2022-2023學年廣東省廣外、廣附、鐵一三校高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題 一、單選題1．已知集合，，則中元素的個數(shù)為（    ）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】采用列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，中的元素滿足，且，由，得，所以滿足的有，故中元素的個數(shù)為4.故選：C.【點晴】本題主要考查集合的交集運算，考查學生對交集定義的理解，是一道容易題.2．若復數(shù)（i為虛數(shù)單位，a，且）為純虛數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡，根據(jù)其為純虛數(shù)可得且，即可求得答案.【詳解】由題意得,∵為純虛數(shù)∴且，∴，另解：設（），則，即，，∴，故選：D.3．已知，，，則，，的大小關系為（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質計算可得；【詳解】解：因為，所以，，，即，，，所以故選：D4．關于空間向量，以下說法正確的是（    ）A．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量不一定共面B．已知向量組是空間的一個基底，則也是空間的一個基底C．若對空間中任意一點，有，則四點共面D．若，則的夾角是鈍角【答案】C【分析】根據(jù)向量的定義以及運算規(guī)則逐項分析可以求解.【詳解】解：對A，若兩個向量是共線的，由于空間任意兩個向量一定共面，因此這三個向量一定共面，故錯誤；對B，因為 ，所以共面，不能構成基底，錯誤；對C，對 ，則四點共面，由可得 ，且，所以四點共面，正確；對D，若可為，所以不一定為鈍角，故錯誤；故選：C5．若P是圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一點，則點P到直線y＝kx－1的距離不可能是（    ）A．4 B．6C．3＋1 D．8【答案】D【分析】根據(jù)題意作出示意圖，判斷出直線過定點，進而求出圓心到直線距離的最大值，然后判斷各個答案.【詳解】如圖，圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圓心坐標為(－3，3)，半徑為1，直線y＝kx－1過定點．由圖可知，圓心C到直線y＝kx－1距離的最大值為，則點P到直線y＝kx－1距離的最大值為5＋1＝6；當直線與圓有公共點時，點P到直線距離的最小值為0．即距離的范圍是[0,6]. 故選：D.6．已知定義在上的奇函數(shù)，對任意的都有，且當時，，則（    ）A．4 B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件先求出函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，結合函數(shù)的周期性和奇偶性進行轉化求解即可．【詳解】由，得，則函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則，故選：D．【點睛】本題主要考查函數(shù)值的計算，結合條件判斷函數(shù)的周期，利用周期性和奇偶性進行轉化是解決本題的關鍵．7．阿基米德是古希臘著名的數(shù)學家、物理學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積. 已知橢圓（）的右焦點為，過F作直線l交橢圓于A、B兩點，若弦中點坐標為，則橢圓的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用作差法構建斜率、中點坐標相關方程，再結合即可求解出a、b，進而求出面積.【詳解】設，，則有，兩式作差得：，即，弦中點坐標為，則，又∵，∴，∴，又∵，∴可解得，，故橢圓的面積為.故選：C8．若對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分離變量將問題轉化為對于任意實數(shù)恒成立，進而求出的最大值，設及，然后通過基本不等式求得答案.