2022-2023學(xué)年四川省瀘州市瀘縣瀘縣第四中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)交集的運算方法直接選出答案.【詳解】由題意，．故選：B2．下列函數(shù)中與函數(shù)是同一函數(shù)的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】對于A、B：定義域不同，即可判斷；對于C：定義域相同，但解析式不同，即可判斷；對于D：定義域相同，解析式也相同，即可判斷是同一函數(shù).【詳解】函數(shù)的定義域為R.對于A：的定義域為，故與函數(shù)不是同一函數(shù).故A錯誤；對于B：的定義域為，故與函數(shù)不是同一函數(shù).故B錯誤；對于C：的定義域為R，但是，故與函數(shù)不是同一函數(shù).故C錯誤；對于D：的定義域為R，且，故與函數(shù)是同一函數(shù).故D正確.故選：D.3．若，下列命題正確的是（    ）A．若，則 B．，若，則C．若，則 D．，，若，則【答案】C【分析】利用特值法可判斷ABD，利用不等式的性質(zhì)可判斷C.【詳解】對于A，當(dāng)時，，故A錯誤； 對于B，當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，若，則，故C正確；對于D，當(dāng)時，，故D錯誤，故選：C.4．函數(shù)的圖象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和值域即可判斷.【詳解】 所以為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于 軸對稱，故排除B，當(dāng) 時， 故排除 A，當(dāng) 時， 故排除 D故選：C .5．已知函數(shù)的定義域是，則的定義域為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域求解.【詳解】因為定義域為，所以，所以，故函數(shù)滿足，解得，所以的定義域是.故選：C.6．已知函數(shù)若的最小值為，則實數(shù)a的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求解分段函數(shù)在每一段定義區(qū)間內(nèi)的最小值，結(jié)合函數(shù)在整體定義域內(nèi)的最小值得到關(guān)于a的不等式組，解不等式組得到a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即當(dāng)時，函數(shù)的最小值為；當(dāng)時，，要使得函數(shù)的最小值為，則滿足解得．故選：A．7．已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，當(dāng)x2＞x1＞1時，恒成立，設(shè)(其中e＝2.71828…)，則a，b，c的大小關(guān)系為（       ）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a【答案】B【分析】由于f(x) 關(guān)于直線x＝1對稱，可以得到f(-1)＝f(3)，因為當(dāng)x2＞x1＞1時，，所以f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞減，這樣就能對比f(3)、、f(2)的大小，進而得到答案【詳解】解：由題意得，f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞減，因為函數(shù)圖象關(guān)于x＝1對稱，所以f(x)在(-∞，1)上單調(diào)遞增，因為f(-1)＝f(3)，且3＞e＞2＞1，所以f(3)＜f(e)＜f(2)，所以a＜c＜b．故選：B．8．若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)m的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意，即不等式的解集為，分，，三種情況討論，即得解【詳解】函數(shù)的定義域為，即不等式的解集為（1）當(dāng)時，得到，顯然不等式的解集為；（2）當(dāng)時，二次函數(shù)開口向下，函數(shù)值不恒大于0，故解集為不可能．（3）當(dāng)時，二次函數(shù)開口向上，由不等式的解集為，得到二次函數(shù)與軸沒有交點，即，即，解得；綜上，的取值范圍為故選：B 二、多選題9．下列關(guān)系中，正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)元素與集合間的關(guān)系逐項判斷即可.【詳解】因為是整數(shù)集，故，所以A正確；因為是實數(shù)集，故，所以B錯誤；因為是有理數(shù)集，故，所以C錯誤；因為是自然數(shù)集，故，所以D正確，故選：AD.10．已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過，則冪函數(shù)具有的性質(zhì)是（    ）A．在其定義域上為增函數(shù) B．在上單調(diào)遞減C．奇函數(shù) D．定義域為【答案】BC【分析】設(shè)冪函數(shù)，將代入解析式即可求出解析式，根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)判斷選項即可.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，冪函數(shù)圖象過點，，， 定義域為，滿足，是奇函數(shù)，值域為，在定義域內(nèi)不單調(diào)，在上單調(diào)遞減.故選：BC11．若函數(shù)同時滿足：①對于定義域上的任意x，恒有；②對于定義城上的任意，，當(dāng)時，恒有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”.