瀘縣四中2023年春期高一期末考試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.第I卷 選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. （    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式結(jié)合兩角差的余弦公式即可得出答案.【詳解】.故選：C.2. 若復(fù)數(shù)z滿足，則（    ）A. 1 B. 5 C. 7 D. 25【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，先求出，再計算復(fù)數(shù)的模．【詳解】由題意有，故．故選：B． 3. 已知，是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的一組是（    ）．A. 和 B. 和C. 和 D. 和【答案】A【解析】【分析】根據(jù)定義由待定系數(shù)法判斷每組向量是否共線，判斷.【詳解】對于A選項，因為，則和共線，A選項不滿足條件；對于B選項，設(shè)，則，無解，故和不共線，B選項能作為基底；同理可知和不共線，和也不共線，CD選項均能作為基底．故選：A．4. 函數(shù)，的圖象與直線的交點個數(shù)為（　?。?/span>．A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)曲線與方程之間的關(guān)系，直接解方程即可得到結(jié)論．【詳解】由得，∴當(dāng)時，或，即方程有個解，即兩條曲線的圖象的交點個數(shù)為個，故選C．【點睛】本題主要考查函數(shù)交點個數(shù)的判斷，利用函數(shù)和方程之間的關(guān)系，直接進(jìn)行求解即可，屬于基礎(chǔ)題.5. “幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高．現(xiàn)隨機(jī)抽取10位臨湘市居民，他們的幸福感指數(shù)為7，3，5，6，7，4，8，9，5，10．則這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)是（    ）A. 8.5 B. 8 C. 9 D. 7.5【答案】A【解析】【分析】將題目的數(shù)據(jù)從小到大排列，然后利用百分位數(shù)的定義計算.【詳解】幸福感指數(shù)的數(shù)據(jù)從小到大排列成：，由，是整數(shù)，根據(jù)百分位數(shù)的定義，分位數(shù)是排列好的數(shù)字的第和第位的平均數(shù)，即.故選：A6. 非零向量滿足，則與的夾角是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由，得到，再利用向量的夾角公式求解.【詳解】解：因為，所以，則，又，，所以，因為，所以，故選：B 7. 將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先由平移求出曲線的解析式，再結(jié)合對稱性得，即可求出的最小值.【詳解】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對稱，則，解得，又，故當(dāng)時，的最小值為.故選：C. 8. 在空間四邊形中， ， ，，分別是， 的中點 ，，則異面直線與所成角的大小為A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】平移兩條異面直線到相交，根據(jù)余弦定理求解.【詳解】如圖所示：設(shè)的中點為，連接，所以，則是所成的角或其補(bǔ)角，又根據(jù)余弦定理得：，所以，異面直線與所成角的為，故選D.【點睛】本題考查異面直線所成的角和余弦定理.注意異面直線所成的角的取值范圍是.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9. 病毒研究所檢測甲乙兩組實驗小白鼠的某醫(yī)學(xué)指標(biāo)值，得到樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖（如圖所示），則下列結(jié)論正確的是（    ）A. 甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)B. 甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)C. 甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)大于甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)D. 乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)直方圖的形態(tài)可得甲組的平均數(shù)大于中位數(shù)，且都小于7，乙組的平均數(shù)小于中位數(shù)，且都大于7，進(jìn)而可得.【詳解】根據(jù)甲組的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可知為單峰的，直方圖在右邊“拖尾”，所以甲組的平均數(shù)大于中位數(shù)，且都小于7，同理可得乙組的平均數(shù)小于中位數(shù)，且都大于7，故甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)，故A錯誤；甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)，故B正確；甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)大于甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)，故C正確；乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)，故D正確.