【詳解】由題意可得，對于任意實數(shù)恒成立，則只需求的最大值即可，，設，則，再設，則，當且僅當時取得“=”.所以，即實數(shù)a的最小值為.故選：D. 二、多選題9．利用簡單隨機抽樣的方法抽查某工廠的件產品，其中一等品有件，合格品有件，其余為不合格品，現(xiàn)在這個工廠隨機抽查一件產品，設事件為“是一等品”， 為“是合格品”， 為“是不合格品”，則下列結果正確的是（    ）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】依題意可得、、為互斥事件，即可判斷B、C，再根據(jù)古典概型的概率公式得到、、，即可判斷A，最后根據(jù)和事件的概率公式判斷D；【詳解】解：由題意知、、為互斥事件，∴，故B正確、C錯誤；∵從件中抽取產品符合古典概型的條件，∴、、，則，∴A、D正確，故選：ABD.10．函數(shù)的圖象在上恰有兩個最大值點，則可能為（    ）A．2π B． C．3π D．【答案】BC【分析】根據(jù)的取值范圍，求出的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質計算可得.【詳解】解：函數(shù)，，．又函數(shù)在上恰有兩個最大值點，，解得．故選：BC．11．如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點，在線段上，則下列說法中正確的有（    ）A．平面B．平面C．存在點，滿足D．的最小值為【答案】AD【分析】對于A，在平面找一條直線，使其與平行即可；對于B，先由證明四點共面，再證四點共面，進而能判斷直線與平面的位置關系；對于C，以為正交基底，建立空間直角坐標系，用坐標運算即可；對于D，把三棱錐的正面和上底面展開，即能找到的最小值，構造直角三角形求解即可.【詳解】對于A，連接，分別是棱的中點，且，四邊形為平行四邊形， ，又平面，平面在平面內，所以平面，故A正確；對于B，易知，所以四點共面，又點，所以四點共面，平面，而平面，直線平面，故B不正確；對于C，以為正交基底，建立如圖1所示的空間直角坐標系.則，，，，，，，若，則，，在線段延長線上，而不在線段上，故C不正確；對于D，把圖1的正面和上底面展開如圖2所示，連接即為所求，過做PG垂直于且與其相交于，與相交于，易得，，，，在中，，，故D正確.故選：AD12．設函數(shù)，則下列說法正確的是（    ）A．若，則在上單調遞減 B．若，無最大值，也無最小值C．若，則 D．若，則【答案】ABC【分析】利用函數(shù)的單調性，極限，不等式的性質及函數(shù)最值，逐一判斷即可.【詳解】若，則且，，，則，故在上單調遞減，故A正確；若，則當且趨于時，趨于；當且趨于時，趨于，故無最大值，也無最小值，故B正確；若，則當時，，故，即，故C正確； 若，舉反例：，則，故.事實上，當時，，故D錯誤.故選：ABC 三、填空題13．求值：___________【答案】【分析】利用對數(shù)的運算性質化簡可得結果.【詳解】原式.故答案為：.14．已知直線l過點，且方向向量為，則點到l的距離為____________．【答案】【分析】過點A作，垂足為B，記點B坐標為，利用和列方程組求解可得.【詳解】過點A作，垂足為B，記點B坐標為，則，所以解得，，，則，即點到l的距離為.故答案為：15．已知橢圓C：1的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，其中，若，||，則橢圓的離心率的取值范圍為_____．【答案】(，]【分析】設，由已知得到的范圍，再由橢圓的定義得到n，m間的關系，代入、換元，求出e的范圍.【詳解】設，由，知，因為，在橢圓上，，所以四邊形為矩形，；由，可得1，由橢圓的定義可得，  ①，平方相減可得②，由①②得；令t，令，所以，即，所以，所以，所以，解得.故答案為： .16．某干燥塔的底面是半徑為1的圓面O，圓面有一個內接正方形框架，在圓O的劣弧上有一點P，現(xiàn)在從點P出發(fā)，安裝三根熱管，則三根熱管的長度和的最大值為____________．【答案】【分析】連接BD，DP，設，利用直徑所對圓周角為直角，以及三角函數(shù)定義表示出所求，然后利用輔助角公式化簡可解.【詳解】如圖．