下列四個函數(shù)中，能被稱為“理想函數(shù)”的有（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)條件可得“理想函數(shù)”不僅為奇函數(shù)，又為單調(diào)遞減函數(shù)，其中選項ABC可直接判斷單調(diào)性和奇偶性，選項D通過畫圖判斷單調(diào)性和奇偶性.【詳解】根據(jù)條件可得“理想函數(shù)”不僅為奇函數(shù)，又為單調(diào)遞減函數(shù)，對于A.，函數(shù)不為奇函數(shù)，故不為“理想函數(shù)”；對于B.為定義域上的單調(diào)遞減函數(shù)，也為奇函數(shù)，故為“理想函數(shù)”；對于C.為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，故不為“理想函數(shù)”；對于D.的圖像如下：由圖像可得該函數(shù)為定義域上的單調(diào)減函數(shù)，也為奇函數(shù)，故為“理想函數(shù)”；故選：BD.12．記，已知，，，則（    ）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式有，解不等式可得的最值，進而由可知的最值情況，又，可得，可得最小值，而可確定最小值，進而判斷各選項.【詳解】由題意，結(jié)合基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，設(shè)，則，解得，即有，故A選項正確；而，故B選項錯誤；又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C選項正確；又，所以當(dāng)時，有最小值為，故D選項正確；故選：ACD. 三、填空題13．已知正數(shù)滿足，則的最小值為________．【答案】##【分析】變換，展開利用均值不等式計算得到答案.【詳解】，當(dāng)，即，時，等號成立.故答案為：.14．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．【答案】【分析】求出函數(shù)的定義域，然后利用復(fù)合函數(shù)法可求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】令，解得或，函數(shù)的定義域為.內(nèi)層函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.外層函數(shù)在上為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)法可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，常用的方法有復(fù)合函數(shù)法、圖象法，另外在求單調(diào)區(qū)間時，首先應(yīng)求函數(shù)的定義域，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.15．某學(xué)校100名學(xué)生在一次語數(shù)外三科競賽中，參加語文競賽的有39人，參加數(shù)學(xué)競賽的有49人，參加外語競賽的有41人，既參加語文競賽又參加數(shù)學(xué)競賽的有15人，既參加數(shù)學(xué)競賽又參加外語競賽的有13人，既參加語文競賽又參加外語競賽的有9人，1人三項都沒有參加，則三項都參加的有________人.【答案】7 【分析】集合元素個數(shù)的求解可利用容斥原理直接列方程解決【詳解】設(shè)三項都參加的有人，因為有一人三項均未參加則由已知，解得故答案為：716．已知為上的偶函數(shù)，當(dāng)，函數(shù)，那么當(dāng)時=_______．【答案】【解析】設(shè)設(shè)，則，進而得，再結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)得當(dāng)時，.【詳解】解：設(shè)，則，由于當(dāng)，函數(shù)，所以，因為函數(shù)為上的偶函數(shù)，所以，所以.故當(dāng)時，.故答案為： 四、解答題17．已知集合或.（1）分別求和；（2）若集合，若是充分不必要條件的，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），或；（2）．【分析】（1）解一元二次不等式求集合A，應(yīng)用集合交、補運算求、、，最后由集合并運算求.（2）根據(jù)題設(shè)充分不必要條件有，結(jié)合已知列不等式求的取值范圍．【詳解】（1）由題設(shè)，，而或，∴，又或，，∴或.（2）由題設(shè)知：，顯然，即不為空集，∴，解得.18．已知函數(shù)（1）求奇偶性（2）畫出函數(shù)的圖像：（3）求，的值域【答案】（1）奇函數(shù)；（2）作圖見解析；（3）.【解析】（1）先求函數(shù)的定義域得，再求的值即可得答案；（2）結(jié)合二次函數(shù)的圖象和奇函數(shù)的性質(zhì)即可得函數(shù)圖象；（3）根據(jù)（2）中的函數(shù)圖象即可得值域.【詳解】解：（1）∵∴為奇函數(shù)（2）當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，∴∴的函數(shù)圖象為（3）由（2）可知，當(dāng)和時函數(shù)單調(diào)遞增，時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，的值域為19．已知，，若命題p是q的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】【分析】首先，求解命題中涉及到的不等式，然后求解命題中涉及到的一元二次不等式的解集，最后，結(jié)合是的充分不必要條件，限定的取值情形，從而得到實數(shù)的取值范圍．【詳解】由命題，即，，，，，，，，是的充分不必要條件，或，即或，，所以實數(shù)m的取值范圍.20．