故選：BCD.10. 盒子里有形狀大小都相同的4個球，其中2個紅球、2個白球，從中先后不放回地任取2個球，每次取1個．設(shè)“兩個球顏色相同”為事件A，“兩個球顏色不同”為事件B，“第1次取出的是紅球”為事件C，“第2次取出的是紅球”為事件D．則（    ）A. A與B互為對立事件 B. A與C相互獨立C. C與D互斥 D. B與C相互獨立【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)對立事件，互斥事件的定義可判斷AC；根據(jù)古典概型的概率公式求出所對應(yīng)的事件的概率，再根據(jù)相互獨立事件的定義判斷BD.【詳解】對于A，由題意知，取出兩個球要么顏色相同，要么顏色不同，即A與B互為對立事件，故A正確；對于C， “第1次取出的是紅球”，“第2次取出的是紅球”， C與D可能同時發(fā)生，故C錯誤；對于BD，，，， ，所以，所以A與C相互獨立，B與C相互獨立，故BD正確；故選：ABD11. 在銳角三角形ABC中，A，B，C為三個內(nèi)角，a，b，c分別為A，B，C所對的三邊，則下列結(jié)論成立的是（    ）A. 若，則 B. 若，則B的取值范圍是C.  D. 【答案】ACD【解析】【分析】由正弦定理判斷A；由角形為銳角三角形，，所以，即有，根據(jù)可得的范圍，從而判斷B；由，可得，進(jìn)而得，從而判斷C；由，可得，從而判斷D.【詳解】解：對于選項A，因為A>B，所以有,所以，故正確；對于選項B，因為，則，所以，由可得的取值范圍是，故錯誤；對于選項C ，銳角三角形ABC中，，，∴，同理，，所以故正確；對于選項D，銳角三角形ABC中，因為，即，，又∵，∴，故正確．故選：ACD．12. 如圖所示是正方體的平面展開圖，那么在正方體中（    ）A. B. EF和BC所成的角是60°C. 直線AC和平面ABE所成的角是30°D. 如果平面平面，那么直線直線.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)正方體的平面展開圖還原正方體，利用正方體的性質(zhì)，結(jié)合異面直線的位置關(guān)系，線面位置關(guān)系及面面平行的性質(zhì)依次判斷各項正誤.【詳解】如圖，把正方體的平面展開圖還原成正方體.在正方體中，可知，故異面直線與所成的角即為與所成的角為，故A項錯誤；同理，與所成的角即為與所成的角為，故B項正確；在正方體中，，，，，故平面，則點到平面的距離為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，故，故C項正確；在正方體中，，則平面平面，平面平面于直線，平面平面，故直線直線，故D項正確.故選：BCD.第II卷 非選擇題（90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 已知向量，，且在上的投影數(shù)量等于，則___________.【答案】
 【解析】【分析】由數(shù)量投影的公式直接計算即可.【詳解】在上的投影數(shù)量為，解得（舍）或.故答案為：.14. 設(shè)為所在平面內(nèi)的一點，若，，則________．【答案】【解析】【分析】由，可得答案.【詳解】如圖：由圖可知，即有，所以，，所以，故答案為:．15. 銳角內(nèi)切圓的圓心為，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.若，且的外接圓半徑為1，則周長的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】由余弦定理變形可求得角，再由正弦定理求得，在中利用正弦定理表示出，并由三角恒等變換轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問題，從而可得結(jié)論．【詳解】因為由余弦定理，得，即，因為，所以.由正弦定理，得.因為，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，所以，設(shè)，則，又因為三角形為銳角三角形，所以，所以.在中，由正弦定理，，所以，所以的周長為，因為，所以，所以，所以周長的取值范圍故答案為：.16. 如圖，二面角等于，A、是棱l上兩點，BD、AC分別在半平面、內(nèi)，，，且，則CD的長等于________.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)二面角定義，結(jié)合空間向量加法運(yùn)算性質(zhì)、空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由二面角的平面角的定義知，∴，由，，得，，又，∴，所以，即.故答案為：4.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 已知函數(shù).（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）若，，求的值.【答案】（1）最大值為2，最小值為.    （2）【解析】【分析】（1）由二倍角公式、兩角和的正弦展開式得，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與范圍可得答案；（2）由得，利用平方關(guān)系得到，再利用展開可得答案.小問1詳解】由得，因為，則，故當(dāng)時，取最大值2；當(dāng)時，取最小值；所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為.【小問2詳解】由（1）可知，又因為，所以，由，得，從而，所以.18. 某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40，50），[50，60），……，[80，90），[90，100]．