?2022-2023學(xué)年陜西省安康市漢濱區(qū)七校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）
1. i是虛數(shù)單位，2i1+i=(????)
A. 1?i B. ?1?i C. 1+i D. ?1+i
2. 用分析法證明：欲使①A>B，只需②C0,b>0)的離心率為 7，則C的漸近線方程為(????)
A. y=± 5x B. y=± 6x C. y=± 55x D. y=± 66x
7. 如圖，陰影部分的面積為(????)


A. 2 3 B. 2? 3 C. 323 D. 353
8. 函數(shù)y=1x?x2的圖象大致是(????)
A. B.
C. D.
9. 王老師是高三的班主任，為了更好地督促班上的學(xué)生完成作業(yè)，王老師特地組建了一個(gè)學(xué)習(xí)小組的釘釘群，群的成員由學(xué)生、家長(zhǎng)、老師共同組成.已知該釘釘群中男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)，女學(xué)生人數(shù)多于家長(zhǎng)人數(shù)，家長(zhǎng)人數(shù)多于教師人數(shù)，教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).則該釘釘群人數(shù)的最小值為(????)
A. ?18 B. 20 C. 22 D. 28
10. 已知k 6? 5， 6? 5> 7? 6．
(1)分析以上結(jié)論，試寫出一個(gè)一般性的命題；
(2)判斷該命題的真假，若為真，請(qǐng)用分析法給出證明；若為假，請(qǐng)說明理由．
19. 已知數(shù)列{an}中，a1=2，an=an?12an?1+1(n≥2)．
(1)求a2、a3、a4的值；
(2)猜測(cè)an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．
20. 已知四棱錐P?ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB//CD，AC∩BD=O，AO=2OC=2，PA=PB=AB=2 2，AC⊥PB．
(1)證明：平面PBD⊥平面ABCD；
(2)求二面角A?PD?B的余弦值．

21. 已知橢圓C：x2a2+y23=1(a> 3)的離心率為 22．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線l經(jīng)過C的左焦點(diǎn)F1且與C相交于B、D兩點(diǎn)，以線段BD為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F2，求l的方程．
22. 已知函數(shù)f(x)=12x2?alnx(a∈R)．
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)x>1時(shí)，12x2+lnxB，只需②C0)，可得p2=3，得2p=12，
∴拋物線的方程為y2=12x，即為點(diǎn)P的軌跡方程．
故選D．
??
6.【答案】B?
【解析】解：因?yàn)殡x心率e=ca= 7，所以ba= (ca)2?1= 6，
故C的漸近線方程為y=± 6x．
故選：B．
利用雙曲線的離心率，轉(zhuǎn)化求解a，b關(guān)系，即可得到雙曲線的漸近線方程．
本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，漸近線方程的求法，是基礎(chǔ)題．

7.【答案】C?
【解析】
【分析】
本題考查定積分求面積，屬于基礎(chǔ)題．
確定積分區(qū)間與被積函數(shù)，求出原函數(shù)，即可求得定積分．
【解答】
解：由題意陰影部分的面積等于?3 1(3?x2?2x)dx
=(3x?13x3?x2)|?31=(3?13?1)?(?9+9?9)=323，
故選C．??
8.【答案】D?
【解析】解：當(dāng)xg(x)min，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求．
本題主要考查了導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性及利用分離參數(shù)法求解最值問題，屬于中檔試題．

13.【答案】?x0∈R，使得sinx0>1?
【解析】解：∵命題：?x∈R，sinx≤1，
∴命題的否定為：?x0∈R，使得sinx0>1，
故答案為：?x0∈R，使得sinx0>1
根據(jù)全稱命題的否定方法，結(jié)合已知中的原命題，可得答案．
本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的否定，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】甲?
【解析】解：若p是真命題，則q，r都是假命題，
此時(shí)p∨q是真命題，(￢q)∨r是真命題成立，
若q是真命題，則p，r都是假命題，
此時(shí)p∨q是真命題，￢q是假命題，此時(shí)(￢q)∨r是真命題不成立，
若r是真命題，則p，q都是假命題，此時(shí)p∨q是真命題不成立，
故得第一名的是甲，
故答案為：甲．
分別討論p，q，r是真命題，然后驗(yàn)證p∨q是真命題，(￢q)∨r是真命題是否成立即可．
本題主要考查復(fù)合命題真假關(guān)系的應(yīng)用，結(jié)合條件分別進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．

15.【答案】 5?
【解析】解：因?yàn)閨a|=|b|=|c|=1，且a,b,c兩兩夾角為60°，
所以a?b=b?c=a?c=1×1×cos60°=12，
所以|a?b+2c|2=a2+b2+4c2?2a?b?4b?c+4a?c=1+1+4?2×12?4×12+4×12=5，
所以|a?b+2c|= 5．
故答案為： 5．
根據(jù)空間向量數(shù)量積的定義可求得a?b=b?c=a?c=12，進(jìn)而求得|a?b+2c|2的值，從而求解．
本題主要考查向量的概念與向量的模，屬于基礎(chǔ)題．

16.【答案】4?
【解析】解：如圖：

由x29?y24=1得a2=9，a=3，
c2=9+4=13，c= 13，
由題意：|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=52，|PF1|?|PF2|=2a=6，
|PF1|2+|PF2|2?(|PF1|?|PF2|)2=2|PF1||PF2|=52?62=16，
所以S△F1PF2=12|PF1||PF2|=4．
故答案為：4．
由雙曲線定義和勾股定理可得2|PF1||PF2|=16，可得S△F1PF2=12|PF1||PF2|=4．
本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

