命題人：曹付祥 審核人：孫志明
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知為空間的組基底，則下列向量也能作為空間的一組基底的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知直線，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．1B．3C．1或3D．0
3．若過點(diǎn)的直線與以為端點(diǎn)的線段相交，則直線的傾斜角取值范圍為（ ）A．B．C．D．
4．已知直線的方向向量，直線的方向向量，若且，則的值是（ ）
A．1B．3或－1C．－3D．－3或1
5．給出下列命題：
①若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有；
②是共線的充要條件；
③若，則可共線；
④對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A，B，C，若且（其中），則P，A，B，C四點(diǎn)共面．
其中不正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．已知點(diǎn)P是直線和的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
8．已知定點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)，求的最大值和最小值為（ ）
A．12，B．，C．12，8D．9，
二、多項(xiàng)選擇題：本小題共4題，每題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得4分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知點(diǎn)，且點(diǎn)P在直線上，則（ ）
A．存在點(diǎn)P，使得B．存在點(diǎn)P，使得
C．的最小值為D．的最大值為
10．如圖所示，用一個(gè)與圓柱底面成角的平面截圓柱，截面是一個(gè)橢圓．若圓柱的底面圓半徑為2，，則（ ）
A．橢圓的長軸長等于4B．橢圓的離心率為
C．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是D．橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最小值為
11．已知正方體的棱長為4，EF是棱AB上的一條線段，且，點(diǎn)Q是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)P是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下面結(jié)論中正確的是（ ）
A．PQ與EF一定不垂直B．平面PEF與平面EFQ夾角的正弦值是
C．三角形PEF的面積是D．點(diǎn)P到平面QEF的距離是定值
12．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：是雙曲線的左右焦點(diǎn)，從發(fā)出的光線m射在雙曲線右支上一點(diǎn)P，經(jīng)點(diǎn)P反射后，反射光線的反向延長線過；當(dāng)P異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)P處的切線平分．若雙曲線C的方程為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．射線n所在直線的斜率為k，則
B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)n過點(diǎn)時(shí)，光線由到P再到Q所經(jīng)過的路程為13
D．若點(diǎn)T坐標(biāo)為，直線PT與C相切，則
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為______．（請(qǐng)用一般式表示）
14．方程化簡后為______．
15．如圖，在棱長為2的正四面體PABC中，平面ABC，垂足為O，D為PC的中點(diǎn)，則______．
16．古希臘數(shù)學(xué)家托勒密在他的名著《數(shù)學(xué)匯編》里給出了托勒密定理，即任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于等于兩組對(duì)邊的乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)同在一個(gè)圓上時(shí)等號(hào)成立．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)A，B滿足，若，則雙曲線C的離心率______．
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、推理過程和演算步驟．
17．已知，
求：（1）；
（2）與所成角的余弦值．
18．的四條邊所在直線的方程分別是，，求的面積．
19．中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種被稱為“曲池”的幾何體．該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．在如圖所示的“曲池”中，平面，記弧AB、弧DC的長度分別為，已知，E為弧的中點(diǎn)．
（1）證明：．
（2）若，求直線CE與平面所成角的正弦值．
20．已知半徑為4的圓C與直線相切，圓心C在y軸的負(fù)半軸上．
（1）求圓C的方程；
（2）已知直線與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且的面積為8，求直線的方程．
21．已知實(shí)數(shù)m，n滿足．令，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E．
（1）求E的方程，并說明E是什么曲線；
（2）過點(diǎn)作相互垂直的兩條直線和，和與E分別交于A、B和C、D，證明：．
22．在平面直角坐標(biāo)系中，，M為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，線段AM的垂直平分線交BM于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)N的軌跡是曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線相交于點(diǎn)Q，問是否存在定點(diǎn)H，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)H？若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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