2022-2023（下）江西省宜豐中學(xué)創(chuàng)新部高二期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1. 直線mx+ny+3=0在y軸上的截距為-3，而且它的斜率是直線的斜率的相反數(shù)，則（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知表示出直線mx+ny+3=0的截距以及斜率，即可得出答案.【詳解】因?yàn)橹本€mx+ny+3=0在y軸上的截距為-3，所以，0-3n+3=0，解得.因?yàn)橹本€的斜率為，由已知可得，直線mx+ny+3=0的斜率為，即.所以.故選：D.2. 已知，則m等于（    ）A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 1或4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)即可求解.詳解】由可知:或者,解得:或故選：C3. 從某班包含甲?乙的5名班干部中選出3人參加學(xué)校的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，在甲被選中的情況下，乙也被選中的概率為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合條件概率公式，即可求解．【詳解】令事件為甲被選中的情況，事件為乙被選中的情況，故，，故．故選：．4. 若直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)（    ）A. 0 B. 1 C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，即可求解．【詳解】直線與直線垂直，則，解得．故選：．5. 一堆蘋果中大果與小果的比例為，現(xiàn)用一臺(tái)水果分選機(jī)進(jìn)行篩選．已知這臺(tái)分選機(jī)把大果篩選為小果的概率為，把小果篩選為大果的概率為．經(jīng)過一輪篩選后，現(xiàn)在從這臺(tái)分選機(jī)篩選出來的“大果”里面隨機(jī)抽取一個(gè)，則這個(gè)“大果”是真的大果的概率為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】記事件放入水果分選機(jī)的蘋果為大果，事件放入水果分選機(jī)的蘋果為小果，記事件水果分選機(jī)篩選的蘋果為“大果”，利用全概率公式計(jì)算出的值，再利用貝葉斯公式可求得所求事件的概率.【詳解】記事件放入水果分選機(jī)的蘋果為大果，事件放入水果分選機(jī)的蘋果為小果，記事件水果分選機(jī)篩選的蘋果為“大果”，則，，，，由全概率公式可得，，因此，.故選：A.6. 在正四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】建系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量求解.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，則，所以，異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.7. 拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P是準(zhǔn)線l上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A在拋物線C上，且，則（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最小值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】依題意得點(diǎn)坐標(biāo)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，求即為最小值．【詳解】如圖所示：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)，不妨設(shè) ，由題意知，直線l方程為，則，得所以，得 ，所以．由，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，又所以的最小值為故選：D8. 油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史.為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某活動(dòng)中將一把油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場(chǎng)地上，如圖所示.該傘的傘面是一個(gè)半徑為的圓形平面，圓心到傘柄底端距離為2，當(dāng)光線與地面夾角為時(shí)，傘面在地面形成了一個(gè)橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長(zhǎng)軸上，該橢圓的離心率（    ）  A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出橢圓的長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)，再求出離心率作答.【詳解】依題意，過傘面上端邊沿的光線、過這個(gè)邊沿點(diǎn)傘面的直徑及橢圓的長(zhǎng)軸圍成底角為的等腰三角形，腰長(zhǎng)為傘面圓的直徑，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為底邊長(zhǎng)，則，即，而橢圓的短軸長(zhǎng)，即，所以橢圓的離心率故選：D二、多選題9. 下列結(jié)論正確的是（    ）A. 若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，，則B. 若隨機(jī)變量的方差，則C. 若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則D. 