2022-2023學(xué)年河南省鄭州市第三十一高級中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（    ）A．33 B．66 C．22 D．44【答案】A【分析】先由等差數(shù)列的性質(zhì)求出，再按照等差數(shù)列求和公式及等差數(shù)列性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意知：，則，則.故選：A.2．設(shè)函數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再代入所求導(dǎo)數(shù)值即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故，解得故選：B.3．若1，，，4成等差數(shù)列；1，，，，4成等比數(shù)列，則等于（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)1，，，4成等差數(shù)列，求得，再根據(jù)1，，，，4成等比數(shù)列，得到，求解.【詳解】解：因?yàn)?/span>1，，，4成等差數(shù)列，所以，又因?yàn)?/span>1，，，，4成等比數(shù)列，所以，，所以，所以，故選：B4．公元五世紀(jì)，數(shù)學(xué)家祖沖之估計(jì)圓周率的范圍是：，為紀(jì)念祖沖之在圓周率方面的成就，把稱為“祖率”，這是中國數(shù)學(xué)的偉大成就，小明是個(gè)數(shù)學(xué)迷，他在設(shè)置手機(jī)的數(shù)字密碼時(shí)，打算將圓周率的前位數(shù)字，，，，，進(jìn)行某種排列得到密碼.要求兩個(gè)不相鄰.那么小明可以設(shè)置的不同密碼有（    ）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【分析】直接利用插空法計(jì)算得到答案.【詳解】利用插空法：共有種.故選：B5．正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則等于（　　）A．90 B．50C．40 D．30【答案】B【分析】由，可得，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可得，代入求解即可.【詳解】解：因?yàn)?/span>是正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，所以，所以，又因?yàn)?/span>，，所以，所以，解得或(舍).故選：B.6．中國救援力量在國際自然災(zāi)害中為拯救生命作出了重要貢獻(xiàn)，很好地展示了國際形象，增進(jìn)了國際友誼，多次為祖國贏得了榮譽(yù).現(xiàn)有5支救援隊(duì)前往A，B，C等3個(gè)受災(zāi)點(diǎn)執(zhí)行救援任務(wù)，若每支救援隊(duì)只能去其中的一個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，且每個(gè)受災(zāi)點(diǎn)至少安排1支救援隊(duì)，其中甲救援隊(duì)只能去B，C兩個(gè)數(shù)點(diǎn)中的一個(gè)，則不同的安排方法數(shù)是（    ）A．72 B．84 C．88 D．100【答案】D【分析】由題意可知，若甲去點(diǎn)，則剩余4人，可只去兩個(gè)點(diǎn)，也可分為3組去3個(gè)點(diǎn).分別求出安排種法，相加即可得出甲去點(diǎn)的安排方法.同理，即可得出甲去點(diǎn)的安排方法，即可得出答案.【詳解】若甲去點(diǎn)，則剩余4人，可只去兩個(gè)點(diǎn)，也可分為3組去3個(gè)點(diǎn).當(dāng)剩余4人只去兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，人員分配為或，此時(shí)的分配方法有；當(dāng)剩余4人分為3組去3個(gè)點(diǎn)時(shí)，先從4人中選出2人，即可分為3組，然后分配到3個(gè)小組即可，此時(shí)的分配方法有，綜上可得，甲去點(diǎn)，不同的安排方法數(shù)是.同理，甲去點(diǎn)，不同的安排方法數(shù)也是，所以，不同的安排方法數(shù)是.故選：D.7．若函數(shù)在上既有極大值也有極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由分析可得有解，利用即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由，可得，恒成立，為開口向上的拋物線，若函數(shù)在既有極大值也有極小值，則有解，所以，解得或.故選：B8．若曲線有三條過點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出過點(diǎn)的切線方程為，利用方程的解個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為圖象與直線在R上有3個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想即可求解.【詳解】設(shè)該切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，所以切線方程為，又切線過點(diǎn)，則，整理得.要使過點(diǎn)的切線有3條，需方程有3個(gè)不同的解，即函數(shù)圖象與直線在R上有3個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，則，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，且極小值、極大值分別為，如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與直線在R上有3個(gè)交點(diǎn)，即過點(diǎn)的切線有3條.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：B. 二、多選題9．下列說法正確的是（    ）A．可表示為B．6個(gè)朋友聚會(huì)，見面后每兩人握手一次，一共握手15次C．若把英文“”的字母順序?qū)戝e(cuò)，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有59種D．將4名醫(yī)護(hù)人員安排到呼吸、感染兩個(gè)科室，要求每個(gè)科室至少有1人，則共有18種不同的安排方法【答案】BC【分析】根據(jù)排列數(shù)的計(jì)算公式可判斷A；兩兩握手，即隨便選出兩人握手的所有可能結(jié)果數(shù)，通過計(jì)算即可判斷B；先對進(jìn)行排列，再將放入位置中即可，列出式子計(jì)算即可判斷C；分3人，1人一組，和2人，2人一組兩種情況，分別求出對應(yīng)的安排方法，相加即可.【詳解】因?yàn)?/span>，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>6人兩兩握手，共握（次），故B正確；先在5個(gè)位置中選出3個(gè)位置，對進(jìn)行全排列，剩下兩個(gè)位置將放入即可，故有：（種），而正確的共有1種，所以可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有（種），故C正確；因?yàn)?/span>，當(dāng)按3，1分組時(shí)，先選1人單獨(dú)一組，剩下3人為一組，再將兩組分配到兩個(gè)不同科室中：共（種）分法，當(dāng)按2，2分組，在4人中選出2人到呼吸科，剩下2人自動(dòng)去感染科，故有：（種）分法，故共有（種）安排方法，故D錯(cuò)誤．故選：BC10．已知函數(shù)，下列說法正確的是（    ）A．有個(gè)極值點(diǎn) B．的極大值點(diǎn)為C．的極小值為 D．的最大值為【答案】BC【分析】利用導(dǎo)數(shù)可判斷的單調(diào)性，由極值點(diǎn)定義可確定極值點(diǎn)，代入解析式可求得極值，再結(jié)合單調(diào)性依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.對于AB，由單調(diào)性知，有且僅有個(gè)極值點(diǎn)，其中極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，故A錯(cuò)誤，B正確；對于C，的極小值為，故C正確；對于D，根據(jù)的單調(diào)性可知無最大值，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．已知，其中，且，則下列判斷正確的是（    ）．A． B．C． D．