2022-2023學(xué)年四川省瀘縣第五中學(xué)高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．命題“，”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由特稱命題的否定為全稱命題：將變并否定原結(jié)論，即可寫出題設(shè)命題的否定.【詳解】由特稱命題的否定為全稱命題，知：題設(shè)命題的否定為，.故選：C2．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可求得，進(jìn)而可求得的值.【詳解】由題意，得，則，故選：D．3．已知，，則是成立的（    ）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】由題意結(jié)合絕對值不等式、一元二次不等式的求解可得命題、所對應(yīng)的集合，再由集合間的關(guān)系、充分條件、必要條件的概念即可得解.【詳解】由題意，，因?yàn)?/span>?，則是成立的必要不充分條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值不等式、一元二次不等式的求解，考查了必要不充分條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.4．函數(shù)的大致圖象為　　A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和圖象的對稱性，利用特殊值進(jìn)行排除即可．【詳解】函數(shù)，則函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除C，D，，排除B，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系以及特殊值，結(jié)合排除法是解決本題的關(guān)鍵．5．某班男女生各10名同學(xué)最近一周平均每天的鍛煉時間（單位：分鐘）用莖葉圖記錄如下：假設(shè)每名同學(xué)最近一周平均每天的鍛煉時間是互相獨(dú)立的.①男生每天鍛煉的時間差別小，女生每天鍛煉的時間差別大；②從平均值分析，男生每天鍛煉的時間比女生多；③男生平均每天鍛煉時間的標(biāo)準(zhǔn)差大于女生平均每天鍛煉時間的標(biāo)準(zhǔn)差；④從10個男生中任選一人，平均每天的鍛煉時間超過65分鐘的概率比同樣條件下女生鍛煉時間超過65分鐘的概率大.其中符合莖葉圖所給數(shù)據(jù)的結(jié)論是（    ）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】C【解析】根據(jù)莖葉圖，計(jì)算出平均數(shù)，由古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算出概率，以及由數(shù)據(jù)的分散程度可說明方差的大小，即可判斷.【詳解】解：由莖葉圖知，男生每天鍛煉時間差別小，女生差別大，①正確.男生平均每天鍛煉時間超過65分鐘的概率，女生平均每天鍛煉時間超過65分鐘的概率，，因此④正確.設(shè)男生、女生兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，.，知，②正確.又根據(jù)莖葉圖，男生鍛煉時間較集中，女生鍛煉時間較分散，∴，③錯誤，因此符合莖葉圖所給數(shù)據(jù)的結(jié)論是①②④.故答案為：①②④【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖中數(shù)據(jù)的分析問題，屬于基礎(chǔ)題.6．函數(shù)的極大值點(diǎn)為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)由函數(shù)單調(diào)性，即可容易求得函數(shù)的極大值點(diǎn).【詳解】，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；故的極大值點(diǎn)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題.7．袋中有2個紅球5個白球，取出一個白球放回，再取出紅球的概率是A． B． C． D．【答案】B【分析】取出一個白球再放回，相當(dāng)于情況不變．用紅球個數(shù)除以球的總數(shù)即為摸到紅球的概率．【詳解】解：所有機(jī)會均等的可能有7種，摸到紅球的可能有2種，因此取出紅球的概率為 ，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．8．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過的直線交于，兩點(diǎn)，若的周長為，則的方程為（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由橢圓的定義知的周長為，結(jié)合已知條件求出，再由離心率求出，進(jìn)而求出，從而得出答案.【詳解】依題意的周長為， .故選:C【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義在解題中應(yīng)用，以及離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.9．已知在區(qū)間上有極值點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】對函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)，由已知條件得其導(dǎo)函數(shù)在上有零點(diǎn)，建立不等式組可得范圍.【詳解】,由于函數(shù)在上有極值點(diǎn)，所以在上有零點(diǎn),所以，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的極值問題，關(guān)鍵在于得出導(dǎo)函數(shù)在所給的區(qū)間上有零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為求解不等式組的問題，屬于基礎(chǔ)題,10．若直線與的圖象有三個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．B．C．D．【答案】A【詳解】試題分析：因，故函數(shù)在處取極小值，在取極大值，故結(jié)合函數(shù)的圖象可知當(dāng)，兩函數(shù)與的圖象有三個交點(diǎn)，應(yīng)選A.【解析】導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的零點(diǎn)中的運(yùn)用．11．