2022-2023學(xué)年河南省鄭州市回民高級中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．命題“，”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題，所以命題“，”的否定是：，，故選：A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)邏輯的問題，涉及到的知識點(diǎn)有含有一個(gè)量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題目.2．已知集合，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為（  ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】求解一元二次方程，得，易知.因?yàn)?/span>，所以根據(jù)子集的定義，集合必須含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原題即求集合的子集個(gè)數(shù)，即有個(gè)，故選D.【點(diǎn)評】本題考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本題在求集合個(gè)數(shù)時(shí)，也可采用列舉法.列出集合的所有可能情況，再數(shù)個(gè)數(shù)即可.來年要注意集合的交集運(yùn)算，考查頻度極高.3．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>    ）．A． B．C． D．且【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)的解析式有意義可得出關(guān)于的不等式組，進(jìn)而可解得函數(shù)的定義域.【詳解】對于函數(shù)，有，解得且，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>且.故選：D.4．設(shè)函數(shù)，則的值為A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?/span>時(shí)，所以；又時(shí)，，所以故選A.本題考查分段函數(shù)的意義,函數(shù)值的運(yùn)算.5．設(shè)則的大小關(guān)系是A． B． C． D．【答案】C【詳解】由在區(qū)間是單調(diào)減函數(shù)可知，，又，故選.【解析】1.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；2.函數(shù)值比較大小. 6．設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且f（1）＝0，則不等式＜0的解集為（    ）A．(－1，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(0，1)【答案】C【分析】利用函數(shù)奇偶性，等價(jià)轉(zhuǎn)化目標(biāo)不等式，再結(jié)合已知條件以及函數(shù)單調(diào)性，即可求得不等式解集.【詳解】∵f(x)為奇函數(shù)，故可得，則＜0等價(jià)于.∵f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)且f（1）＝0，∴當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＜0.∵奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴在(－∞，0)上f(x)為減函數(shù)且f(－1)＝0，即x＜－1時(shí)，f(x)＞0. 綜上使＜0的解集為(－∞，－1)∪(1，＋∞)．故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬綜合基礎(chǔ)題.7．若定義在R上的函數(shù)滿足：對任意，，有，則下列說法一定正確的是（    ）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)【答案】C【分析】令得，令，得到，根據(jù)奇偶性定義即可得答案.【詳解】對任意，有，令，得.令，，得.整理得，故為奇函數(shù).故選：C8．已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用周期性可得、，結(jié)合奇函數(shù)及其區(qū)間單調(diào)性判斷函數(shù)值大小即可.【詳解】∵，∴，同理，又奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，即.故選：D 二、多選題9．設(shè)偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則下列大小關(guān)系是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由偶函數(shù)性質(zhì)求得，結(jié)合對數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性有，應(yīng)用單調(diào)性判斷函數(shù)值的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，則恒成立，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，則，所以且，所以，.故選：BC10．不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（    ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】解指數(shù)不等式得解集為，再根據(jù)充分不必要條件求解即可.【詳解】解：令，所以，不等式，解得或所以，或，解得或，所以，不等式的解集為，因?yàn)樗蟮氖遣坏仁?/span>成立的一個(gè)充分不必要條件，故只需滿足是真子集即可，所以，只有AB選項(xiàng)滿足，CD選項(xiàng)不滿足.故選：AB11．已知實(shí)數(shù)，，滿足，，則（    ）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】AC【分析】由題意判斷，結(jié)合條件可得，判斷A;舉反例可判斷B,D;利用作差法可判斷C.【詳解】由于實(shí)數(shù)，，滿足，，故，否則 ，則，則，不合題意；故由，可得，A正確；取 滿足，，但，故B錯(cuò)誤；若，則，則，即，C正確；取，滿足且，，但，D錯(cuò)誤；故選：AC12．已知函數(shù)，設(shè)， ，則（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【分析】作出函數(shù)的圖象，時(shí)，由于，可得到，化簡可判斷A，結(jié)合基本不等式可判斷B;數(shù)形結(jié)合，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可判斷C,D.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖示：當(dāng)時(shí)，由于，可知， 則，則 ，即，A正確；由于，則，即 ，B正確；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有 ，即，不符合C,D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，由于，則，即，當(dāng)時(shí)，遞增，若，則即，當(dāng)時(shí)，遞減，若，則，即 ；若，則由 ，令，由于此時(shí)，則，由，可得，即 ，故C錯(cuò)誤，D正確，故選：ABD 三、填空題13．已知，則_________（用含a，b的式子表示）.【答案】【分析】先將化簡，得出，然后再利用換底公式將化成以7為底的對數(shù)式，由對數(shù)的運(yùn)算法則即可求出．【詳解】由，得，又，．