2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州第一中學(xué)校高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義和極限的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義和極限的運(yùn)算法則，可得：.故選：A.2．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．是函數(shù)的極小值點(diǎn) B．是函數(shù)的極小值點(diǎn)C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．函數(shù)在區(qū)間上先增后減【答案】A【解析】看導(dǎo)數(shù)圖像，根據(jù)正負(fù)情況判斷極值點(diǎn)和單調(diào)性，逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由圖可知，時(shí)，時(shí)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故正確； 對(duì)于B，由圖可知，在x=-1附近，時(shí)，時(shí)，故不是的極值點(diǎn)，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圖可知，時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，由圖可知，時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤．故選：A．3．已知函數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出，把代入可得，從而求出可得答案.【詳解】由題意可得，則，解得，從而，故.故選：C.4．已知函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是(    )A． B． C． D．【答案】D【分析】求得，得出函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合有3個(gè)不同的零點(diǎn)，列出不等式，即可求解．【詳解】由函數(shù)，可得，令，解得或，令，解得或；令，解得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又由，，要使有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：D．5．若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)知恒成立，構(gòu)造并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性確定最大值，即可求的范圍.【詳解】由題設(shè)知：恒成立，令且，則，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；∴，故.故選：A6．已知函數(shù)，則（    ）A．函數(shù)的極大值點(diǎn)為B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)D．函數(shù)在原點(diǎn)處的切線方程為【答案】D【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，通過判斷函數(shù)的單調(diào)性求極值點(diǎn)以及零點(diǎn)個(gè)數(shù)等.【詳解】A選項(xiàng)：由，得，令，得，故，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)，故A錯(cuò)；B選項(xiàng):  當(dāng)，為減函數(shù)，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)：由函數(shù)單調(diào)性可知函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)；D選項(xiàng)：切線斜率，所以切線方程為，D正確.故選：D【點(diǎn)睛】求切線方程的步驟：①確定切點(diǎn)；②確定斜率；③點(diǎn)斜式寫切線方程.7．已知圓柱的表面積為定值，當(dāng)圓柱的容積最大時(shí)，圓柱的高的值為（    ）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓柱底，圓柱側(cè)，則可得，則圓柱的體積為，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值，確定值.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓柱底，圓柱側(cè)，∴，∴，則圓柱的體積，∴，由得，由得，∴當(dāng)時(shí)，取極大值，也是最大值，即．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱的表面積和體積的計(jì)算，考查了導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).8．已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】將兩個(gè)函數(shù)的解析式聯(lián)立，消去，得到等式，問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同的正實(shí)根，根據(jù)這個(gè)等式運(yùn)用常變量分離法，通過構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減.又，，所以當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn).故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用常變量分離法構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 二、多選題9．下列說法正確的是（    ）A．4個(gè)班分別從3個(gè)景點(diǎn)選擇一處游覽，不同的選法的種數(shù)是；B．從1，2，3，4，5選擇2個(gè)數(shù)（可重復(fù)）組成兩位偶數(shù)一共有10個(gè)；C．