2022-2023學(xué)年江西省南昌市第一中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．在正方體中，（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合向量相等及向量線性運(yùn)算即可得解.【詳解】如圖，在正方體中，，，所以，.故選：B2．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及焦點(diǎn)坐標(biāo)求解即可【詳解】由題意，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：C3．已知直線：與直線：垂直，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A． B．C．或 D．不存在【答案】C【分析】根據(jù)直線垂直的關(guān)系即得.【詳解】由兩直線垂直可得，解得或.故選：C.4．已知橢圓的離心率為，焦點(diǎn)是，則橢圓方程為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，進(jìn)而求出短半軸長(zhǎng)作答.【詳解】由橢圓的焦點(diǎn)是，得橢圓的半焦距，由離心率為，得，即，因此橢圓的短半軸，所以橢圓方程為.故選：A5．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，則實(shí)數(shù)的值是（    ）A．1 B．-1 C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)判斷焦點(diǎn)所在軸,再由計(jì)算即可.【詳解】由焦點(diǎn)坐標(biāo)，知焦點(diǎn)在軸上，所以，可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由可得，可得.故選:.6．圓在點(diǎn)處的切線方程為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出圓心坐標(biāo)，利用切線的性質(zhì)求出切線的斜率作答.【詳解】圓的圓心，顯然點(diǎn)在此圓上，直線的斜率為，  所以所求切線斜率為，切線方程為，即.故選：D7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓（）經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，且圓心在拋物線上，則實(shí)數(shù)等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出焦點(diǎn)及圓心的坐標(biāo)，再根據(jù)給定信息列出方程組并求解作答.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，圓的圓心，依題意，，解得，而，則，所以實(shí)數(shù)等于4.故選：B    8．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，高為的梯形的兩頂點(diǎn)A，B分別在雙曲線的左、右支上，且，則該雙曲線的離心率等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，在和中， 利用余弦定理得解.【詳解】解：由梯形的高為得到，設(shè)，，在中，，因此，即，①在中，，因此，即，②①②相減得．故選：A 二、多選題9．設(shè)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（    ）A．點(diǎn)P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為B．點(diǎn)P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為C．點(diǎn)P到左焦點(diǎn)距離的最大值為D．點(diǎn)P到左焦點(diǎn)距離的最大值為【答案】AC【分析】利用橢圓的定義可判斷A，B選項(xiàng)，離左焦點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)為右頂點(diǎn)，可判斷C,D選項(xiàng)【詳解】由題意得，，由橢圓的定義可知，P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，故A正確，B錯(cuò)誤；又，所以，即，到左焦點(diǎn)距離的最大值為， 故選：AC10．已知雙曲線C：，則（    ）A．雙曲線C與圓有3個(gè)公共點(diǎn)B．雙曲線C的離心率與橢圓的離心率的乘積為1C．雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線D．雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同【答案】BCD【分析】由圓錐曲線的幾何性質(zhì)直接可得.【詳解】解：作圖可知A不正確；由已知得雙曲線C中，，，，所以雙曲線C的焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，漸近線方程為，離心率為，易知選項(xiàng)BCD正確． 故選：BCD11．已知是拋物線內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且與拋物線相交于兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．時(shí)，的最小值為B．的取值范圍是C．當(dāng)點(diǎn)是弦的中點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為D．當(dāng)點(diǎn)是弦的中點(diǎn)時(shí)，軸上存在一定點(diǎn)，都有【答案】ABD【分析】設(shè)出直線AB的方程，與C的方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線定義計(jì)算判斷A；求出直線與C的交點(diǎn)縱坐標(biāo)判斷B；由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，求出斜率判斷C；求出弦AB的中垂線方程判斷D作答.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與重合，設(shè)直線的方程為，，由消去x并整理得，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，A正確；  對(duì)于B，顯然點(diǎn)在直線上，由選項(xiàng)A知，當(dāng)時(shí)，可得，由點(diǎn)在拋物線內(nèi)，知，所以的取值范圍是，B正確；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)是弦的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)，，若，直線的斜率不存在，若，則直線的斜率，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，當(dāng)時(shí)，線段的中垂線斜率為，方程為，即，此直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，線段的中垂線為，過(guò)點(diǎn)，所以線段的中垂線恒過(guò)定點(diǎn)，即當(dāng)點(diǎn)是弦的中點(diǎn)時(shí)，軸上存在一定點(diǎn)，都有，D正確.