?2022-2023學年廣東省陽江市高二上學期期中數(shù)學試題

一、單選題
1．已知集合，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出集合，得出其補集，再由交集運算得出答案.
【詳解】由，得，即集合，
所以．所以．
故選：A
2．若，且，則的最小值為（????）
A．9 B．3 C．1 D．
【答案】C
【分析】由基本不等式得，進而結(jié)合已知條件得的最小值為.
【詳解】解：因為，所以，
因為
所以，即，
當且僅當，即時等號成立，
所以，即的最小值為.
故選：C
3．已知定義在R上的奇函數(shù)滿足．當時，，則（????）
A．7 B．10 C． D．
【答案】C
【分析】由奇函數(shù)結(jié)合得出數(shù)是周期為，再由周期性求解即可.
【詳解】在R上是奇函數(shù)，
，即

，即函數(shù)是周期為的函數(shù)



故選：C
4．已知函數(shù)有且僅有一個零點，則實數(shù)的取值范圍為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】易知不是的零點，通過分離參數(shù)再結(jié)合換元將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的而圖象與直線有且僅有一個交點，數(shù)形結(jié)合即可求解
【詳解】由，可得0不是函數(shù)的零點
則可化為，即，
令，有，
由函數(shù)單調(diào)，可得方程有且僅有一個根，等價于函數(shù)與直線有且僅有一個交點，
又，可得函數(shù)的減區(qū)間為，，增區(qū)間為，在處取得極大值，在處取得極小值，
由，，可得或，所以或.

故選：D
5．已知向量，，若向量，的夾角是銳角，則的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由題知，進而解不等式組即可得答案.
【詳解】因為，，
所以，
因為向量，的夾角是銳角，所以，解得，且．
所以，實數(shù)的取值范圍是.
故選：C
6．已知復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則z的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（????）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根據(jù)復數(shù)的乘除法運算，求得，即可得，根據(jù)復數(shù)的幾何意義可得答案.
【詳解】,
則 ，即z的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第三象限，
故選：C
7．如圖，直三棱柱的所有棱長都相等，D、E分別是BC、的中點，下列說法中正確的是(????)

A．
B．平面
C．與DE是相交直線
D．異面直線與所成角的余弦值為
【答案】D
【分析】A：取中點為，連接、，假設(shè)，由此可得平面，可得，但與不垂直，故假設(shè)不成立，錯誤；
B：連接，顯然和平面有一個公共點，故與平面不平行；
C：C、、D都在平面內(nèi)，E不在平面內(nèi)，據(jù)此可判斷與DE異面；
D：連接、、，即為異面直線與所成角或其補角，解△即可．
【詳解】①取中點為，連接、，
假設(shè)，又易知，，∴平面，
∴，
∵為等邊三角形，∥，，即與不垂直，故假設(shè)不成立，A選項錯誤；
②連接，則，
又，平面，∴平面，
即與平面至少有一個公共點，故與平面必不平行，故B選項錯誤；
③∵平面，D平面，E平面，∴DE和是異面直線，故C選項錯誤；
④連接、、，易知∥，∥，
∴為異面直線與所成角或其補角，
設(shè)三棱柱所有棱長均為2，
則，，
，
在△中，，
∵異面直線夾角范圍是，
∴異面直線與所成角的余弦值為，故D選項正確．
故選：D﹒

8．2022年北京冬季奧運會中國體育代表團共收獲9金4銀2銅，金牌數(shù)和獎牌數(shù)均創(chuàng)歷史新高．獲得的9枚金牌中，5枚來自雪上項目，4枚來自冰上項目．某體育院校隨機調(diào)查了100名學生冬奧會期間觀看雪上項目和冰上項目的時間長度（單位：小時），并按，，，，分組，分別得到頻率分布直方圖如下：

估計該體育院校學生觀看雪上項目和冰上項目的時間長度的第75百分位數(shù)分別是和，方差分別是和，則（?????）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】分別計算出和，進行比較；由方差的意義比較和，即可得到答案.
【詳解】由題意進行數(shù)據(jù)分析，可得：
，解得：；
，解得：；
所以.
比較兩個頻率分布直方圖可以看出：雪上項目的數(shù)據(jù)更分散，冰上項目的數(shù)據(jù)更分散，由方差的意義可以得到：.
故選：A

