2022-2023學(xué)年重慶市部分學(xué)校高二下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．現(xiàn)有3幅不同的油畫，4幅不同的國畫，3幅不同的水彩畫，從這些畫中選一幅布置房間，則不同的選法共有（    ）A．10種 B．12種 C．20種 D．36種【答案】A【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理求得正確答案.【詳解】依題意，不同的選法共有種.故選：A2．某物體沿直線運動，其位移（單位：m）與時間t（單位：s）之間的關(guān)系為，則在這段時間內(nèi)，該物體位移的平均速度為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平均速度的求法求得正確答案.【詳解】，所以平均速度為.故選：B3．隨機變量的分布列為123n則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求出，再根據(jù)方差公式可求出結(jié)果.【詳解】由，得，，.故選：A4．已知函數(shù)，且，則（    ）A．0 B．1 C．2 D．【答案】B【分析】先求得，由得，再求即可.【詳解】由得，由得，即，，故選：B5．用0，1，2，3，4可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（    ）A．16 B．36 C．48 D．60【答案】C【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可求出結(jié)果.【詳解】第一步，從中任選一個數(shù)字排在百位，有種；第二步，從剩下的個數(shù)字中任選個排在十位和個位，有種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得共有個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).故選：C6．某小區(qū)物業(yè)在該小區(qū)的一個廣場布置了一個如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個區(qū)域．現(xiàn)有6種不同的花卉可供選擇，要求相鄰的區(qū)域（有公共邊）不能布置相同的花卉，且每個區(qū)域只布置一種花卉，則不同的布置方案有（    ）A．720種 B．1440種 C．1560種 D．2520種【答案】C【分析】先對圖中不同的區(qū)域命名，分與布置相同的花卉、與布置不同的花卉兩種情況，再運用分步計數(shù)和分類計數(shù)的方法從開始計數(shù)即可.【詳解】如圖，不同的布置方案分兩類：當(dāng)與布置相同的花卉時，先安排，有6種不同的選擇；再安排與，有5種不同的選擇；再安排，有4種不同的選擇；最后安排，有4種不同的選擇，共有種.當(dāng)與布置不同的花卉時，先安排，有6種不同的選擇；再安排與，有種不同的選擇；再安排,有3種不同的選擇；最后安排，有3種不同的選擇，共有種.所以不同的布置方案有種.故選：C7．已知是定義在R上的奇函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為 ，若 恒成立，則的解集為（    ）A．  B． C．  D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】令函數(shù)，則 ，因為 所以. 是增函數(shù)，因為是奇函數(shù)，所以，，所以的解集為，即≥的解集為；故選：D.8．已知，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可得a，b，c的大?。?/span>【詳解】令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，因為，所以，即.故選：D. 二、多選題9．已知名同學(xué)排成一排，下列說法正確的是（    ）A．甲不站兩端，共有種排法B．甲、乙必須相鄰，共有種排法C．甲、乙之間恰有兩人，共有種排法D．甲不排左端，乙不排右端，共有種排法【答案】ACD【分析】A選項先排甲，再排其他人即可判斷；B選項利用捆綁法進行排序；C選項先排列兩人在甲乙之間，再排列其余兩人；D選項采用間接法進行排列計算.【詳解】甲不站兩端，優(yōu)先將甲排在中間四個位置，故有種排法，A正確；甲、乙必須相鄰，用捆綁法進行排列，共有種排法，B錯誤；甲、乙之間恰有兩人，先其余四人任選兩人排在甲乙之間，剩余兩人可排在甲或乙旁邊，也可分別排列在甲乙兩邊，共有種排列法，C正確；名同學(xué)排成一排共有種排法，甲排左端有種排法，乙排右端有排法，其中甲乙同時在左右兩端有種，故用間接法可知甲不排左端，乙不排右端共有種排法，D正確.故選：ACD10．已知為兩個隨機事件，且，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．若，則B．C．若B和C是兩個互斥事件，則D．當(dāng)時，【答案】ACD【分析】根據(jù)條件概率的公式和性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因為，所以．A正確．，B錯誤．若B和C是兩個互斥事件，則，C正確．因為，所以．，D正確．故選：ACD.11．已知，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】對于A，令，由此即可判斷；對于BD，因為， 然后根據(jù)二項式定理分別求出，由此即可判斷；對于D，分別令，聯(lián)立化簡即可判斷.【詳解】對于A，令，則，故A正確；對于B，因為，所以，B錯誤；對于C，令，則， 令，則 ， 所以，故C正確；對于D，由選項B可知，，，所以，故D正確.故選：ACD.12．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（    ）A．