兩個(gè)口袋分別裝有2個(gè)和3個(gè)小球，從兩個(gè)口袋分別各取1個(gè)球，一共有5種取法；D．從1，3，5，7，10選擇2個(gè)不相同的數(shù)作為分子分母組成分?jǐn)?shù)，一共可以組成10個(gè)分?jǐn)?shù)；【答案】AB【分析】計(jì)算4個(gè)班分別從3個(gè)景點(diǎn)選擇一處游覽，共有幾種選法，判斷A;計(jì)算出從1，2，3，4，5選擇2個(gè)數(shù)（可重復(fù)）組成兩位偶數(shù)一共有幾個(gè)，判斷B;根據(jù)分步乘法原理計(jì)算兩個(gè)口袋分別裝有2個(gè)和3個(gè)小球，從兩個(gè)口袋分別各取1個(gè)球，有幾種取法，判斷C;考慮1作分子情況和不選1時(shí)的情況，計(jì)算出分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)，判斷D.【詳解】A, 4個(gè)班分別從3個(gè)景點(diǎn)選擇一處游覽，每一個(gè)班都有3種選擇，分4步完成，故有 種選法，A正確；B，從1，2，3，4，5選擇2個(gè)數(shù)（可重復(fù)）組成兩位偶數(shù)，先確定個(gè)位數(shù)字有2種可能，再確定十位數(shù)字有5種可能，故共有 個(gè)偶數(shù)，B正確；C，兩個(gè)口袋分別裝有2個(gè)和3個(gè)小球，從兩個(gè)口袋分別各取1個(gè)球，共有 種取法，C錯(cuò)誤；D，從1，3，5，7，10選擇2個(gè)不相同的數(shù)作為分子分母組成分?jǐn)?shù)，若選1作分子，則分母有4種可能，此時(shí)有4個(gè)分?jǐn)?shù)，不選1時(shí)，共有個(gè)分?jǐn)?shù)，故共有 個(gè)分?jǐn)?shù)，故D錯(cuò)誤，故選：AB10．對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的有（    ）A．在處取得極大值 B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C． D．【答案】AC【分析】利用導(dǎo)函數(shù)求出單調(diào)性，再逐項(xiàng)驗(yàn)證，即可.【詳解】解析：由函數(shù)，可得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，可得函數(shù)在處取得極大值，所以正確；因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以錯(cuò)誤；由在上單調(diào)遞減，且，可得，所以正確；由在上單調(diào)遞減，且，可得，即，所以錯(cuò)誤.故選：AC11．對(duì)于函數(shù).下列判斷正確的是(   )A．在該函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線的斜率為B．函數(shù)的最小值為C．該函數(shù)圖象與軸有4個(gè)交點(diǎn)D．函數(shù)在上為減函數(shù)，在上也為減函數(shù)【答案】ABD【分析】當(dāng)時(shí)，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在時(shí)的導(dǎo)數(shù)值判斷A；利用導(dǎo)數(shù)求最值，結(jié)合二次函數(shù)求最值判斷B；數(shù)形結(jié)合判斷C與D.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以，即該函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線的斜率為，故A正確；當(dāng)時(shí)，，若，，單調(diào)遞減，若，，單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，因?yàn)?/span>，所以的最小值為，故B正確；如圖：  當(dāng)無限趨近于負(fù)無窮大時(shí)，無限趨近于0且小于0，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，與軸有個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象與軸有3個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；由上圖可知，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上也為減函數(shù)，故D正確.故選：ABD.12．聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù)．純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音．若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則（     ）A．在上是增函數(shù) B．的最大值為C．在上有3個(gè)零點(diǎn) D．在上有3個(gè)極值點(diǎn)【答案】BC【分析】本題利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的性質(zhì)，先的周期為，而的周期為，故可取一周期，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)即可得解.【詳解】取一周期，不放設(shè)，由，令，，，當(dāng)，，為增函數(shù)，當(dāng)，，為減函數(shù)，當(dāng)，，為增函數(shù)，由此A錯(cuò)誤；，，所以的最大值為，所以B正確；，，所以存在，使得，故C正確；由上可得在和處取得極值點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)的單調(diào)性和極值最值問題，有一定的計(jì)算量，屬于中檔題.研究三角函數(shù)的性質(zhì)有如下幾種方法：（1）齊次式形如可以利用輔助角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（2）形如可以利用換元法進(jìn)行求解；（3）非齊次式也不可換元，可利用求導(dǎo)進(jìn)行解決問題. 三、填空題13．函數(shù)的增區(qū)間為      ．【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可．【詳解】由函數(shù)，可得，因?yàn)?