一、單選題
1．已知空間向量，，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)向量垂直得，即可求出的值.
【詳解】.
故選：B.
2．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由直線的方程，求得直線的斜率，進(jìn)而根據(jù)，即可得傾斜角，得到答案．
【詳解】由題意，直線，可得直線的斜率，
即，又∵，所以，
故選．
【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角的求解，其中解答中由直線方程得出斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)鍵求解是解決的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于屬基礎(chǔ)題．
3．若橢圓的短軸長是焦距的2倍，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】記橢圓的焦距為，根據(jù)題中條件，得到，進(jìn)而可求出離心率.
【詳解】記橢圓的焦距為，
因?yàn)闄E圓的短軸長是焦距的2倍，
所以，即，所以，即，即，所以，
因此橢圓的離心率為.
故選：B.
4．兩平行直線和間的距離是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將方程變形，再根據(jù)兩平行直線間的距離公式計算可得；
【詳解】解：直線即為，所以兩平行直線和間的距離；
故選：A
5．過點(diǎn)的圓與直線相切于點(diǎn)，則圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求得圓心和半徑，由此求得圓的方程.
【詳解】設(shè)圓心為，半徑為，
則，
解得，所以圓心為，
半徑.
所以圓的方程為.
故選：A
6．已知向量，，，若，，共面，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用空間向量共面定理進(jìn)行求解.
【詳解】若，，共面，則存在實(shí)數(shù)，，
使得，
即，
即，解得.
故選：D.
7．二面角中，，，，，且B、C為垂足，，，，，則二面角大小為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意向量的夾角等于二面角，根據(jù)，兩邊同時平方，結(jié)合向量數(shù)量積得運(yùn)算律計算即可得解.
【詳解】解：因?yàn)椋?，，?br>所以向量的夾角等于二面角，設(shè)為，
由，
得
，
則，
解得，
又，所以，
即二面角大小為.
故選：C.
8．已知曲線與直線總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】對曲線化簡可知曲線表示以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的下半部分，對直線方程化簡可得直線過定點(diǎn)，畫出圖形，由圖可知，，然后求出直線的斜率即可
【詳解】由，得，
因?yàn)椋?br>所以曲線表示以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的下半部分，
由，得，
所以，得，
所以直線過定點(diǎn)，
如圖所示設(shè)曲線與軸的兩個交點(diǎn)分別為，
直線過定點(diǎn)，為曲線上一動點(diǎn)，
根據(jù)圖可知，若曲線與直線總有公共點(diǎn)，則
，得，
設(shè)直線為，則
，解得，或，
所以，
所以，所以，
故選：D
二、多選題
9．給出下列命題，其中正確的命題是（ ）
A．若 ，則 或
B．若向量 是向量 的相反向量，則
C．在正方體 中，
D．若空間向量 ， ， 滿足 ， ，則
【答案】BCD
【分析】根據(jù)向量模長，相等向量，相反向量概念逐項判斷真假.
【詳解】對于選項A：若，即向量與的模相等，但方向不確定，故A錯誤；
對于選項B：相反向量是指大小相等方向相反的兩個向量，故B正確；
對于選項C：在正方體中，與大小相等，方向相同，故，所以C正確；
對于選項D：若 ，，則方向相同大小相等，故，若中有零向量結(jié)論也正確，所以D正確.
故選：BCD.
10．點(diǎn)為圓外一個點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m不可取的值有（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】ACD
【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知圓心，半徑，因?yàn)辄c(diǎn)在圓外，所以，則可求出m的取值范圍，選出符合的選項.
【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
可知圓心，半徑，
而，所以，A選項不可?。?br>又因?yàn)辄c(diǎn)在圓外，所以，即，解得，CD選項不可??；
故選：ACD
11．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知的頂點(diǎn)、，其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)不可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】由已知求出的垂直平分線方程，與歐拉線方程聯(lián)立求得外心坐標(biāo)，從而得到圓的方程，設(shè)，根據(jù)三角形的重心在歐拉線上，再與圓的方程聯(lián)立即可求出的坐標(biāo)，從而選出選項.
【詳解】，，的垂直平分線方程為，
又因?yàn)橥庑脑跉W拉線上，
聯(lián)立，解得三角形的外心為，
又，
的外接圓方程為.
設(shè)，則三角形的重心在歐拉線上，
即，整理得：，
又因?yàn)樵谕饨訄A上，得，
聯(lián)立，解得：或，
所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以是或，
反之與不滿足條件.