在上單調(diào)遞增B．的最大值為1C．當(dāng)時，D．若函數(shù)恰有2個零點，則的取值范圍為【答案】BCD【分析】對于選項AB，通過對函數(shù)求導(dǎo)，直接求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值，即可判斷出選項AB的正誤；對選項C，通過構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性即可判斷出選項C的正誤；對于選項D，令，從而得到，再利用的單調(diào)性即可判斷出選項D的正誤.【詳解】選項AB，易知的定義域為，，所以，當(dāng)時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，故選項A錯誤，選項B正確；選項C，令，則 ，因為，所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即，故選項C正確；選項D，令，由，得到，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，當(dāng)趨近于0時，趨近于0，當(dāng)趨近于時，趨近于0，所以時，恒有，所以，如圖1，當(dāng)或時，無解，則無零點，不合題意；當(dāng)時，時，，由，得到，即時，則有且只有一個零點，不合題意；當(dāng)時，有兩個解，因為，如圖2，有且僅有兩解，，無解，則有且兩個零點，符合題意；所以恰有兩個零點時，，故選項D正確.故選：BCD.【點睛】方法點睛：對于函數(shù)零點的個數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求解．這類問題求解的通法是：（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點和難點，并求其定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點；（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進而求解． 三、填空題13．已知隨機變量，則          ．【答案】【分析】根據(jù)二項分布的方差公式求解即可．【詳解】因為，所以. 故答案為：14．某科研院校培育枇杷新品種，新培育的枇杷單果質(zhì)量（單位：g）近似服從正態(tài)分布，現(xiàn)有該新品種枇杷100000個，估計單果質(zhì)量不低于28g的枇杷有      個.附：若，則，，.【答案】【分析】根據(jù)正態(tài)分布特殊區(qū)間的概率可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，，所以，所以估計單果質(zhì)量不低于28g的枇杷有個.故答案為：.15．已知函數(shù)，直線．若A，B分別是曲線和直線l上的動點，則的最小值是          【答案】【分析】求出與平行的切線為，從而得到與的距離即為的最小值，得到答案.【詳解】，設(shè)在點處的切線與平行，即斜率為-2，所以，解得，則在點處的切線方程為，即則與的距離即為的最小值，即，故的最小值為.故答案為：16．某地區(qū)一個家庭中孩子個數(shù)的情況如下：1230每個孩子的性別是男是女的概率均為，且相互獨立，則一個家庭中男孩比女孩多的概率為        ．【答案】【分析】家庭孩子的個數(shù)不同將其分為4個互斥事件，在每個互斥事件的條件下發(fā)生男孩比女孩多的事件可用條件概率計算，再用全概率計算家庭中男孩比女孩多的概率.【詳解】記事件：“一個家庭有個孩子”，事件：“一個家庭的男孩比女孩多”．，，，由全概率公式得:．故答案為：. 四、解答題17．已知函數(shù)．曲線在處的切線方程是．(1)求的值；(2)求的極值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，求解即可；（2）由（1）知，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，從而可求解.【詳解】（1），所以曲線在處的切線斜率為，又，因為在處切線的方程為，所以，解得.（2）由（1）知，令得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.18．某校為校級元旦晚會選拔主持人，現(xiàn)有來自高一年級的參賽選手5名，其中男生2名：高二年級的參賽選手5名，其中男生3名.從這10名參賽選手中隨機選擇4人組成搭檔參賽.(1)設(shè)事件A為“選出的4人中恰有2名男生，且這2名男生來自同一個年級”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)為選出的4人中男生的人數(shù)，求隨機變量的分布列.【答案】(1)(2)分布列見解析 【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案；（2）確定X的可能取值，求出每個值對應(yīng)的概率，即可得分布列.【詳解】（1）由題意可知，從這10名參賽選手中隨機選擇4人組成搭檔參賽共有種選法，事件A的選法共有種，故.（2）由題意知X的取值可能為，由于，故X的分布列為：X01234P19．某數(shù)師某天需要給甲、乙2個班級上課，每個班級上1節(jié)課，已知一天共7節(jié)課，上午4節(jié)，下午3節(jié)．(1)若要求該教師先給甲班上課，再給乙班上課，試問不同的課表安排有多少種？(2)若要求該教師不能連上節(jié)課（第4節(jié)和第5節(jié)不算連上），試問不同的課表安排有多少種？【答案】(1)種(2)種 【分析】（1）根據(jù)組合數(shù)的知識求得正確答案.（2）利用對立事件的方法，結(jié)合排列數(shù)求得正確答案.【詳解】（1）若要求該教師先給甲班上課，再給乙班上課，則不同的課表安排有種.