若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)二點(diǎn)分布的期望公式，可判定A正確；根據(jù)方差的性質(zhì)，可判定B錯(cuò)誤；根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式，可判定C正確；根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，由隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布且，則，故A正確；對(duì)于B中，由隨機(jī)變量的方差，可得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由變量服從二項(xiàng)分布，則，所以C正確；對(duì)于D中，由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可得，所以D正確.故選：ACD.10. 現(xiàn)安排甲?乙?丙?丁?戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯?導(dǎo)游?禮儀?司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，則以下說法錯(cuò)誤的是（    ）A. 若每人都安排一項(xiàng)工作，則不同的方法數(shù)為B. 若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為C. 每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲?乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙?丁?戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是D. 如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理判斷A、B，對(duì)開車的人員分類討論利用分步乘法計(jì)數(shù)原理及分類加法計(jì)數(shù)原理判斷C，按照部分平均分組法判斷D；【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，安排5人參加4項(xiàng)工作，若每人都安排一項(xiàng)工作，每人有4種安排方法，則有種安排方法，故錯(cuò)誤；對(duì)于，根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項(xiàng)工作，有種安排方法，故錯(cuò)誤；對(duì)于，根據(jù)題意，分2種情況討論：①?gòu)谋?，丁，戊中選出2人開車，②從丙，丁，戊中選出1人開車，則有種安排方法，正確；對(duì)于，分2步分析：需要先將5人分為3組，有種分組方法，將分好的三組安排翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，有種情況，則有種安排方法，錯(cuò)誤；故選：．11. 如圖，四邊形為正方形，平面平面，且為正三角形，，為的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是（    ）A.  B. 平面C. 直線與所成角的余弦值為 D. 二面角大小為【答案】ACD【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，證明出平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>為等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，平面，所以，平面，又因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，，，，則，A對(duì)；，易知平面的一個(gè)法向量為，，故與平面不平行，B錯(cuò)；，，所以，直線與所成角的余弦值為，C對(duì)；設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，所以，，由圖可知，二面角的平面角為銳角，故二面角為，D對(duì).故選：ACD.12. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且都在軸的上方，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），記的面積分別為，則（    ）A. 直線的斜率為 B. 直線的斜率為C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】結(jié)合拋物線定義求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線的斜率，判斷選項(xiàng)A，B，根據(jù)三角形面積公式求，判斷C，D.【詳解】設(shè)，過點(diǎn)分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，由拋物線的定義可得，所以，，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)正確；，所以，C正確，D錯(cuò)誤，故選：BC.三、填空題13. 在空間直角坐標(biāo)系中，，，若，則實(shí)數(shù)__________.【答案】4【解析】【分析】由題意可得，即可得到方程組，進(jìn)而解出方程組即可.【詳解】由題意得，，即，所以，解得.故答案為：414. 從數(shù)字中任選4個(gè)組成無重復(fù)數(shù)字四位數(shù)，滿足千位和百位上的數(shù)字之和為5，則這樣的偶數(shù)共有__________個(gè).【答案】72【解析】【分析】先考慮千位和百位，再考慮個(gè)位，最后考慮十位，求出答案.【詳解】滿足數(shù)字之和為5的兩個(gè)數(shù)字為，故千位和百位上的數(shù)字排列有種情況，再考慮個(gè)數(shù)，有種選擇，最后考慮十位，有6種選擇，故這樣的偶數(shù)共有個(gè).故答案為：7215. 已知雙曲線的一條漸近線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線的離心率為______.【答案】##【解析】【分析】先求漸近線方程，再根據(jù)弦長(zhǎng)可求的關(guān)系，故可求雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的漸近線的方程為.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故該圓的圓心為，半徑為2，而圓心到漸近線的距離為，故漸近線被該圓截得的弦長(zhǎng)為，整理得到：或，而，故，故離心率為.故答案為：.16. 