2022-2023學(xué)年甘肅省天水市清水縣高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，=5，則=（    ）A．5 B．25 C．35 D．50【答案】B【解析】根據(jù)等差中項(xiàng)及等差數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】由題意可知，為等差數(shù)列，所以故選：B2．在數(shù)列中，，，則（    ）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)給定的遞推公式，推理計(jì)算確定數(shù)列的周期作答.【詳解】在數(shù)列中，由，得，于是，因此數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列，所以.故選：A3．函數(shù)在上的最小值和最大值分別是A． B． C． D．【答案】A【分析】求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可．【詳解】函數(shù)，cosx，令＞0，解得：x，令＜0，解得：0≤x，∴f（x）在[0，）遞減，在（，]遞增，∴f（x）min＝f（），而f（0）＝0，f（）1，故f（x）在區(qū)間[0，]上的最小值和最大值分別是：．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查函數(shù)值的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．4．兩個(gè)等差數(shù)列和，其前項(xiàng)和分別為、，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】推導(dǎo)出，由此可求得結(jié)果.【詳解】在等差數(shù)列和中，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式不滿足下列遞推公式的是.A．B．C．D．【答案】D【分析】將代入四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證可得答案．【詳解】將代入四個(gè)選項(xiàng)得：A. 成立；B. 成立；C.   成立；D. 不恒成立．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式，是基礎(chǔ)題．6．函數(shù)的極大值為A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得函數(shù)極值點(diǎn)，由此求得函數(shù)的極大值.【詳解】依題意，故函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以函數(shù)在處取得極大值為.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值，考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，考查乘法的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7．在等比數(shù)列中，，則=　　A．或 B． C．或 D．或【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得，又由，聯(lián)立方程組，解得 的值，分類討論求解，即可得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，又由，聯(lián)立方程組，解得或，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，聯(lián)立方程組，求得的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8．已知函數(shù).過(guò)點(diǎn)引曲線的兩條切線，這兩條切線與y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，若，則的極大值點(diǎn)為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，利用切點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率等于曲線在切點(diǎn)處切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)建立有關(guān)的方程，得出的值，再由得出兩切線的斜率之和為零，于此得出的值，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值點(diǎn)．【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，∴，即，解得或.∵，∴，即，則，.當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故的極大值點(diǎn)為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)，在處理過(guò)點(diǎn)作函數(shù)的切線時(shí)，一般要設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用切線與點(diǎn)連線的斜率等于切線的斜率，考查計(jì)算能力，屬于中等題．9．函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式，屬于基礎(chǔ)題．10．設(shè)f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,則f2016(x)=　(　　)A．sinx B．-sinx C．cosx D．-cosx【答案】A【詳解】因?yàn)?/span>f0(x)=sinx,所以f1(x)=(sinx)′=cosx,f2(x)=(cosx)′=-sinx,f3(x)=(-sinx)′=-cosx,f4(x)=(-cosx)′=sinx,…,所以fn(x)的周期T=4,所以f2016(x)=f0(x)=sinx.故選A11．已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（其中為的導(dǎo)函數(shù)），若，則的解集為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，結(jié)合已知條件有偶函數(shù)在上單調(diào)減，上單調(diào)增，再由 即可求解集.【詳解】由，而知：在上單調(diào)減，而，即，又知：，∴在上有，又是定義在上的偶函數(shù)，則在上為偶函數(shù)，∴在上單調(diào)增，即，可得，綜上，有，故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由與組成的復(fù)合型函數(shù)式，一般可以將其作為某函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的一部分，構(gòu)造出原函數(shù)，再利用奇偶性、單調(diào)性求函數(shù)不等式的解集.12．若函數(shù)在內(nèi)無(wú)極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，函數(shù)在內(nèi)無(wú)極值，則在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)無(wú)極值，滿足題意，當(dāng)時(shí)，由可得，故：，解得：，綜上可得：實(shí)數(shù)的取值范圍是.本題選擇D選項(xiàng). 二、填空題13．已知f(x)=,則f′(16)=    .【答案】【詳解】因?yàn)?/span>f′(x)=,所以f′(16)==.故答案為14．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則       .【答案】【解析】用，代入已知等式，得，變形可得，說(shuō)明是等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，可得的值.【詳解】，，整理可得，則，即，所以，是以為公差的等差數(shù)列，又，，則.故答案為：.【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的判定，訓(xùn)練了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題.15．對(duì)任意都有.數(shù)列滿足：，則          .【答案】【分析】采用倒序相加法即可求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，，，……，，，，解得：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用倒序相加法求和的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.16．