故選：ABD12．以下四個(gè)命題表述正確的（    ）A．圓上有4個(gè)點(diǎn)到直線：的距離都等于1B．已知，，三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)不在軸上，且滿足，則直線的斜率取值范圍是C．圓：與圓：恰有一條公切線，則D．圓：，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓引兩條切線、，為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)【答案】BD【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)式求解.【詳解】(1)圓心到直線：的距離，而圓的半徑等于2，所以圓上只有3個(gè)點(diǎn)到直線距離等于1，所以A錯(cuò)誤;(2)設(shè)點(diǎn)，由得，化簡(jiǎn)得（），設(shè)過(guò)點(diǎn)且與（）相切直線方程為 即，則有，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在圓（）上，所以的斜率取值范圍是，所以B正確；(3)由題可知 解得，所以C錯(cuò)誤；(4)因?yàn)辄c(diǎn)為直線上，所以設(shè)，圓：的圓心為，所以中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以以為直徑的圓方程為，即，圓與圓的公共弦直線方程為，即令，則，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn),所以D正確.故選:BD. 三、填空題13．在空間坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為         .【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱的特征求解作答.【詳解】點(diǎn)關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：14．已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為          ．【答案】【分析】將線段的中點(diǎn)代入直線的方程中可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>、，所以的中點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以的中點(diǎn)在此直線上，所以，即，故答案為：15．已知平面上兩定點(diǎn)A、B，且，動(dòng)點(diǎn)P滿足，若點(diǎn)P總不在以點(diǎn)B為圓心，為半徑的圓內(nèi)，則負(fù)數(shù)的最大值為       ．【答案】/-0.75【分析】利用解析方法，以所在直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，得到動(dòng)點(diǎn)P點(diǎn)的軌跡方程，分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，利用兩圓的位置關(guān)系得到關(guān)于的不等式，進(jìn)而求解得到的取值范圍.【詳解】以所在直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則．設(shè)，且動(dòng)點(diǎn)P滿足，即，則，當(dāng)時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，同時(shí)點(diǎn)P總不在以點(diǎn)B為圓心，為半徑的圓內(nèi)，即圓與圓相離或外切內(nèi)切或內(nèi)含，所以或，解得或（舍去），所以負(fù)數(shù)的最大值為．故答案為：.16．已知拋物線上三點(diǎn)滿足： 的重心是，則直線的斜率之和為               ．【答案】/【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形重心坐標(biāo)公式及斜率坐標(biāo)公式求解作答.【詳解】設(shè)拋物線上三點(diǎn)，由的重心是，得，即有，直線的斜率分別為，，所以直線的斜率之和.故答案為： 四、解答題17．已知直線l經(jīng)過(guò)直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點(diǎn)．若點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3，求直線l的方程．【答案】4x－3y－5＝0或x＝2【分析】通過(guò)直線聯(lián)立得交點(diǎn)坐標(biāo)，分直線斜率存在和不存在兩種情況設(shè)直線方程，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解即可.【詳解】方法一　聯(lián)立得交點(diǎn)P(2,1)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，∴＝3，解得k＝，∴l的方程為y－1＝ (x－2)，即4x－3y－5＝0．當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線x＝2也符合題意．∴直線l的方程為4x－3y－5＝0或x＝2．方法二　經(jīng)過(guò)兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或，∴直線l的方程為4x－3y－5＝0或x＝2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線方程的求解，點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.18．已知兩圓.求：（1）它們的公共弦所在直線的方程；（2）公共弦長(zhǎng).【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用圓系方程直接求出相交弦所在直線方程；（2）通過(guò)半弦長(zhǎng)，半徑，弦心距的直角三角形，求出半弦長(zhǎng)，即可得到公共弦長(zhǎng)．【詳解】（1）聯(lián)立兩圓的方程：；兩式相減得：，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為．