如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，若平面，則下列說法正確的是__________.①線段的最大值是②③與一定異面④三棱錐的體積為定值【答案】①④【解析】【分析】過點(diǎn)作出與平面平行的平面，找出其與面的交線，從而確定點(diǎn)在線段上.選項(xiàng)①中線段的最大值可直接得到為；選項(xiàng)②通過建系求向量數(shù)量積來說明與平面不垂直，從而不一定成立；選項(xiàng)③通過構(gòu)造平面來確定位置關(guān)系；選項(xiàng)④通過證明平面，來說明三棱錐即的體積為定值.【詳解】如圖，延長(zhǎng)至，使得，則有取的中點(diǎn)，連接，則有，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn).因?yàn)?/span>，平面，平面所以平面.同理可得平面.又，在平面內(nèi)，且相交于點(diǎn)，所以平面平面.故點(diǎn)在線段上.由圖知，，故選項(xiàng)①正確；以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，.因?yàn)?/span>，所以與不垂直，而點(diǎn)在線段上，所以條件不一定成立，故選項(xiàng)②錯(cuò)誤；如圖，連接，，，則有，且，故四邊形為梯形，與為相交直線，故選項(xiàng)③錯(cuò)誤；因?yàn)辄c(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，所以.又平面，平面，所以平面.故線段上的點(diǎn)到平面的距離都相等.又點(diǎn)在線段上，所以三棱錐的體積為定值，即三棱錐的體積為定值，故選項(xiàng)④正確.故答案為：①④.【點(diǎn)睛】立體幾何問題中與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)問題，可以從一下幾點(diǎn)考慮：(1) 先作輔助線，找出動(dòng)點(diǎn)所在的線段或軌跡.(2) 判斷與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的條件是否成立常需結(jié)合動(dòng)點(diǎn)所在的線段或軌跡，利用線線、線面、面面位置關(guān)系求解，或線線、線面、面面位置關(guān)系的判定或性質(zhì)求解，或建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法求解.四、解答題17. 已知點(diǎn)在圓上．（1）求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑長(zhǎng)；（2）過點(diǎn)，斜率為的直線與圓相交于兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)．【答案】（1）圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為    （2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)點(diǎn)在圓上求出參數(shù)，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出圓心及半徑；（2）先寫出直線方程，求出圓心到直線的距離，再根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式即可得解.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，解得，所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為；【小問2詳解】直線的方程為，即，則圓心到直線的距離，所以.18. 無論是國(guó)際形勢(shì)還是國(guó)內(nèi)消費(fèi)狀況，2023 年都是充滿挑戰(zhàn)的一年，為應(yīng)對(duì)復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)形勢(shì)，各地均出臺(tái)了促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的各項(xiàng)政策，積極應(yīng)對(duì)當(dāng)前的經(jīng)濟(jì)形勢(shì)，取得了較好的效果．某市零售行業(yè)為促進(jìn)消費(fèi)，開展了新一輪的讓利促銷的活動(dòng)，活動(dòng)之初，利用各種媒體進(jìn)行大量的廣告宣傳．為了解大眾傳媒對(duì)本次促銷活動(dòng)的影響，在本市內(nèi)隨機(jī)抽取了6個(gè)大型零售賣場(chǎng)，得到其宣傳費(fèi)用x(單位：萬元)和銷售額y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)如下：賣場(chǎng)123456宣傳費(fèi)用2356812銷售額303440455060 （1）求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)宣傳費(fèi)用至少多少萬元時(shí)(結(jié)果取整數(shù))，銷售額能突破100萬元；（2）經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，人們往往關(guān)注投入和產(chǎn)出比，在這次促銷活動(dòng)中，設(shè)銷售額與投入的宣傳費(fèi)用的比為，若，則稱這次宣傳策劃是高效的，否則為非高效的．從這6家賣場(chǎng)中隨機(jī)抽取3家，求這3家賣場(chǎng)中至少有1家宣傳策劃高效的概率．附：參考數(shù)據(jù) 回歸直線方程中和的最小二乘法的估計(jì)公式分別為：【答案】（1）；25萬元    （2）【解析】【分析】（1）分別代入公式求出，即可求出y關(guān)于x的線性回歸方程；再令，求解即可；（2）先求出這6家賣場(chǎng)中隨機(jī)抽取3家的基本事件個(gè)數(shù)，再求出至少含有1家宣傳策劃是高效的基本事件個(gè)數(shù)，由古典概率公式代入即可得出答案.【小問1詳解】                          所以                          ?所以                  令，解得(萬元)．故當(dāng)宣傳費(fèi)用至少為25萬元時(shí)，銷售額能突破100萬元.【小問2詳解】由題意知宣傳策劃是高效的僅有2家，記作a，b，余下的記作A，B，C，D．