某公司對兩種產(chǎn)品A，B的分析如下表所示：產(chǎn)品類別年固定成本每件產(chǎn)品成本每件產(chǎn)品銷售價格每年最多可生產(chǎn)的件數(shù)A20萬元m萬元10萬元200件B40萬元8萬元18萬元120件 其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān)，m為常數(shù)，且．另外，銷售A產(chǎn)品沒有附加稅，年銷售x件，B產(chǎn)品需上交萬元的附加稅．假定生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售出去，并且該公司只選擇一種產(chǎn)品進行投資生產(chǎn)．（1）求出該公司分別投資生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品的年利潤（單位：萬元）與年生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x之間的函數(shù)解析式，并指出定義域；（2）分別求出投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的最大年利潤，比較最大年利潤，決定投資方案，該公司投資生產(chǎn)哪種產(chǎn)品可獲得最大年利潤？【答案】（1），其中；，其中；（2）答案見解析．【分析】（1）利潤等于單件產(chǎn)品的盈利與件數(shù)的乘積；（2）分別根據(jù)函數(shù)的類型確定單調(diào)性求出最大值，作差比較二者大小即得．【詳解】（1），其中，其中（2）∵，∴，∴在定義域上是增函數(shù)∴當(dāng)時，又，∴當(dāng)時，當(dāng)時，即時，投資A產(chǎn)品可獲得最大年利潤．當(dāng)時，即時，投資A或B產(chǎn)品可獲得最大年利潤．當(dāng)時，即時，投資B產(chǎn)品可獲得最大年利潤．21．已知二次函數(shù)，.（1）若函數(shù)的最小值為，求的解析式，并寫出單調(diào)區(qū)間；（2）在（1）的條件下，在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，試求的取值范圍．【答案】（1）；單調(diào)遞增區(qū)間為[－1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1]；（2）(－∞，1)．【解析】（1）由時二次函數(shù)最小值為0，求出得函數(shù)解析式，寫單調(diào)區(qū)間即可；（2）可轉(zhuǎn)化為在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，求出最小值即可.【詳解】(1)由題意知，解得，∴.由知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1]．（2）由題意知，在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，即在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，令，x∈[－3，－1]，由知g(x)在區(qū)間[－3，－1]上是減函數(shù)，則g(x)min＝g(－1)＝1，所以k<1，故k的取值范圍是(－∞，1)．【點睛】關(guān)鍵點點睛：二次函數(shù)的解析式求法，大多用到待定系數(shù)法，本題需根據(jù)當(dāng)時二次函數(shù)最小值為0，建立方程組求解，即可求出函數(shù)解析式.22．已知函數(shù)對任意的實數(shù)，，都有，且當(dāng)時，有.（1）求的值；（2）求證：在上為增函數(shù)；（3）若，且關(guān)于的不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）利用賦值法，m＝n＝0求f（0）；（2）設(shè)x1，x2是R上任意兩個實數(shù)，且x1＜x2，令m＝x2﹣x1，n＝x1，通過函數(shù)的單調(diào)性的定義直接證明f（x）在R上為增函數(shù)；（3）由原不等式可化為f（ax﹣2+x﹣x2）+1＜3，化為f[﹣x2+（a+1）x﹣2]＜f（1），對任意的x∈[﹣1，+∞）恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)g（x）＝x2﹣（a+1）x+3，即g（x）min＞0成立即可，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，通過分類討論求解實數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）由，故此令，則，則；（2）設(shè)x1，x2是R上任意兩個實數(shù)，且x1＜x2，則令m＝x2﹣x1，n＝x1，則f（x2）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1，所以f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）﹣1，由x1＜x2得x2﹣x1＞0，所以f（x2﹣x1）＞1，故f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），故此，函數(shù)為上增函數(shù)；（3）由已知條件得：，故此，∵，∴，∴，由（2）可知f（x）在R上為增函數(shù)，∴，即，令，即成立即可.①當(dāng)時，即，在單調(diào)遞增，∴，∴∴②當(dāng)時，即，在先遞減后遞增，∴，∴，解得，∴.綜上，∴.【點睛】關(guān)鍵點點睛：在（3）轉(zhuǎn)化為在恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，通過分類討論求解最小值. 

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