕對(duì)值號(hào)，求解各個(gè)不等式的解集，取并集的到不等式的解集；（2）由絕對(duì)值不等式及基本不等式即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不等式可化為，∴，或，或，解得或 或，求并集得：，所以原不等式的解集為．（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即時(shí)取到最小值，又因?yàn)?/span>，，所以，所以，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)的最小值為. 

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