2022-2023學年江西省景德鎮(zhèn)市高二上學期期中數學試題 一、單選題1．若直線過點，，則此直線的斜率是（      ）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根據斜率公式直接求解即可【詳解】因為直線過點，，所以此直線的斜率為，故選：A2．圓與圓的公切線條數為（      ）A．條 B．條 C．條 D．條【答案】C【分析】判斷兩圓的位置關系，可得出結論.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的標準方程為，圓心為，半徑為，所以，，所以，，即圓與圓相交，故兩圓的共有條公切線.故選：C.3．直線l：截圓所得的弦長等于（      ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據給定條件，求出圓的圓心和半徑，再利用幾何法求出弦長作答.【詳解】圓的圓心，半徑，點到直線的距離，所以所求弦長為.故選：C    4．中心在原點，實軸在x軸上，一個焦點在直線上的等軸雙曲線方程是（      ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題干中直線方程求得雙曲線焦點坐標，再根據等軸雙曲線中且即可求解.【詳解】因為雙曲線實軸在上且焦點在直線上，故令得，即.又因為且，所以，所以雙曲線方程為，即.故選：B5．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（      ）A．4 B．5 C． D．【答案】A【分析】作圖，求出點關于直線對稱的點，再由兩點間的距離公式即可得解．【詳解】如圖，  設點關于直線對稱的點為，則，解得，則“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：A．6．已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則a為（      ）A． B．2 C．或 D．【答案】C【分析】先求出雙曲線有漸近線方程，再由漸近線的夾角可得漸近線的傾斜角，從而列方程可求得結果【詳解】雙曲線漸近線方程為，因為雙曲線的兩條漸近線的夾角為，所以或，解得或，故選：C7．已知拋物線的焦點為F，定點，點P是拋物線上的動點，則當的值最小時，（      ）A．1 B．2 C． D．4【答案】D【分析】設到準線的距離為，則．然后求出．判斷當與拋物線相切時，最小，即取得最小值．利用函數的對數求解即可．【詳解】拋物線的準線方程為設到準線的距離為，則．  ．當與拋物線相切時，最小，即取得最小值．設過點的直線與拋物線相切，代入拋物線方程得，，解得．即，解得，把代入得．或．．故選：D．8．如圖，把橢圓的長軸AB分成10等份，過每個分點作x軸的垂線分別交橢圓的上半部分于點，，…，，F是左焦點，則（      ）  A．16 B．18 C．20 D．22【答案】B【分析】設橢圓的右焦點為，且，根據橢圓的定義和橢圓的對稱性，即可求解.【詳解】因為把橢圓的長軸AB分成10等份，過每個分點作x軸的垂線分別交橢圓的上半部分于點，，…，，設橢圓的右焦點為，且，可得，由橢圓的定義及橢圓的對稱性，可得，所以.故選：B. 二、多選題9．下列說法正確的是（      ）A．直線必過定點B．直線在y軸上的截距為1C．直線的傾斜角為30°D．點，，直線與線段AB相交，則實數m的取值范圍是，或【答案】AD【分析】根據直線過定點、截距、傾斜角、直線與線段有公共點的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，，所以直線過定點，A選項正確.B選項，直線，即，縱截距為，B選項錯誤.C選項，直線的斜率為，傾斜角為，C選項正確.D選項，直線，即過定點，斜率為，畫出圖象如下圖所示，由圖可知或，解得，或，所以D選項正確.  故選：AD10．已知拋物線：與雙曲線：有相同的焦點，點在拋物線上，則下列結論正確的是（      ）A．雙曲線的離心率為2B．雙曲線的漸近線為C．D．