所以從中取出3家，基本事件有：abA，abB，abC，abD，aAB，aAC，aAD，aBC，aBD，aCD，bAB，bAC，bAD，bBC，bBD，bCD，ABC，ABD，ACD，BCD，共20個(gè)，其中至少含有1家宣傳策劃是高效的有：abA，abB，abC，abD，aAB，aAC，aAD，aBC，aBD，aCD，bAB，bAC，bAD，bBC，bBD，bCD，共16個(gè)，故所求概率19. 已知.（1）若，求的值；（2）求的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).【答案】（1）    （2）240【解析】【分析】（1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)及賦值法求解；（2）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)及其單調(diào)性求解.【小問1詳解】展開式的通項(xiàng)，則展開式含的項(xiàng)為，故，中，令，則，令，則，則.【小問2詳解】設(shè)，，，由，得，即，解得，因?yàn)?/span>，則當(dāng)時(shí)，有最大值240，因此展開式中最大項(xiàng)為.20. 某職業(yè)學(xué)校為了了解畢業(yè)班學(xué)生的操作能力，設(shè)計(jì)了一個(gè)考查方案：每個(gè)考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道選題，按照題目要求正確完成，規(guī)定：至少正確完成其中2個(gè)選題方可通過.6道備選題中，考生甲有4個(gè)選題能正確完成，2個(gè)選題不能完成；考生乙每個(gè)選題正確完成的概率都是，且每個(gè)選題正確完成與否互不影響.（1）分別求甲?乙兩位考生正確完成選題個(gè)數(shù)的概率分布列（列出分布列表）；（2）請(qǐng)分析比較甲?乙兩位考生的操作能力.【答案】（1）答案見解析    （2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)超幾何分布及二項(xiàng)分布分別求解即可；（2）根據(jù)超幾何分布及二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望及方差公式分別求解即得.【小問1詳解】記考生甲正確完成試題的個(gè)數(shù)分別為，則的可能取值有，且，，所以，考生甲正確完成選題數(shù)的概率分布列如下表：123記考生乙正確完成試題的個(gè)數(shù)分別為，則的可能取值有，且，，所以，考生乙正確完成選題數(shù)的概率分布列如下表：0123【小問2詳解】，，從做對(duì)題的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望看，兩人水平相當(dāng)；因?yàn)?/span>，因此可以判斷甲考生的操作能力更強(qiáng).21. 如圖，在四棱錐中，平面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，為的中點(diǎn)，是棱上兩點(diǎn)（在的上方），且.  （1）若，求證：平面；（2）當(dāng)點(diǎn)到平面的距離取得最大值時(shí)，求的長(zhǎng).【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）連接交于，連接，證明，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)三棱錐的等體積法判斷要使點(diǎn)到平面的距離最大，則需的面積最小，即到的距離最小；建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間距離的向量求法，即可求得答案.【小問1詳解】連接交于，連接，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，是正方形，所以；因，所以，所以，因?yàn)?/span>平面平面，所以平面；【小問2詳解】在四棱錐中，因?yàn)?/span>，所以的面積為定值，又點(diǎn)A到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值，即三棱錐的體積為定值；要使點(diǎn)到平面的距離最大，則需的面積最小，即到的距離最?。?/span>由題知，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，由于平面，平面，故,而，故為等腰直角三角形，即；設(shè)到的距離為，則，，故到的距離為，對(duì)于二次函數(shù)，其圖象對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，取到最小值，此時(shí)到的距離最小，此時(shí)點(diǎn)到平面的距離最大，所以.  22. 已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，焦距為2，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知是直線上的一點(diǎn)，是否存在這樣的直線，使得過點(diǎn)的直線與橢圓相切于點(diǎn)，且以為直徑的圓過點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.【答案】（1）    （2）存在直線【解析】【分析】（1）設(shè)橢圓的方程為，由，得到焦點(diǎn)，然后利用橢圓的定義求解； （2）由題意設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，由，得到，進(jìn)而得到切點(diǎn)的坐標(biāo)為再結(jié)合的坐標(biāo)為，為直徑的圓過點(diǎn)，由求解.【小問1詳解】設(shè)橢圓的方程為，由題知，，即，所以焦點(diǎn)，由橢圓的定義得：，即故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】如圖所示：  由題易知直線存在斜率，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，由，得；①，即切點(diǎn)的坐標(biāo)為又的坐標(biāo)為，以為直徑的圓過點(diǎn)，則，，則，化簡(jiǎn)，得，上式對(duì)滿足①式任意成立，則，故存在直線滿足題意.

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