二、多選題
9．已知雙曲線的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點為A，M為OA的中點，P為雙曲線C右支上一點且，且，則(????)
A．C的離心率為2 B．C的漸近線方程為
C．PM平分 D．
【答案】ACD
【分析】在直角三角形中，利用列出關(guān)于a、b、c的齊次式求出離心率，從而判斷A；根據(jù)離心率求出漸近線方程，從而判斷B；根據(jù)是否相等即可判斷PM是否平分，從而判斷C；根據(jù)、的比例關(guān)系，利用平面向量的線性運算即可表示用表示，從而判斷D.
【詳解】由可知，
由得，，
即，即，即，∴，故A正確；
由，∴雙曲線漸近線為，故B錯誤；
由，﹒
則，，
∴；
∵，，∴，
∴，∴根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知PM平分，故C正確；
，，
，故D正確；
故選：ACD．

【點睛】本題主要考察與雙曲線的焦半徑和焦點三角形有關(guān)的性質(zhì)，考察構(gòu)造關(guān)于a、b、c的齊次式求離心率的方法，考察利用角平分線的性質(zhì)，考察了向量的線性運算，解題時需數(shù)形結(jié)合，合理運用圖形的幾何關(guān)系.
10．已知函數(shù)在上可導，且，其導函數(shù)滿足，對于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（????）
A．函數(shù)在上為減函數(shù) B．是函數(shù)的極小值點
C．函數(shù)必有個零點 D．
【答案】ABD
【分析】利用導數(shù)可求得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，結(jié)合極值點定義和可知ABD正確；由于零點個數(shù)無法確定，則零點個數(shù)無法確定，知C錯誤.
【詳解】由題意得：；
由知：當時，，即；當時，，即，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，A正確；
是的極小值點，B正確；
在上單調(diào)遞增，，即，，D正確；
，，
若在或在上無零點，則無兩個零點，C錯誤.
故選：ABD.
11．如圖，已知正方體棱長為4，Q是上一動點，點H在棱上，且，在側(cè)面內(nèi)作邊長為1的正方形，P是側(cè)面內(nèi)一動點，且點P到平面距離等于線段的長，下列說法正確的是（????）

A．平面
B．與平面所成角的正切值得最大值為
C．的最小值為
D．當點P運動時，的范圍是
【答案】ABD
【分析】對于A,先證明平面平面，利用面面平行的性質(zhì)判斷平面；
對于B,找到與平面所成角，表示出角的正切值，即可判斷；
對于C, 當把平面折起，和平面在同一個平面上時,即可求得的最小值；
對于D，建立空間直角坐標系，求得的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可求得其范圍.
【詳解】對于A,連接 ,

則 ,且平面 ,
而平面 ,
故平面平面 , 平面,
故平面，故A正確；
對于B， 連接,由于 平面，則即為與平面所成角，故 ，當, ,此時最小，
故取到最大值 ，故B正確；
對于C，當把平面折起，和平面在同一個平面上時，如圖示：

取到最小值，最小值為 ，故C錯誤；
對于D，以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸， 為z軸，建立空間直角坐標系，
則 ,設(shè) ，
由題意可知 ,故點P落在以點F為焦點，以為準線的拋物線上，
故 ，
由得，即 ，
故 ，
當時，取最小值22，當時，取最大值 ，
故，故D正確.
故選：ABD
12．已知圓：，圓：（，且，不同時為0）交于不同的兩點，，下列結(jié)論正確的是（????）
A．
B．
C．，
D．，為圓上的兩動點，且，則的最大值為
【答案】ABC
【分析】兩圓相減就得到公共弦所在的直線的方程, 點代入直線的方程, 即可判斷選項,正確; 分析出的中點恰為的中點即可得到選項正確; 設(shè)的中點為H , 把求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值, 即可判斷選項D.
【詳解】由,
得 ,
兩圓的方程相減得到直線的方程為,
因為點在直線上,
代入直線的方程, 得,
因此選項正確;
又因為也在直線上, 所以代入直線的方程,
得,
聯(lián)立，得,
因此選項B正確;
因為兩圓半徑相等,
所以的中點恰為的中點,
所以成立,
因此選項正確;
設(shè)的中點為H , 則 ,
當且點與點分布在異側(cè)最大,
最大為 ,
則最大值為，而不是，
因此選項D錯誤.
故選: ABC.