設(shè)數(shù)列中，，則通項(xiàng)            ．【答案】【詳解】∵ ∴，，，，，，將以上各式相加得： 故應(yīng)填；【解析】：此題重點(diǎn)考察由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【突破】：重視遞推公式的特征與解法的選擇；抓住中系數(shù)相同是找到方法的突破口；此題可用累和法，迭代法等；  三、解答題17．若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足.求：公比q【答案】3【分析】根據(jù)給定等式，結(jié)合等比數(shù)列意義列出方程求解作答.【詳解】各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則有，整理得，而，解得，所以.18．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析.【分析】（1）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）求得，分、兩種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以.所以，，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）.當(dāng)時(shí)，在時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，若，則；若，則.此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.19．已知曲線y=5,求:(1)曲線上與直線y=2x-4平行的切線方程.(2)求過(guò)點(diǎn)P(0,5),且與曲線相切的切線方程.【答案】（1）16x-8y+25=0；（2）5x-4y+20=0.【詳解】試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用曲線與直線y=2x﹣4平行，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出曲線與直線y=2x﹣4平行的切線的方程．（2）設(shè)切點(diǎn)，可得切線方程，代入P，可得切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出過(guò)點(diǎn)P（0，5）且與曲線相切的直線的方程．試題解析：(1)設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),由y=5,得y′=.所以切線與y=2x-4平行,所以=2,所以x0=,所以y0=.則所求切線方程為y-=2,即16x-8y+25=0.(2)因?yàn)辄c(diǎn)P(0,5)不在曲線y=5上,故需設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為M(x1,y1),則切線斜率為.又因?yàn)榍芯€斜率為,所以==,所以2x1-2=x1,得x1=4.所以切點(diǎn)為M(4,10),斜率為,所以切線方程為y-10=(x-4),即5x-4y+20=0.點(diǎn)睛：求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點(diǎn)及斜率，其求法為：設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，則以的切點(diǎn)的切線方程為：．若曲線在點(diǎn)的切線平行于軸（即導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義知，切線方程為．20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，求的前1000項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用可求出；（2）根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用分組求和法求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，將代入上式驗(yàn)證顯然適合，所以.（2）因?yàn)?/span>，，，，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查和的關(guān)系，考查分組求和法，屬于基礎(chǔ)題.21．設(shè)函數(shù).(1)時(shí)，求的最小值；(2)若在恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】(1)把代入后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系可求函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求最值；(2)結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可求.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值.（2），令，則，①當(dāng)時(shí)，,函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，所以在上單調(diào)遞增，，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，即，在單調(diào)遞減，所以,與恒成立矛盾，故不符合題意.綜上可得,的范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：確定單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)，令，解此方程，求出在定義區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根；(3)利用的定義域和實(shí)根把函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間；(4)確定在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)符號(hào)判定函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性22．已知函數(shù)（1）若存在極值點(diǎn)為，求的值；（2）若存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求證： 【答案】（1）1；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）對(duì)求導(dǎo)，令，可得的值，再檢驗(yàn)即可.（2）求出，通過(guò)對(duì)討論，判斷單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，利用存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，可得，作關(guān)于直線的對(duì)稱曲線，令，求出導(dǎo)數(shù)，利用單調(diào)性即可得證.【詳解】（1）由已知得，因?yàn)?/span>存在極值點(diǎn)為，所以，即，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以.（2）證明：， ①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上為增函數(shù)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，由，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由，在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值.又存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，所以，即，整理得，作關(guān)于直線的對(duì)稱曲線，令，則，所以在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則，即，又 ，，且在上為減函數(shù)，所以，即，又，易知成立，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生解決問(wèn)題的綜合能力，屬于難題 

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