點到拋物線的焦點的距離為3【答案】ACD【分析】選項A由雙曲線的方程可得進而可得，即可得；選項B由焦點在軸上雙曲線漸近線方程可得；選項C先由點在拋物線上判斷，在根據焦點相同可得；選項D由拋物線的定義，將點到拋物線的焦點的距離轉化為到拋物線準線的距離可得.【詳解】選項A：由得，，，故，所以，故A正確；選項B：由得漸近線方程為：，故B錯誤；選項C：因點在拋物線上，可得開口向右，，由選項A得的焦點為，故的焦點坐標為，得，即，故C正確；選項D：由選項C知，拋物線：，故其準線為，由拋物線的定義知點到拋物線的焦點的距離為到拋物線準線的距離為，故D正確.故選：ACD11．已知曲線，下列說法正確的是（ ）A．若，則為雙曲線B．若且，則為焦點在軸上的橢圓C．若，，則不可能表示圓D．若，，則為兩條直線【答案】AB【分析】由，的取值，根據橢圓、雙曲線、圓與直線方程的特征，判斷曲線表示的形狀即可．【詳解】若，則為焦點在橫軸或縱軸上的雙曲線，所以正確； 若且，可得，，所以為焦點在軸上的橢圓，所以B正確；若，，當，時，是單位圓，所以C不正確；若，，則為雙曲線，所以D不正確．故選：AB．12．使得方程有實數解，則實數m的可能取值是（      ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】將原式化為，轉化為與函數圖象有公共點時，確定的范圍即可得結論．【詳解】可化為，即問題轉化為與有公共點做出函數圖象：  則當直線與半圓相切時有，所以得或（舍），當直線過點時．故實數m的取值的范圍是．故選：BCD． 三、填空題13．橢圓的長軸長為        ．【答案】【分析】根據橢圓的標準方程和長軸定義求解即可.【詳解】由橢圓方程可得，所以長軸長，故答案為：14．若在圓上運動，則的最大值為            ；【答案】/【分析】設，分析可知直線與圓有公共點，可得出圓心到直線的距離不小于圓的半徑，可得出關于的不等式，解出的范圍，即可得出的最大值.【詳解】設，可得，又因為點在圓上運動，則直線與圓有公共點，且圓心坐標為，半徑為，由點到直線的距離公式可得，整理可得，解得.因此，的最大值為.故答案為：. 四、雙空題15．點是直線上的動點，過點作圓的切線，分別相切于、兩點，則的最小值為            ；四邊形面積的最小值為            ；【答案】     /     【分析】由圓的幾何性質可知，，分析可知，當與直線垂直時，取最小值，求出的最小值，結合勾股定理可求出的最小值，證明出，可得出，結合三角形的面積公式可求得四邊形面積的最小值.【詳解】圓的圓心為坐標原點，如下圖所示：由圓的幾何性質可知，，由勾股定理可知，，當與直線垂直時，取最小值，且，所以，，由切線長定理可得，又因為，，所以，，所以，，故四邊形面積的最小值為.故答案為：；. 五、填空題16．過拋物線焦點的直線交拋物線于、兩點，若點在第一象限，且，則該直線的斜率            ．【答案】【分析】設直線的方程為，設點、，則，分析可得，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，結合可求得的值，即可得出直線的斜率.【詳解】拋物線的焦點為，因為直線過點，且點在第一象限，則直線不與軸重合，設直線的方程為，設點、，則，因為，則，即，所以，，聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，所以，，則，解得或（舍），因此，直線的斜率為.故答案為：. 六、解答題17．求滿足下列條件的直線方程．(1)直線過點，且與直線平行；(2)直線過點，且與直線垂直．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）設所求直線的方程為，將點代入，求得的值，即可求解；（2）設所求直線的方程為，將點代入，求得的值，即可求解；【詳解】（1）解：由題意，可設所求直線的方程為，因為點在直線上，可得，解得，故所求直線的方程為；（2）解：由題意，可設所求直線的方程為，因為點在直線上，所以，解得，故所求直線的方程為．18．頂點在原點，焦點在軸的正半軸的拋物線的焦點到準線的距離為．