故選：BC.
12．已知，令，則S取到的值可以有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】BCD
【分析】由題意點(diǎn)為直線上的點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上的點(diǎn)，看作點(diǎn)到點(diǎn)的距離，設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線方程為，求出此直線方程，從而可求得的最小值，即可得解.
【詳解】由，得點(diǎn)為直線上的點(diǎn)，
由，得點(diǎn)為曲線上的點(diǎn)，
由，
可以看作點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
由，得，
所以點(diǎn)為橢圓且在軸上方的點(diǎn)，
設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線方程為，
聯(lián)立，消得，
則，解得（舍去），
則，
直線與直線得距離，
所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離大于等于，
所以，
故符合的選項為BCD.
故選：BCD.
三、填空題
13．若， 則__________________
【答案】
【分析】先求出，再根據(jù)向量模的表示可求出.
【詳解】，
，
.
故答案為：.
14．直線過點(diǎn)，則直線的方程為_________________．
【答案】
【分析】直接根據(jù)直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線方程即可.
【詳解】解：因?yàn)橹本€過點(diǎn)，
所以直線的方程為.
故答案為：.
15．已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量為__________．
【答案】
【分析】根據(jù)投影向量的定義即可得出答案.
【詳解】解：當(dāng)向量的坐標(biāo)原點(diǎn)為始點(diǎn)時，
其中點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的投影坐標(biāo)為，
所以向量在坐標(biāo)平面上的投影向量為.
故答案為：.
16．如圖，兩條異面直線a，b所成的角為，在直線a，b上分別取點(diǎn)和點(diǎn)A，F(xiàn)，使，且（稱為異面直線a，b的公垂線）．已知，，，則公垂線______________．
【答案】
【分析】根據(jù)異面直線a，b所成的角為，可得與得夾角為或，再由，兩邊同時平方，結(jié)合數(shù)量積得運(yùn)算律即可得解.
【詳解】解：因?yàn)楫惷嬷本€a，b所成的角為，
則與得夾角為或，則，
由，
得，
即，
所以，
即公垂線.
故答案為：.
四、解答題
17．若直線的方程為.
（1）若直線與直線垂直，求的值；
（2）若直線在兩軸上的截距相等，求該直線的方程.
【答案】（1）1；（2），．
【分析】（1）直線與直線垂直，可得，解得．
（2）當(dāng)時，直線化為：．不滿足題意．當(dāng)時，可得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，．根據(jù)直線在兩軸上的截距相等，即可得出．
【詳解】解：（1）直線與直線垂直，
，解得．
（2）當(dāng)時，直線化為：．不滿足題意．
當(dāng)時，可得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，．
直線在兩軸上的截距相等，，解得：．
該直線的方程為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查了直線的方程、相互垂直的直線斜率之間關(guān)系、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
18．已知以點(diǎn)為圓心的圓與______，過點(diǎn)的動直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn).從①直線相切；②圓關(guān)于直線對稱；③圓的公切線長這3個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面問題的橫線上并回答下列問題.
(1)求圓A的方程;
(2)當(dāng)時，求直線l的方程.
【答案】(1)；
(2)，或.
【分析】（1）選①：根據(jù)圓的切線性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
選②：根據(jù)圓與圓的對稱性進(jìn)行求解即可；
選③：根據(jù)兩圓公切線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
（2）利用圓的垂徑定理，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）選①：因?yàn)閳AA與直線相切，
所以圓A的半徑為，
因此圓A的方程為；
選②：因?yàn)閳AA與圓關(guān)于直線對稱，
所以兩個圓的半徑相等，因此圓A的半徑為，
所以圓A的方程為；
選③：設(shè)圓的圓心為，兩圓的一條公切線為
兩圓的圓心與兩圓的一條公切線示意圖如下：
設(shè)圓A的半徑，
因此有：，
所以圓A的方程為；
（2）三種選擇圓A的方程都是，
當(dāng)過點(diǎn)的動直線l不存在斜率時，直線方程為，
把代入中，得，
顯然，符合題意，
當(dāng)過點(diǎn)的動直線l存在斜率時，設(shè)為，直線方程為，圓心到該直線的距離為：，
因?yàn)?，所以有?br>即方程為：
綜上所述：直線l的方程為，或.