（2）由題可知，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以公共弦長(zhǎng)為：．【點(diǎn)睛】本題是中檔題，考查兩個(gè)圓的位置關(guān)系，相交弦所在的直線方程，公共弦長(zhǎng)的求法，考查計(jì)算能力，高考作為小題出現(xiàn)．19．已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓的圓心在拋物線上，且過(guò)點(diǎn)，若圓被軸截得的弦長(zhǎng)為，求圓的方程．【答案】或【分析】圓的圓心在拋物線上，且過(guò)點(diǎn)可知圓半徑長(zhǎng)即為焦半徑的長(zhǎng)，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，即可求出圓形半徑，則由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為,焦點(diǎn)為，圓的圓心在拋物線上，且過(guò)點(diǎn),    圓的半徑,,解得，可得圓的方程為或.20．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，與拋物線：的焦點(diǎn)重合，雙曲線與拋物線的交點(diǎn)分別為，．(1)求；(2)求雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用拋物線的定義求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用對(duì)稱性求解作答.（2）由（1）的信息求出，再利用雙曲線定義計(jì)算作答.【詳解】（1）拋物線：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，由，得，解得，，  由拋物線、雙曲線的對(duì)稱性知，點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，所以.（2）由（1）知，，，所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng).21．如圖，已知橢圓E：的離心率為，A，B是橢圓的左右頂點(diǎn)，P是橢圓E上異于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸，直線AP與交于點(diǎn)Q，圓C以BQ為直徑.當(dāng)點(diǎn)P在橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，圓C的面積為.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)圓C與PB的另一交點(diǎn)為點(diǎn)R，記△AQR的面積為，△BQR的面積為，試判斷是否為定值，若是定值，求出這個(gè)定值，若不是定值，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）是定值，.【分析】（1）由離心率為，及當(dāng)點(diǎn)P在橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，圓C的面積為，列方程組解得a，b，即可得出答案；（2）設(shè)P（x0，y0），則，寫(xiě)出直線AP的方程，令x＝2時(shí)，得Q得坐標(biāo)，由QR⊥BR，推出kQR，寫(xiě)出直線RQ的方程，進(jìn)而得A，B兩點(diǎn)到直線RQ的距離分別為d1，d2，推出，即可得出答案．【詳解】（1）由已知，，當(dāng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)時(shí)，由△AOP，此時(shí)圓C的面積為，得b＝1，a＝2，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）設(shè)，則①.A，B的坐標(biāo)分別為(-2，0)，(2，0)，直線AP；，令，則，又，點(diǎn)R在圓上，所以QR⊥BR，因此，所以直線RQ的方程為：，即，由①式得到，代入直線RQ的方程，化簡(jiǎn)為：，設(shè)A，B兩點(diǎn)到直線RQ的距離分別為，則，為定值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：點(diǎn)R在圓上，得QR⊥BR，由，得，得出直線RQ的方程.22．已知 的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)，．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)不垂直于軸的動(dòng)直線與軌跡相交于兩點(diǎn)，定點(diǎn)，若直線關(guān)于軸對(duì)稱，求面積的取值范圍．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）變形給定等式，利用正弦定理結(jié)合橢圓的定義確定軌跡，再求出軌跡方程作答.（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，由韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式可得直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而由面積公式，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）在中，由，得，由正弦定理得，因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為左右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓（點(diǎn)外），顯然此橢圓半焦距，短半軸長(zhǎng)，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為．（2）依題意，直線不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)直線的方程為， 點(diǎn)，由消去x并整理得：，，化為，，由直線關(guān)于軸對(duì)稱，得直線的斜率互為相反數(shù)，即，且，則，即，于是，化簡(jiǎn)得，即有，滿足，因此直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則面積，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，即，從而，所以面積的取值范圍是.【點(diǎn)睛】策略點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問(wèn)題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍. 

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