三、填空題
13．已知函數(shù)，若至少存在兩個不相等的實數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是________．
【答案】
【分析】當時，易知必滿足題意；當時，根據(jù)可得，由最大值點的個數(shù)可構(gòu)造不等式組，結(jié)合確定具體范圍.
【詳解】至少存在兩個不相等的實數(shù)，使得，
當，即時，必存在兩個不相等的實數(shù)滿足題意；
當，即時，，
，；
當時，解集為，不合題意；令，則；令，則；
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查根據(jù)正弦型函數(shù)最值點的個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，解題關(guān)鍵是能夠采用整體對應(yīng)的方式，根據(jù)的范圍所需滿足的條件來構(gòu)造不等式組，解不等式組求得結(jié)果.
14．已知非零平面向量，，滿足，且，若與的夾角為，且，則的模取值范圍是___________.
【答案】
【分析】以向量幾何意義去解題，數(shù)形結(jié)合的方法可以簡化解題過程.
【詳解】如圖1，令，，，則，取AB中點M .

由，可得，
，
所以，即C在以M為圓心、為半徑的圓上.
由，當O、M、C三點共線時（M在線段OC上），.
由于O在以AB為弦的圓弧上，設(shè)圓心為G，
由正弦定理可知，即，
當時，圓G半徑取得最大值.

當O、M、G三點共線（G在線段OM上），且時，
取得最大值，此時，
所以.
如圖2，顯然當O、M、C三點共線（點C在線段OM上），

當時，圓G半徑取得最小值.
，即M、G兩點重合.取得最小值為2.
則時，.
故向量的模取值范圍是
故答案為：
15．阿波羅尼奧斯在其著作《圓錐曲線論》中提出：過橢圓上任意一點的切線方程為．若已知△ABC內(nèi)接于橢圓E：，且坐標原點O為△ABC的重心，過A，B，C分別作橢圓E的切線，切線分別相交于點D，E，F(xiàn)，則______．
【答案】4
【分析】設(shè)、、，由重心的性質(zhì)有、、，寫出過切線方程并求交點坐標，進而判斷△重心也為O，再由在橢圓上可得、、共線，即分別是的中點，即可確定面積比.
【詳解】若、、，則的中點、、，
由O為△ABC的重心，則、、，
所以、、，可得，
由題設(shè)，過切線分別為、、，
所以，，，
所以，同理，即△重心也為O，
又、、，可得、、，
所以，同理可得、，
所以、、共線，
綜上，分別是的中點，則

【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)點坐標及過切線方程，并求出坐標，利用重心的性質(zhì)確定△重心為O，并求證分別是的中點即可.

四、雙空題
16．雙曲線的左?右頂點分別為，過點的直線交該雙曲線于點，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，已知軸時，，則雙曲線的離心率__________；若點在雙曲線右支上，則的取值范圍是__________.
【答案】???? ????
【分析】當直線軸時，表達出P，Q兩點坐標，從而利用斜率之比求出，求出離心率；（2）設(shè)出直線，聯(lián)立方程，得到兩根之和，兩根之積，表達出，由漸近線方程求出，進而求出的取值范圍.
【詳解】當軸時，，
所以，從而，所以；
由題意知，.設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，整理得：

又
故
所以可知，當點在右支運動時，由漸近線方程為可知：，故.
故答案為：，

五、解答題
17．對于項數(shù)為的有窮數(shù)列，設(shè)為中的最大值，稱數(shù)列是的控制數(shù)列.例如數(shù)列3，5，4，7的控制數(shù)列是3，5，5，7.
(1)若各項均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列是2，3，4，6，6，寫出所有的；
(2)設(shè)是的控制數(shù)列，滿足（為常數(shù)，）.證明：.
(3)考慮正整數(shù)的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數(shù)列.是否存在數(shù)列，使它的控制數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出滿足條件的數(shù)列的個數(shù)；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)答案見解析；
(2)證明見解析；
(3)。