17.【答案】解：z=2+4mi1?i=(2+4mi)(1+i)(1?i)(1+i)=(1?2m)+(1+2m)i．
(1)∵z是純虛數(shù)，∴1?2m=01+2m≠0，即m=12；
(2)∵z=(1?2m)?(1+2m)i，
∴z+2z=(1?2m)?(1+2m)i+2(1?2m)+2(1+2m)i
=(3?6m)+(1+2m)i，
由復(fù)數(shù)z+2z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，
得3?6m>01+2m>0，解得?121 n+2+ n+1，
∴ n+1? n> n+2? n+1．?
【解析】(1)根據(jù)所給結(jié)論，即可求解；
(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合綜合法，即可求證．
本題主要考查綜合法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

19.【答案】解：(1)∵數(shù)列{an}中，a1=2，an=an?12an?1+1(n≥2)，
∴a2=22×2+1=25，
a3=252×25+1=29，
a4=292×29+1=213．
(2)由(1)猜想an=21+4(n?1)．
下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a1=21+4(1?1)=2，成立；
②假設(shè)n=k時(shí)成立，即ak=21+4(k?1)，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
ak+1=ak2ak+1=21+4(k?1)2×21+4(k?1)+1=21+4k，也成立，
∴an=21+4(n?1)．?
【解析】(1)由已知條件分別令n=1，2，3，能求出a2、a3、a4的值．
(2)由(1)猜想an=21+4(n?1).然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
本題考查數(shù)列的前4項(xiàng)的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的猜想，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．

20.【答案】解：(1)在等腰梯形ABCD中，OA=OB=2，∵AB=2 2，∴AB2=OA2+OB2，所以O(shè)A⊥OB，即AC⊥BD，
又因?yàn)镻B⊥AC，且BD∩PB=B，所以AC⊥平面PBD，
又因?yàn)锳C?平面ABCD，因此平面PBD⊥平面ABCD．
(2)連接PO，由(1)知，AC⊥平面PBD，所以AC⊥PO，
所以PO= PA2?OA2=2，
所以PB2=PO2+OB2，即PO⊥OB，
又∵OA⊥OB，以O(shè)A，OB，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(2,0,0)，D(0,?1,0)，P(0,0,2)，
設(shè)平面PAD的法向量為n=(x,y,z)，因?yàn)镻A=(2,0,?2)，PD=(0,?1,?2)，
令z=1，則x=1，y=?2，
所以平面PAD的一個(gè)法向量n=(1,?2,1)，∵AC⊥平面PBD，∴平面PBD的一個(gè)法向量m=(1,0,0)，
所以cos?m,n?=m?n|m||n|= 66，
所以二面角A?PD?B的余弦值為 66．?
【解析】(1)可得AB2=OA2+OB2，即AC⊥BD，即可得AC⊥平面PBD，即可證明平面PBD⊥平面ABCD．
(2)連接PO，以O(shè)A，OB，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PAD的法向量和平面PAD的一個(gè)法向量即可得二面角A?PD?B的余弦值．
本題考查了空間面面垂直的判定、二面角的求解，屬于中檔題

21.【答案】解：(1)由題意得b= 3，ca= 22，a2=b2+c2，
解得a= 6，
∴橢圓C方程為x26+y23=1；
(2)由題目可知l不是直線y=0，且F1(? 3,0)、F2( 3,0)，
設(shè)直線l的方程為x=my? 3，點(diǎn)B(x1,y1)、D(x2,y2)，
代入橢圓方程，整理得：(m2+2)y2?2 3my?3=0，Δ>0恒成立，
∴y1+y2=2 3mm2+2①，y1?y2=?3m2+2②，
由x1=my1? 3，x2=my2? 3得：x1+x2=?4 3m2+2③，x1?x2=6?6m2m2+2④，
∵F2B=(x1? 3,y1),F2D=(x2? 3,y2)，
由題意知F2B?F2D=0，
∴x1?x2? 3(x1+x2)+y1?y2+3=0，
將①②③④代入上式并整理得m2=7，
∴m=± 7，
因此，直線l的方程為x? 7y+ 3=0或x+ 7y+ 3=0．?
【解析】(1)根據(jù)離心率求出b，即可得到方程；
(2)直線l的方程為x=my? 3，點(diǎn)B(x1,y1)、D(x2,y2)，利用向量F2B?F2D=0求解即可．
本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查直線與橢圓的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

22.【答案】解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，
由題意得f′(x)=x?ax>0(x>0)，
∴當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)．
當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)=x?ax=x2?ax=(x? a)(x+ a)x，
∴當(dāng)00
當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為( a,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0, a).
(2)設(shè)g(x)=23x3?12x2?lnx(x>1)，
則g′(x)=2x2?x?1x，
∵當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)=(x?1)(2x2+x+1)x>0，
∴g(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)．
∴g(x)>g(1)=16>0.即23x3?12x2?lnx>0，
∴12x2+lnx1時(shí)，12x2+lnx0)，討論a的符號(hào)，判斷單調(diào)性．
(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=23x3?12x2?lnx(x>1)，利用導(dǎo)數(shù)求解最小值，轉(zhuǎn)化為判斷最小值的符號(hào)問題．

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