（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）估計該企業(yè)的職工對該部門評分的50%分位數(shù)（保留一位小數(shù)）；（3）從評分在的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評分都在的概率．【答案】（1）    （2）76.4    （3）【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的各個小矩形的面積之和為1求出a；(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計中位數(shù)；(3)根據(jù)頻率分布直方圖求出從評分在和的人中抽取的人數(shù)，再根據(jù)古典概型計算概率.【小問1詳解】由頻率分布直方圖得：，解得．【小問2詳解】評分在的概率為，評分在的概率為，該企業(yè)的職工對該部門評分的50%分位數(shù)位于，所以50%分位數(shù)為；【小問3詳解】受訪職工中評分在的有：人，記為，，，受訪職工中評分在的有：人，記為，，從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有的可能結(jié)果有10種，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，此2人評分都在包含的基本事件有，，，，，，共3個，從評分在的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，此2人評分都在的概率．19. 如圖1，在直角梯形中，，，且，現(xiàn)以為一邊向梯形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使，為的中點，如圖2．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；【答案】（1）證明見解析    （2）證明見解析【解析】【分析】(1)如圖取中點，由中位線的性質(zhì)可得，根據(jù)題意可得且，則四邊形為平行四邊形，有，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；(2)根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可得，由勾股定理的逆定理可得，利用線面垂直的判定定理可得平面，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明.【小問1詳解】取中點，連接，．在中，，分別為，的中點，所以，且．由已知，，所以，且．所以四邊形為平行四邊形．所以．又因為平面，且平面，所以平面．【小問2詳解】在正方形中，，又，，平面，∴平面，平面，，在中，AB=AD=1，所以BD=，，在中，，BD=，CD=2，所以BC=，所以，又因為，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.20. 記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，且（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）在中由銳角三角函數(shù)，得，代入條件，由正弦定理角化邊得，即證；（2）由三角形等面積法，得，代入可得；將條件和同時代入余弦定理，化簡后利用輔助角公式得到，即可求解.【小問1詳解】在中，因為，所以，又因為，所以，即在中，根據(jù)正弦定理，得，故.【小問2詳解】在中，，又由（1）知，，所以，在中，根據(jù)余弦定理，得，又由已知，，得，所以，則，即，因為，則，所以或，所以或，又點在邊上，且，，所以必有一個大于等于，所以21. 如圖，在長方體中，，P為的中點．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）見解析    （2）【解析】【分析】（1）由向量法結(jié)合判定證明即可；（2）由向量法得出面角正弦值．【小問1詳解】以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示設(shè)，則又，平面【小問2詳解】由（1）可知，平面的法向量為設(shè)平面的法向量為，，令，可得故二面角的正弦值為22. 已知函數(shù)， ．（1）試判斷在其定義域上是否具有奇偶性，若有，請加以證明；（2）若函數(shù)在上只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）函數(shù)為上的偶函數(shù)；證明見解析    （2）或【解析】【分析】（1）利用偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷和證明；（2）把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，結(jié)合換元法和判別式進(jìn)行求解.【小問1詳解】偶函數(shù)，證明如下：證明：函數(shù)，定義域為，關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)為上的偶函數(shù)．【小問2詳解】解：因為函數(shù)在上只有一個零點，所以關(guān)于x的方程有唯一的實數(shù)解，即方程有唯一的實數(shù)解，即有唯一的實數(shù)解，化簡得，令，下面研究關(guān)于t的方程何時僅有一個正根.①當(dāng)時，，符合題意；②當(dāng)時，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，（舍） 當(dāng)，即時，，方程有異號的兩個實根，符合題意；綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為或.

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