【分析】（1）由控制數(shù)列確定原數(shù)列，只是在確定時，只要即可；
（2）由已知證得控制數(shù)列是不減的數(shù)列，然后確定也是不減的數(shù)列，由第一項開始可證明對應(yīng)項必相等；
（3）由于控制數(shù)列是等差數(shù)列，因此可考慮或兩種情形，分類討論可得．
【詳解】（1）由題意，，，，，
所以數(shù)列有六種可能：；；；；；．
（2）因為，，所以，
所以控制數(shù)列是不減的數(shù)列，
是的控制數(shù)列，滿足，是常數(shù)，所以，即數(shù)列也是不減的數(shù)列，，
那么若時都有，則，
若，則，若，則，
又，由數(shù)學歸納法思想可得對，都有；
（3）設(shè)的控制數(shù)列是，由（2）知是不減的數(shù)列，必有一項等于，
當是數(shù)列中間某項時，不可能是等差數(shù)列，
所以或，
若，則（），是等差數(shù)列，
此時只要，是的任意排列均可．共個，
，而時，數(shù)列中必有，否則不可能是等差數(shù)列，
由此有，即就是，只有一種排列，
綜上，的個數(shù)是．
【點睛】本題考查數(shù)列新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，應(yīng)用新定義，本題關(guān)鍵是確定控制數(shù)是不減的數(shù)列，從而由此可確定結(jié)論．對學生的邏輯思維能力要求較高．
18．某校為了解疫情期間學生線上學習效果，進行一次摸底考試，從中選取60名同學的成績（百分制，均為正數(shù)）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）六組后，得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形，回答下列問題：

(1)求分數(shù)在內(nèi)的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；
(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計本次考試成績的均值；
(3)根據(jù)評獎規(guī)則，排名靠前10%的同學可以獲獎，請你估計獲獎的同學至少需要多少分？
【答案】(1)，頻率分布直方圖見解析
(2)分.
(3)獲獎的同學至少為分

【分析】（1）設(shè)分數(shù)在內(nèi)的頻率為，根據(jù)頻率分布直方圖，列出方程求得，從而得到分數(shù)在內(nèi)的頻率為，由此補全這個頻率分布直方圖；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算公式，即可求解；
（3）由分數(shù)在和內(nèi)的頻率，得到，得到排名前的分界點為，列出方程求得的值，即可求解.
【詳解】（1）解：設(shè)分數(shù)在內(nèi)的頻率為，
根據(jù)頻率分布直方圖，可得，
解得，所以分數(shù)在內(nèi)的頻率為，
所以補全這個頻率分布直方圖，如圖所示：

（2）解：根據(jù)頻率分布直方圖得：
均值為：，
即估計本次考試成績的均值為分.
（3）解：因為分數(shù)在內(nèi)的頻率為，內(nèi)的頻率為，
而，
所以排名前的分界點為，則，解得，
所以排名前的分界點為分，即獲獎的同學至少為分.
19．如圖，在四面體ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，AB=BD．

(1)求證：平面平面ABC；
(2)若，二面角的余弦值為，求m．
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）取的中點，連接，則由已知可得為二面角的平面角，由已知可得，所以可得，從而可證得結(jié)論，
（2）由于，所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解
【詳解】（1）證明：因為是正三角形，所以
因為，公共邊，
所以≌,
所以，
因為是直角三角形，
所以，
取的中點，連接，則,
因為是正三角形，所以，
所以為二面角的平面角，
在中，，
因為，所以,
所以，
所以平面平面ABC；

（2）由（1）可得，所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

設(shè)等邊的邊長為2，則，
則，
因為，所以，
所以，
設(shè)平面的法向量為，則
，
令，則，
設(shè)平面的法向量為，則
，
令，則，
因為二面角的余弦值為，
所以，
化簡得，，
解得或，

如圖，過作于，連接，則由（1）可得，
因為，所以平面，
所以平面平面，所以二面角為直角二面角，
因為，
所以,
所以,得，
所以，所以,
所以當時，二面角為鈍角，
所以舍去，
所以
20．已知橢圓的上?下焦點分別為，，左?右頂點分別為，，且四邊形是面積為8的正方形.
(1)求C的標準方程.
(2)M，N為C上且在y軸右側(cè)的兩點，，與的交點為P，試問是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是，請說明理由.
【答案】(1)；
(2)為定值，定值為.