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)是，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且，線段的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則的最小值為（    ）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】設(shè)出線段的長度，用余弦定理求得的長度，利用拋物線的定義以及梯形的中位線長度的計(jì)算，從而轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，再結(jié)合不等式即可求得其最小值.【詳解】設(shè)，，過點(diǎn)，分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，如下所示：則，，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，根據(jù)梯形中位線定理可得，點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，因?yàn)?/span>，所以在中，由余弦定理得，所以，又因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，（顯然存在），所以，則的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查拋物線中的最值問題，處理問題的關(guān)鍵是充分利用拋物線的定義，還要注意到不等式的應(yīng)用。12．設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f(x)= 圖象上點(diǎn)P1，P-2處的切線，l1與l2垂直相交于點(diǎn)P，且l1，l2分別與y軸相交于點(diǎn)A，B，則△PAB的面積的取值范圍是A．(0,1) B．(0,2) C．(0,+∞) D．(1,+∞)【答案】A【詳解】試題分析：設(shè)（不妨設(shè)），則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義易得切線的斜率分別為由已知得切線的方程分別為，切線的方程為，即．分別令得又與的交點(diǎn)為，故選A．【解析】1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.兩直線垂直關(guān)系；3.直線方程的應(yīng)用；4.三角形面積取值范圍.  二、填空題13．設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為、，為該雙曲線上的一點(diǎn)，若，則_________.【答案】【解析】根據(jù)雙曲線定義，求解.【詳解】由雙曲線的定義得，又，所以，或經(jīng)檢驗(yàn)，舍去，所以.故答案為：.14．下圖給出的是計(jì)算的值的一個流程圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是____________.【答案】【分析】結(jié)合題中程序框圖,當(dāng)時,不滿足判斷框的條件,當(dāng)時,滿足判斷框的條件,從而可得出結(jié)論.【詳解】開始,第一次循環(huán),,,此時不滿足判斷框的條件;第二次循環(huán),,,此時不滿足判斷框的條件;第三次循環(huán),,,此時不滿足判斷框的條件;…到第十次循環(huán),,,此時滿足判斷框的條件,輸出,故判斷框的條件是“”.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖,考查判斷框應(yīng)該填入的條件,考查學(xué)生的推理能力,屬于基礎(chǔ)題.15．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則成立時的取值范圍是__________．【答案】【詳解】設(shè)函數(shù)，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞減；因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)，因此在上也單調(diào)遞增；又，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時；當(dāng)時，；故應(yīng)填答案．16．若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【分析】參變分離后令，則根據(jù)已知可得，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可得出答案.【詳解】，，，，令，則若關(guān)于的不等式有解，則，，，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，故當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，則，則，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：. 三、解答題17．在直角坐標(biāo)系中，設(shè)傾斜角為的直線（為參數(shù)）與曲線（為參數(shù)）相交于不同的兩點(diǎn).（1）若，求線段中點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，其中，求直線的斜率.【答案】（1）；（2）.【詳解】試題分析：（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，當(dāng)時，設(shè)點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)為．直線方程為代入曲線的普通方程，得，由韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，代入直線的參數(shù)方程可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）把直線的參數(shù)方程代入橢圓的普通方程可得關(guān)于參數(shù)的一元二次方程，由已知條件和韋達(dá)定理可得，求得的值即得斜率.試題解析：設(shè)直線上的點(diǎn)，對應(yīng)參數(shù)分別為，．將曲線的參數(shù)方程化為普通方程．（1）當(dāng)時，設(shè)點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)為．直線方程為（為參數(shù)）．代入曲線的普通方程，得，則，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）將代入，得，因?yàn)?/span>，，所以．得．由于，故．所以直線的斜率為．【解析】直線的參數(shù)方程與橢圓參數(shù)方程及其在研究直線與橢圓位置關(guān)系中的應(yīng)用.18．如圖，在三棱柱中，，，，.（1）證明：平面平面.