【答案】ACD【分析】令，則，分別賦值、可以求得，A正確；，B錯(cuò)誤；利用二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式可以判斷C、D正確.【詳解】令，則，則，令，則，①令，則，②①－②，得，解得，A正確；①＋②，得，所以，B錯(cuò)誤；又，C正確；，D正確．故選：ACD．12．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（    ）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．C． D．的前項(xiàng)和為【答案】ACD【分析】由已知可得數(shù)列是，2為公比的等比數(shù)列，從而可得通項(xiàng)公式，可判斷A、B，進(jìn)而可以求的值判斷C，也易求得的前項(xiàng)和判斷D.【詳解】由已知，當(dāng)時(shí)，可得選項(xiàng)A，，可得數(shù)列是，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；選項(xiàng)B，由選項(xiàng)A可得解得，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng) C，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以 ，故C正確；選項(xiàng)D，因?yàn)?/span>，故D正確.故選：ACD. 三、填空題13．已知，則方程的解是           ．【答案】1或2/2或1.【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)列方程求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以由組合數(shù)的性質(zhì)得或，解得或，故答案為：1或214．某鐵球在0時(shí)，半徑為1dm，當(dāng)溫度在很小的范圍內(nèi)變化時(shí)，由于熱脹冷縮，鐵球的半徑會(huì)發(fā)生變化，且當(dāng)溫度為t時(shí)鐵球的半徑為，其中a為常數(shù)，則在時(shí)，鐵球體積對溫度的瞬時(shí)變化率為           ．【答案】/【分析】根據(jù)瞬時(shí)變化率的概念及球的體積公式求解即可.【詳解】設(shè)溫度變化量為，則，所以在時(shí)，鐵球體積對溫度的瞬時(shí)變化率為.故答案為：15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且，則      ．【答案】【分析】根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，從而可得出數(shù)列的一個(gè)周期性，再根據(jù)數(shù)列的周期性即可得出答案.【詳解】由題意，，，，，，所以數(shù)列是周期數(shù)列，周期為6，所以．故答案為：.16．觀察下圖所示“三角數(shù)陣”，該數(shù)陣最后一行各數(shù)之和為        .【答案】（或1024）【分析】由題得最后一行的和為,化簡即得解.【詳解】由題得最后一行的和為.故答案為（或1024）【點(diǎn)睛】本題主要考查楊輝三角，考查二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力. 四、解答題17．已知二項(xiàng)式的展開式中共有10項(xiàng)．(1)求展開式的第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；(2)求展開式中含的項(xiàng)．【答案】(1)126(2) 【分析】（1）根據(jù)項(xiàng)數(shù)可求得，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)數(shù)之間關(guān)系列出等式，解出即可；（2）由（1）中的，求出通項(xiàng)，使的冪次為4，求出含的項(xiàng)即可.【詳解】（1）解：因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中共有10項(xiàng)，所以，所以第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為；（2）由（1）知，記含的項(xiàng)為第項(xiàng)，所以，取，解得，所以，故展開式中含的項(xiàng)為.18．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為整數(shù)，，且，，成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義求解即可；(2)利用裂項(xiàng)相消求和.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，，成等比數(shù)列，所以，即，所以，聯(lián)立解得，所以.（2）由（1）可得，所以.19．已知函數(shù)，(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)；(2)遞減區(qū)間為和，遞增區(qū)間為. 【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合條件即得；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即得.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，，切點(diǎn)為，所求切線的斜率為，所求切線的點(diǎn)斜式方程是，即：；（2）因?yàn)?/span>當(dāng)時(shí)，解得或，當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為.20．已知的展開式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為2:5.(1)求n的值；(2)系數(shù)最大的項(xiàng)．【答案】(1)(2) 【分析】（1）第二項(xiàng)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為；（2）求二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)，即這一項(xiàng)大于前一項(xiàng)，也大于后一項(xiàng)，列式即可.【詳解】（1）因?yàn)榈诙?xiàng)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是，則，即，解得(舍)或，所以n的值為6.（2）的展開式的通項(xiàng)為，令，解得，又，，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)，且．21．已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足，數(shù)列滿足，且．(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．【答案】(1)，(2) 【分析】(1)利用累乘法可求的通項(xiàng)公式，再利用等差數(shù)列的定義求的通項(xiàng)公式；(2)利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，上式成立，∴又因?yàn)?/span>，，所以，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公差為3的等差數(shù)列，所以，所以．（2）由（1），，所以，①，②所以①②得，所以．22．已知函數(shù)，（其中）．(1)討論的單調(diào)性；(2)對于任意，都有成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2) 【分析】（1）先求出，再討論，，和時(shí)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)及函數(shù)的單調(diào)性；（2）由對于任意，都有成立等價(jià)于對于任意，，構(gòu)造，其中，由導(dǎo)數(shù)求出的最大值，即可得出的取值范圍．【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，其中，所以，令，得或，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）對于任意，都有成立對于任意，，即對于任意，對于任意，，設(shè)，其中，則，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，即． 

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