（2）如果沒有特殊要求，則排課方法有種，其中連上節(jié)課的可能是節(jié)、節(jié)、節(jié)、節(jié)，節(jié)，則連上節(jié)課的方法數(shù)有種，所以不連上節(jié)課的方法有種.20．為慶祝共青團成立一百周年，某校高二年級組織了一項知識競答活動，有三個問題.規(guī)則如下：只有答對當(dāng)前問題才有資格回答下一個問題，否則停止答題：小明是否答對三個問題相互獨立，答對三個問題的概率及答對時獲得相應(yīng)的榮譽積分如下表：問題答對的概率獲得的榮譽積分(1)若小明隨機選擇一道題，求小明答對的概率；(2)若小明按照的順序答題所獲得的總積分為，按照___________（在下列條件①②③中任選一個）的順序答題所獲得的總積分為，請分別求的分布列，并比較它們數(shù)學(xué)期望的大小.①；②：③注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2)答案見解析 【分析】（1）根據(jù)全概率公式計算可求得結(jié)果；（2）首先確定和所有可能的取值，根據(jù)獨立事件概率乘法公式依次確定每個取值對應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計算公式可得期望，從而得到數(shù)學(xué)期望的大小關(guān)系.【詳解】（1）記事件：小明隨機選擇一道題并答對；事件：小明選擇問題；事件：小明選擇問題；事件：小明選擇問題；則，且兩兩互斥；事件分別為：小明答對問題；由題意知：，，，；.（2）由題意知：所有可能的取值為，；；；；的分布列為：則數(shù)學(xué)期望；若選條件①，所有可能的取值為，；；；；的分布列為：則數(shù)學(xué)期望，；若選條件②，所有可能的取值為，；；；；的分布列為：則數(shù)學(xué)期望；；若選條件③，所有可能的取值為，；；；；的分布列為：則數(shù)學(xué)期望；.21．甲，乙兩人進行了一次羽毛球比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利比賽結(jié)束．假設(shè)在一局比賽中若甲先發(fā)球，則這局甲獲勝的概率是；若乙先發(fā)球，則這局比賽甲獲勝的概率是．已知第1局比賽甲先發(fā)球，以后每局比賽由前1局獲勝的一方先發(fā)球，且各局比賽結(jié)果相互獨立．每局比賽都分出勝負(fù)．(1)求比賽只進行3局就結(jié)束的概率；(2)記比賽結(jié)束后，甲獲勝的局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列及期望．【答案】(1)；(2)分布列見解析，期望為. 【分析】（1）分兩種情況（甲獲勝和乙獲勝）討論，利用獨立事件的概率公式求解；（2）由題意可知X的所有可能取值是0，1，2，3，再求出對應(yīng)的概率即得解.【詳解】（1）比賽只進行3局就結(jié)束的情況有兩種：第一種情況是甲3：0獲勝，其概率，             第二種情況是乙3：0獲勝，其概率，       故比賽只進行3局就結(jié)束的概率.（2）由題意可知X的所有可能取值是0，1，2，3．，            ，            ，，           ，                   則X的分布列為X0123P故22．已知函數(shù)，．(1)判斷和的單調(diào)性；(2)若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2) 【分析】（1）求得，分和，兩種情況討論，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；再求得，令，求得，得到的單調(diào)性與最大值，進而求得的單調(diào)性；（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在內(nèi)恒成立，令，求得，再，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，進而得到在和中各存唯一的，使得， ，進而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合，求得最小值，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，若時，，在定義域上單調(diào)遞減；若時，令，解得，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；又由函數(shù)的定義為，且，令，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得極大值，也為最大值，所以，所以在上單調(diào)遞減.（2）解：由不等式，即在內(nèi)恒成立，即在內(nèi)恒成立，令，可得，令，可得，令，可得；令，可得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又由，，，所以在 中存唯一的使得，在中存在唯一的使得，即有，因為在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；又由，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時，，時，，因為，可得所以，即，所以，代入和，則有，同理可得，所以，所以函數(shù)在上的最小值，既可以在處取得，也可以在處取得，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍是.【點睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別． 

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