19．如圖，M、N分別是四面體OABC的棱OA、BC的中點(diǎn)，P、Q是MN的三等分點(diǎn)（點(diǎn)P靠近點(diǎn)N），若，解答下列問題：
(1)以為基底表示；
(2)若，，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形計算即可；
（2）根據(jù)結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計算即可.
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
.
20．在平面直角坐標(biāo)系中，，圓，動圓過且與圓相切.
（1）求動點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線過點(diǎn)，且與曲線交于、，已知的中點(diǎn)在直線上，求直線的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）由題意可知，圓內(nèi)切于圓，根據(jù)橢圓的定義可知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，計算出、的值，結(jié)合焦點(diǎn)的位置可求得軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，根據(jù)可得出關(guān)于的方程，求出的值，即可求得直線的方程.
【詳解】（1）設(shè)動圓的半徑為，由于在圓內(nèi)，所以，圓內(nèi)切于圓，
由題意知：，
所以，
所以點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓.
其長軸長，焦距為，，
所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）若直線的斜率不存在，則、關(guān)于軸對稱，不合題意；
若直線的斜率存在，設(shè)其方程為，設(shè)點(diǎn)、，
將代入得：，
，
所以，所以
所以，解得或，
所以，直線的方程為：或.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
21．如圖，已知向量，可構(gòu)成空間向量的一個基底，若，，．在向量已有的運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上，新定義一種運(yùn)算，顯然的結(jié)果仍為一向量，記作
(1)求證：向量為平面OAB的法向量；
(2)若，，求以O(shè)A，OB為邊的平行四邊形OADB的面積，并比較四邊形OADB的面積與的大??；
(3)將四邊形OADB按向量平移，得到一個平行六面體，試判斷平行六面體的體積V與的大?。ㄗⅲ旱冢?）小題的結(jié)論可以直接應(yīng)用）
【答案】(1)見解析
(2)，
(3)
【分析】（1）只需證明向量與垂直即可；
（2）根據(jù)平行四邊形的面積公式可知，即可求出四邊形得面積，根據(jù)新定義求出，再根據(jù)向量的模的計算即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，與平面所成的角為，在根據(jù)，可以推出結(jié)論.
【詳解】（1）證明：因?yàn)?br>，
所以，即，
因?yàn)?br>，
所以，即，
又因，
所以向量為平面OAB的法向量；
（2）解：，
則，
故，
由，，得，
所以，
所以；
（3）解：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，與平面所成的角為，
則，
由（1）得向量為平面OAB的法向量，
則，
又，
．
22．如圖，在四棱錐中，PA面ABCD，ABCD，且CD=2，AB=1，BC=，PA=1，ABBC，N為PD的中點(diǎn)．
(1)求證：AN平面PBC；
(2)在線段PD上是否存在一點(diǎn)M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存在，說明理由；
(3)在平面PBC內(nèi)是否存在點(diǎn)H，滿足，若不存在，請簡單說明理由；若存在，請寫出點(diǎn)H的軌跡圖形形狀（不必證明）．
【答案】(1)見解析
(2)存在，
(3)存在點(diǎn)H，點(diǎn)H的軌跡為橢圓
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，證明，，從而可得平面平面，再根據(jù)面面平行得性質(zhì)即可得證；
（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法結(jié)合線面角得正弦值求解即可；
（3）根據(jù)共面，可得存在唯一實(shí)數(shù)對使得，由此將點(diǎn)的坐標(biāo)用表示，再根據(jù)求出的關(guān)系式，即可得出答案.
【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)镹為PD的中點(diǎn)，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
因?yàn)椋?br>所以四邊形為平行四邊形，
所以，
又平面，平面，
又因平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面；
（2）解：假設(shè)存在，設(shè)，
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
故，
則，
設(shè)平面的法向量，
則有，可取，
則，
整理得，解得或（舍去），
所以當(dāng)時，直線CM與平面PBC所成角的正弦值是；
（3）解：假設(shè)存在，設(shè)，
，
因?yàn)楣裁妫?br>所以存在唯一實(shí)數(shù)對使得，
即，
則，所以，故，
則，
則，
整理得，
所以點(diǎn)H的軌跡為橢圓，
所以存在點(diǎn)H，點(diǎn)H的軌跡為橢圓.
【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的證明，考查了滿足線面角的點(diǎn)是否存在的判斷與方法，本題解決第三問的關(guān)鍵在于如何將點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，有一定的難度.

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