連接，設，則，在中，，在中，所以，其中，所以，由的范圍可以取到最大值．故答案為： 四、解答題17．如圖，在四棱錐中，底面，為直角，，?分別為?的中點，（1）證明：平面平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用線面平行的判斷定理以及面面平行的判定定理證得命題成立；（2）由，利用三棱錐的體積公式求解即可．【詳解】（1）證明：由已知，且為直角，為的中點，，故是矩形，，平面，又∵，分別為，的中點.∴，∴平面又∵，所以平面平面.（2）設到平面的距離為∵面，是的中點∴∴∴三棱錐的體積為【點睛】方法點睛：本題考查空間點線面的位置關系，考查棱錐的體積公式，考查學生計算能力，證明面面平行的一般方法如下：1.如果一個平面內有兩條相交直線與都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。2.如果兩個平面都垂直同一條直線，那么這兩個平面是互相平行的。3.根據(jù)兩個平面平行的定義，證明兩個平面沒有公共點。18．如圖，在中，是上一點，平分.(1)求證：；(2)若，，，求的內切圓面積.【答案】(1)見解析(2) 【分析】（1）易知，，則，，在和中，分別利用正弦定理即可得證；（2）在中，利用余弦定理求得，再利用平方關系求得，再利用二倍角的正弦公式求得，再根據(jù)，求得，再根據(jù)（1）可求得，設的內切圓的半徑為，根據(jù)求得內切圓的半徑，從而可求得答案.【詳解】（1）解：因為平分，所以，在中，因為，所以，在中，因為，所以，又因，，所以，，所以，即；（2）解：在中，，則，所以，因為，所以，即，所以，因為，所以，則，設的內切圓的半徑為，則，即，解得，所以的內切圓面積為.19．有一種魚的身體吸收汞，當這種魚身體中的汞含量超過其體重的（即百萬分之一）時，人食用它，就會對人體產生危害.現(xiàn)從一批該魚中隨機選出條魚，檢驗魚體中的汞含量與其體重的比值（單位：），數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（1）求上述數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、極差，并估計這批魚該項數(shù)據(jù)的分位數(shù)；（2）有，兩個水池，兩水池之間有個完全相同的小孔聯(lián)通，所有的小孔均在水下，且可以同時通過條魚.（ⅰ）將其中汞的含量最低的條魚分別放入水池和水池中，若這條魚的游動相互獨立，均有的概率進入另一水池且不再游回，求這兩條魚最終在同一水池的概率；（ⅱ）將其中汞的含量最低的條魚都先放入水池中，若這條魚均會獨立地且等可能地從其中任意一個小孔由水池進入水池且不再游回水池，求這兩條魚由不同小孔進入水池的概率.【答案】（1）中位數(shù)為；眾數(shù)為；極差為；估計這批魚該項數(shù)據(jù)的百分位數(shù)約為；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.【分析】(1)由中位數(shù)—排序后處于中間的數(shù)，如有兩個數(shù)取其平均數(shù)；眾數(shù)—出現(xiàn)頻率最高的數(shù)、極差—最大數(shù)與最小數(shù)的差；百分比位數(shù)—數(shù)據(jù)集中有n個數(shù)：當np為整數(shù)時，當np不為整數(shù)時；即可求出對應值；(2) （ⅰ）記：“兩魚最終均在水池”； ：“兩魚最終均在水池”求出概率，由它們的互斥性即可求得兩條魚最終在同一水池的概率；（ⅱ）記：“兩魚同時從第n個小孔通過”且魚的游動獨立，知，而10個事件互斥，則“兩魚同時從一個小孔通過”的概率即可求，它與“兩條魚由不同小孔通過”為互斥事件，進而求得其概率【詳解】解：（1）由題意知，數(shù)據(jù)的中位數(shù)為數(shù)據(jù)的眾數(shù)為數(shù)據(jù)的極差為估計這批魚該項數(shù)據(jù)的百分位數(shù)約為（2）（ⅰ）記“兩魚最終均在水池”為事件，則記“兩魚最終均在水池”為事件，則∵事件與事件互斥，∴兩條魚最終在同一水池的概率為（ⅱ）記“兩魚同時從第一個小孔通過”為事件，“兩魚同時從第二個小孔通過”為事件，依次類推；而兩魚的游動獨立∴記“兩條魚由不同小孔進入水池”為事件，則與對立，又由事件，事件，互斥∴即【點睛】本題考查了數(shù)據(jù)特征值的概念，以及利用條件概率公式，結合互斥事件、獨立事件等概念求概率；注意獨立事件：多個事件的發(fā)生互不相關，且可以同時發(fā)生；互斥事件：一個事件發(fā)生則另一個事件必不發(fā)生，即不能同時發(fā)生20．