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查換底公式以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)考查到指數(shù)式與對數(shù)式的互化，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．14．設(shè)集合或，，，則a的取值范圍是___________.【答案】【分析】由題意，，可得，求解即可【詳解】由題意，集合或，，因?yàn)?/span>，故可得解得.故答案為：15．已知x>0，y>0，2x+3y=6，則xy的最大值為________.【答案】【分析】變換，再利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)?/span>x>0，y>0，2x+3y=6，所以.當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y，即時(shí)，xy取到最大值.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用均值不等式求最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，變換是解題的關(guān)鍵.16．已知函數(shù)，，若對于任意的，總存在，使得或，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】記函數(shù)的值域?yàn)?/span>，的值域?yàn)?/span>，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求解即可，再分別研究函數(shù)，的值域即可得答案.【詳解】解：記函數(shù)的值域?yàn)?/span>，的值域?yàn)?/span>，因?yàn)閷τ谌我獾?/span>，總存在，使得或，所以，因?yàn)?/span>，，所以，即函數(shù)的值域?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，的值域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，所以，有，解得，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>，滿足，故時(shí)成立，綜上所述，實(shí)數(shù)的范圍為.故答案為： 四、解答題17．計(jì)算下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)9(2)0 【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）解：（2）解：18．已知，（1）若時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用集合的并集定義代入計(jì)算即可;（2）求出集合，利用集合包含關(guān)系，分類討論和兩種情況，列出關(guān)于m的不等式，求解可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則即．（2）或，由，可分以下兩種情況：①當(dāng)時(shí)，，解得：②當(dāng)時(shí)，利用數(shù)軸表示集合，如圖由圖可知或，解得；綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是：或，即【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查利用集合子集關(guān)系確定參數(shù)問題，易錯(cuò)點(diǎn)是要注意：是任何集合的子集，所以要分集合和集合兩種情況討論，考查學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題.19．習(xí)近平總書記提出：“綠水青山就是金山銀山”的重要理念，說明呵護(hù)地球，人人有責(zé).某省為響應(yīng)該理念，計(jì)劃每年都增長相同百分比的綠化面積，且年時(shí)間綠化面積增長，（參考數(shù)據(jù)：，，，）試求：(1)求每年綠化面積的增長率；(2)按此增長率，若年年初時(shí)，該省的綠地面積是提出該理念時(shí)的倍，請問習(xí)近平總書記最遲是哪一年首次提出該理論.【答案】(1)約為；(2)年. 【分析】（1）設(shè)每年綠化面積的增長率為，可得出，求出的值即可；（2）設(shè)經(jīng)過年后該省的綠地面積是提出該理念時(shí)的倍，可得出，利用對數(shù)的運(yùn)算求出的值，即可得解.【詳解】（1）解：設(shè)每年綠化面積的增長率為，則，則，故每年綠化面積的增長率約為.（2）解：設(shè)經(jīng)過年后該省的綠地面積是提出該理念時(shí)的倍，則，則，而，因此，習(xí)近平總書記最遲在年首次提出該理論.20．求函數(shù)，的值域.【答案】【分析】應(yīng)用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡為，利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)求值域.【詳解】.設(shè)，且，故，則且，圖象的對稱軸為，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.∴的值城為.21．已知函數(shù)是對任意的都滿足，且當(dāng)時(shí)．（1）求的解析式；（2）現(xiàn)已畫出函數(shù)在y軸左側(cè)的圖像，如圖所示，請補(bǔ)出函數(shù)的完整圖像，并根據(jù)圖像直接寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及時(shí)的值域．【答案】（1）；（2）圖像見解析；函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是和，減區(qū)間是；值域?yàn)?/span>.【解析】（1）先利用奇偶性計(jì)算時(shí)的解析式，再計(jì)算，即得結(jié)果；（2）根據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)中心對稱作圖，再利用圖像觀察單調(diào)區(qū)間和對應(yīng)區(qū)間的值域即可.【詳解】解：（1），，設(shè)時(shí)，，依題意知，即，故；時(shí)，，故，故的解析式為；（2）由，知是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，故函數(shù)的完整圖像如圖所示：由圖像可知，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是和，減區(qū)間是，時(shí)的值域?yàn)?/span>.22．已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)在R上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；(3)若恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)在R上的單調(diào)遞增，證明見解析；(2)是奇函數(shù)，證明見解析；(3). 【分析】（1）利用單調(diào)性的定義證明，任取，設(shè)，然后判斷與0的大小，即可確定單調(diào)性.（2），直接利用函數(shù)奇偶性的定義判斷；（3）利用函數(shù)是奇函數(shù)，將題設(shè)不等式轉(zhuǎn)化為，再利用是上的單調(diào)增函數(shù)求解.【詳解】（1）函數(shù)是增函數(shù)，任取，不妨設(shè) ，，∵，∴，又，∴，即，∴函數(shù)是上的增函數(shù).（2）函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：由解析式可得：，且定義域?yàn)?/span>關(guān)于原點(diǎn)對稱，，∴函數(shù)是定義域內(nèi)的奇函數(shù).（3）由等價(jià)于，∵是上的單調(diào)增函數(shù)，∴，即恒成立，∴，解得. 

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