(1)求拋物線的標準方程；(2)若直線與拋物線相交于、兩點，求的長．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據題意設拋物線的標準方程為，根據題意求出的值，即可得出拋物線的標準方程；（2）分析可知，直線過拋物線的焦點，設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，結合拋物線的焦點弦長公式可求得.【詳解】（1）因為拋物線的焦點在軸的正半軸，設拋物線的標準方程為，因為拋物線的焦點到準線的距離為，則，故拋物線的標準方程為.（2）拋物線的焦點坐標為，且點在直線上，  設點、，聯(lián)立，消去可得，，由韋達定理可得，由拋物線的焦點弦長公式可得.19．已知點P在圓上運動，點，若點M是線段PQ的中點．(1)求點的軌跡的方程；(2)過點作圓C的切線，切點為兩點，求直線的方程．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）利用相關點代入法求得點的軌跡的方程.（2）先求得，然后利用兩圓相交的公共弦所在直線方程的求法求得直線的方程.【詳解】（1）設點坐標為，則，代入，得，整理得.（2）圓的圓心為，半徑為，，所以，線段的中點為，所以，以為直徑的圓的方程為.由，兩圓方程相減并化簡得直線的方程為：．  20．已知橢圓：的離心率為，短軸長為2．（1）求橢圓的標準方程；（2）過點的直線與橢圓交于兩點，若的面積為（為坐標原點），求直線的方程．【答案】（1），（2）.【分析】（1）由橢圓的性質列方程可得即可得解；（2）設直線的方程，聯(lián)立方程組結合韋達定理可得，再由三角形面積即可解得，即可的解.【詳解】（1）由題意可得，解得：故橢圓C的標準方程為.（2）由題意可知直線的斜率不為0，則設直線的方程為聯(lián)立，整理得,則，故,因為的面積為,所以，設，則整理得，解得或（舍去），即.故直線的方程為，即.21．如圖所示，某隧道內設雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個長方形的三邊構成.已知隧道總寬度為，行車道總寬度為，側墻高，為，弧頂高為.（1）以所在直線為軸，所在直線為軸，為單位長度建立平面直角坐標系，求圓弧所在的圓的標準方程；（2）為保證安全，要求隧道頂部與行駛車輛頂部（設為平頂）在豎直方向上的高度之差至少為，問車輛通過隧道的限制高度是多少？【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設出圓的方程，代入即可求解；（2）設限高為，作，求出點P的坐標，即可得出答案.【詳解】（1）由題意，有，，.所求圓的圓心在軸上，設圓的方程為（，），，都在圓上，，解得.圓的標準方程是.（2）設限高為，作，交圓弧于點，則.將點的橫坐標代入圓的方程，得，得或（舍去）..故車輛通過隧道的限制高度為.22．已知焦點在軸上的雙曲線實軸長為，其一條漸近線斜率為．(1)求雙曲線的標準方程；(2)過點能否作直線，使直線與所給雙曲線交于、兩點，且點是弦的中點？如果直線存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由見解析 【分析】（1）設曲線的標準方程為，根據已知條件求出、的值，即可得出該雙曲線的標準方程；（2）設以為中點的弦的兩端點為、，利用點差法求出直線的斜率，進而可得出直線的方程，判斷直線與雙曲線的位置關系，可得出結論.【詳解】（1）解：因為雙曲線的焦點在軸上，設該雙曲線的標準方程為，因為該雙曲線的實軸長為，一條漸近線斜率為，則，解得，因此，該雙曲線的標準方程為.（2）解：假定直線存在，設以為中點的弦的兩端點為、，則有，．  根據雙曲線的對稱性知．由點、在雙曲線上，得，，兩式相減得，所以，所以，即以為中點的弦所在直線的斜率，故直線的方程為，即．聯(lián)立，消去得，，因此直線與雙曲線無交點，故滿足條件的直線不存在． 

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