已知底面ABCD為菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截幾何體如圖所示.(1)若，求證：；(2)若，，三棱錐GACD的體積為，直線AF與底面ABCD所成角的正切值為，求銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)題意可證平面BDG，可得，得證平面ACE，得，再根據(jù)面面平行的性質可證；（2）根據(jù)題意可得，，利用空間向量求二面角．【詳解】（1）連接BD，交AC于點O，底面ABCD為菱形，∴，由直四棱柱得底面ABCD，又平面ABCD，∴，又，BD，平面BDG，∴平面BDG，因為平面BDG，∴已知，又，AC，平面ACE，∴平面ACE，因為平面BDG，∴∵平面平面CFGD平面平面，平面平面，∴，則（2）已知，，可求，由，則在直四棱柱中，底面ABCD，所以為直線AF與底面ABCD所成角，，則在平面ACF內作，可知底面ABCD，如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，則，，，，，則設平面BCE的法向量為，則取，得，，得，由（1）知平面ACE，所以平面ACE的一個法向量為則，所以銳二面角的余弦值為21．已知兩個定點A（-4，0），B（-1，0），動點P滿足|PA|=2|PB|.設動點P的軌跡為曲線E，直線l：y=kx-4.（1）求曲線E的方程；（2）若直線l與曲線E交于不同的C，D兩點，且∠COD=90°（O為坐標原點），求直線l的斜率；（3）若k=，Q是直線l上的動點，過Q作曲線E的兩條切線QM，QN，切點為M，N，探究：直線MN是否過定點.【答案】（1）x2+y2=4；（2）±；（3）過定點.【分析】（1）設點P坐標為（x，y），運用兩點的距離公式，化簡整理，即可得到所求軌跡的方程；（2）由，則點到邊的距離為，由點到線的距離公式得直線的斜率；（3）由題意可知：O，Q，M，N四點共圓且在以OQ為直徑的圓上，設Q，則圓的圓心為運用直徑式圓的方程，得直線的方程為tx+y-4=0，結合直線系方程，即可得到所求定點．【詳解】解析（1）設點P的坐標為（x，y），則由|PA|=2|PB|，得=2，平方可得x2+y2+8x+16=4（x2+y2+2x+1），整理得，曲線E的方程為x2+y2=4.（2）直線l的方程為y=kx-4，依題意可得為等腰直角三角形，則圓心到直線l的距離d==·|CD|=，∴k=±.（3）由題意可知，O，Q，M，N四點共圓且在以OQ為直徑的圓上，設Q，以OQ為直徑的圓的方程為，即又M，N在曲線E：x2+y2=4上，∴MN的方程為tx+y-4=0，即t-4（y+1）=0，由得∴直線MN過定點.22．設橢圓：，，是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，點在橢圓外，且．(1)求橢圓的方程；(2)若，點為橢圓上橫坐標大于1的一點，過點的直線與橢圓有且僅有一個交點，并與直線，交于M，N兩點，為坐標原點，記，的面積分別為，，求的最小值．【答案】(1)(2) 【分析】(1)結合已知條件，將可得到一個關系式，然后再結合求出半焦距，最后再結合即可求解；(2)首先設出直線的方程，然后利用直線與橢圓相切求出與的關系，再通過聯(lián)立直線間的方程表示出直線與點的縱坐標，并表示出和，進而表示出，最后利用換元法和均值不等式即可求解.【詳解】（1）因為點在橢圓上，所以，①因為點在橢圓外，且，所以，即，②由①②解得，，故橢圓的方程為．（2）設點，，設直線：，由橢圓性質以及點的橫坐標大于1可知，，將直線代入方程并化簡可得，，即，因為直線與橢圓有且僅有一個交點，所以，即．直線的方程為：；直線的方程為：，聯(lián)立方程得，同理得，所以，所以，，所以，令，則，當且僅當，即時，不等式取等號，故當時，取得最小值． 

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