（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】(1) 在和中，利用勾股定理可得，，再根據(jù)面面垂直的判定定理證明即可；(2) 以為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，分別求出平面的法向量和平面的法向量，再計(jì)算法向量夾角余弦值，即可求出二面角的余弦值.【詳解】(1)證明：如圖，連接，在中，，，，由余弦定理，得，所以，所以，所以，同理，又，平面,所以平面,又平面，所以平面平面.(2)解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，，所以，，，.設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面的法向量為，則令，得，所以.由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的極值；(2)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.【答案】(1)極小值為，無極大值(2) 【分析】（1）求導(dǎo)得到，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間計(jì)算極值得到答案.（2）在上恒成立，得到，解得答案.【詳解】（1）當(dāng)時，，，令得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.所以的極小值為，無極大值.（2）在上恒成立，即在上恒成立，所以.20．有人收集了某10年中某城市居民年收入（即該城市所有居民在一年內(nèi)收入的總和）與某種商品的銷售額的相關(guān)數(shù)據(jù)：第n年12345678910年收入/億元（x）32.031.033.036.037.038.039.043.045.0x10商品銷售額/萬元（y）25.030.034.037.039.041.042.044.048.0y10 且已知＝380.0.（1）求第10年的年收入x10；（2）若該城市居民收入x與該種商品的銷售額y之間滿足線性回歸方程＝.①求第10年的銷售額y10；②若該城市居民收入達(dá)到40.0億元，估計(jì)這種商品的銷售額是多少？（精確到0.01）.附：（1）在線性回歸方程＝x+中，＝，.（2）﹣10＝254.0，＝12875.0，＝340.0.【答案】（1）億元；（2）①萬元；②萬元.【分析】（1）根據(jù)累和符號的意義進(jìn)行求解即可；（2）①結(jié)合已知所給的數(shù)據(jù)，結(jié)合求的公式進(jìn)行求解即可；②根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，求出線性回歸方程，運(yùn)用代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>＝380.0，所以有：；（2）①，，，解得；②，因?yàn)?/span>，所以有，因此有＝，當(dāng)時，＝,估計(jì)這種商品的銷售額是萬元.【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.21．已知橢圓 的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，且的面積為.(1)求橢圓 的方程；(2)直線 與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).試求當(dāng)為何值時，使得恒為定值，并求出該定值.【答案】(1)(2)，定值為5 【分析】(1)根據(jù)題意列出關(guān)于的方程，解方程求得其值，可得答案；(2)聯(lián)立，設(shè)，可求得根與系數(shù)的關(guān)系式，從而求得的表達(dá)式，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）由已知，點(diǎn) 的坐標(biāo)分別為，又點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，于是 ，解得，所以橢圓 方程為.（2）聯(lián)立 ，消元得，，方程判別式，即，設(shè) ，則 ，所以，當(dāng) 為定值時，即與無關(guān)，故 ，得，所以，恒成立【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.22．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：．【答案】(1) 見詳解；(2)；(3)證明見解析．【詳解】試題分析：(1)借助題設(shè)條件運(yùn)用分類整合思想分類討論；（2）借助題設(shè)構(gòu)設(shè)函數(shù),運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識求解；(3)依據(jù)題設(shè)構(gòu)設(shè)函數(shù),建立不等式運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識分析推證．試題解析：（1）的定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)時，，故在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，故在單調(diào)遞減； 當(dāng)時，令，解得．則當(dāng)時，；時，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減． （2）因?yàn)?/span>，所以：當(dāng)時，恒成立，令，則， 因?yàn)?/span>，由得，且當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在上遞增，在上遞減，所以，故． (3)取,則代入由題設(shè)可得,取,并將上述各不等式兩邊加起來可得．【解析】導(dǎo)數(shù)的知識分類整合思想及推理論證能力等有關(guān)知識的綜合運(yùn)用．【易錯點(diǎn)晴】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性和極值最值問題的重要而有效的工具．本題就是以函數(shù)解析式為背景,精心設(shè)置了三個問題,旨在考查導(dǎo)數(shù)知識與函數(shù)單調(diào)性和極值的關(guān)系等方面的綜合運(yùn)用以及分析問題解決問題的能力．本題的第一問是求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求解時分類對函數(shù)求導(dǎo),分析探求出其單調(diào)區(qū)間；第二問先分析轉(zhuǎn)化,再構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識使得問題獲解；(3)運(yùn)用已知推證的結(jié)論構(gòu)造不等式,從而使得不等式簡捷巧妙獲證． 

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