【分析】（1）根據(jù)橢圓上、下焦點和左、右頂點的定義，結(jié)合正方形的面積進行求解即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)、橢圓的定義，結(jié)合直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求出M，N的坐標，利用兩點間距離公式進行求解即可.
【詳解】（1）橢圓的上?下焦點分別為，
左?右頂點分別為，因為四邊形是面積為8的正方形，
所以有且，解得，
所以橢圓的標準方程為：；
（2）
因為，
所以
，因為N為C上且在y軸右側(cè)的點，
所以，
因此，
同理可得：，所以
設(shè)的方程分別為：，設(shè)，
則，
所以，因此
，
同理可得：，
因此，，
所以，
所以為定值，定值為.
【點睛】關(guān)鍵點睛：利用平行線的性質(zhì)，得到比例式子是解題的關(guān)鍵.
21．如圖，已知F是拋物線的焦點，M是拋物線的準線與x軸的交點，且，

（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)過點F的直線交拋物線與A?B兩點，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出的值后可求拋物線的方程.
（2）方法一：設(shè)，，，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程后可得，求出直線的方程，聯(lián)立各直線方程可求出，根據(jù)題設(shè)條件可得，從而可求的范圍.
【詳解】（1）因為，故，故拋物線的方程為：.
（2）[方法一]：通式通法
設(shè)，，，
所以直線，由題設(shè)可得且.
由可得，故，
因為，故，故.
又，由可得，
同理，
由可得，
所以，
整理得到，


故，
令，則且，
故，
故即，
解得或或.
故直線在軸上的截距的范圍為或或.
[方法二]：利用焦點弦性質(zhì)
設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，由題設(shè)可得且．
由得，所以．
因為，
，．
由得．
同理．
由得．
因為，
所以即．
故．
令，則．
所以，解得或或．
故直線在x軸上的截距的范圍為．
[方法三]【最優(yōu)解】：
設(shè)，
由三點共線得，即．
所以直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．
設(shè)直線的方程為，
則．
所以．
故（其中）．
所以．
因此直線在x軸上的截距為．
【整體點評】本題主要是處理共線的線段長度問題，主要方法是長度轉(zhuǎn)化為坐標.
方法一：主要是用坐標表示直線，利用弦長公式將線段長度關(guān)系轉(zhuǎn)為縱坐標關(guān)系，再將所求構(gòu)建出函數(shù)關(guān)系式，再利用換元法等把復雜函數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的范圍.
方法二：利用焦點弦的性質(zhì)求得直線的斜率之和為0，再利用線段長度關(guān)系即為縱坐標關(guān)系，再將所求構(gòu)建出函數(shù)關(guān)系式，再利用換元法等把復雜函數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的范圍.
方法三：利用點在拋物線上，巧妙設(shè)點坐標，借助于焦點弦的性質(zhì)求得點橫坐標的關(guān)系，這樣有助于減少變元，再將所求構(gòu)建出函數(shù)關(guān)系式，再利用換元法等把復雜函數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的范圍.
22．已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.
【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.
【分析】(1) 首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導函數(shù)的解析式，由導函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.
(2)方法二：將題中的等式進行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對稱差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.
【詳解】(1)的定義域為．
由得，，
當時，；當時；當時，．
故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，
(2)[方法一]：等價轉(zhuǎn)化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，
①令，
則，
當時，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，
從而，所以，
由（1）得即．①
令，則，
當時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，
從而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．
令．則上式變?yōu)椋?br /> 于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．
令，則有，不妨設(shè)．
由（1）知，先證．
要證：
．
令，
則，
在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．
再證．
因為，所以需證．
令，
所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
所以．故，即．
綜合可知．
[方法三]：比值代換
證明同證法2．以下證明．
不妨設(shè)，則，
由得，，
要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，
即，
即證．
記，則.
記，則，
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
由得，所以，
即．
[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法
由已知得，令，
不妨設(shè)，所以．
由（Ⅰ）知，，只需證．
證明同證法2．
再證明．令．
令，則．
所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
因為，所以，即
又因為，所以，
即．
因為，所以，即．
綜上，有結(jié)論得證．
【整體點評】(2)方法一：等價轉(zhuǎn)化是處理導數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導數(shù)問題必備的知識和技能.
方法二：等價轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學思想，構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點偏移問題的處理策略.
方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.
方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.


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