/span>，令，即，解得，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為.故答案為：.14．已知函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則曲線在處的切線方程為            .【答案】【解析】根據(jù)偶函數(shù)先得，，然后求導(dǎo)，再計(jì)算與，然后利用點(diǎn)斜式寫出切線方程.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，設(shè)，則，所以，則，所以，所以，，所以在處的切線方程為，即.故答案為：15．已知函數(shù) 在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是      ．【答案】【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得關(guān)于的不等式，可解得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)，令，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上，為增函數(shù)；在區(qū)間上，為減函數(shù)，若函數(shù) 在上不單調(diào)，則，解得，即的取值范圍為．故答案為：．16．若以函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)作切線，圖像上總存在異于點(diǎn)的點(diǎn)，使得以為切點(diǎn)的直線與平行，則稱函數(shù)為“美函數(shù)”，下面四個(gè)函數(shù)中是“美函數(shù)”的是         .①②③④【答案】②③【分析】對(duì)于①：當(dāng)時(shí)只一解；對(duì)于②：恒有二解；對(duì)于③：有無數(shù)解；對(duì)于④：令，只得一解，即可判斷結(jié)果．【詳解】對(duì)于①：，當(dāng)時(shí)只一解，不合題設(shè)．對(duì)于②：定義域?yàn)?/span>，，令，則，恒有二解，滿足題設(shè)．對(duì)于③：，令，對(duì)于每個(gè)值域范圍內(nèi)的，都有無數(shù)解，滿足題設(shè)．對(duì)于④：，令，只得一解，不合題設(shè)故答案為：②③． 四、解答題17．已知函數(shù)在處有極值10.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求在上的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）10.【分析】（Ⅰ）由題意可得，解出的值，驗(yàn)證需滿足在兩側(cè)的單調(diào)性相反，即導(dǎo)數(shù)異號(hào)才為極值點(diǎn)，即可確定的值；（Ⅱ）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，求出端點(diǎn)值以及極值，比較大小即可確定函數(shù)在上的最小值．【詳解】（Ⅰ）若函數(shù)在處有極值為10，則或 ，當(dāng) 時(shí)， ， ，所以函數(shù)有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)無極值點(diǎn)；所以（Ⅱ），由得所以令，得或；    令得所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減． ，  ， 所以最小值為10.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取極值的條件以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，考查學(xué)生基本的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．在①的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為1；②；③有兩個(gè)極值點(diǎn)-1，1這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問題（1）中，并加以解答.已知.(1)若______，求實(shí)數(shù)m的值；注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.(2)若，討論的單調(diào)性.【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析 【分析】（1）易得，分別將三個(gè)條件代入即可計(jì)算出m；（2）對(duì)m分，，三種情況討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1）方案一：選條件①.易得， ，.  方案二：選條件②.易得， ，.方案三：選條件③.易得，∴由，得，.有兩個(gè)極值點(diǎn)-1，1，，.（2）.當(dāng)時(shí)，由，得或.（i）若，則.在R上單調(diào)遞增. （ii）若，則.∴當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.  （iii）若，則.∴當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.19．如圖，有一生態(tài)農(nóng)莊的平面圖是一個(gè)半圓形，其中，直徑長(zhǎng)為，，兩點(diǎn)在半圓弧上，且，設(shè)，現(xiàn)要在景區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條觀光通道，由，，和組成.(1)若，求觀光通道的長(zhǎng)度；(2)現(xiàn)要在農(nóng)莊內(nèi)種植經(jīng)濟(jì)作物，其中，在內(nèi)種植鮮花，在內(nèi)種植果樹，在扇形內(nèi)種植草坪.已知種植鮮花和種植果樹的利潤(rùn)均為2百萬元，種植草坪的利潤(rùn)為1百萬元，則當(dāng)為何值時(shí)總利潤(rùn)最大？  【答案】(1)(2) 【分析】（1）在與中，分別由余弦定理求得與的值，進(jìn)一步求得觀光通道的長(zhǎng)度；（2）分別求出三角形與三角形的面積，再由扇形面積公式求得扇形的面積，作和后利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】（1）在中，，，所以，則，，又，，得.在中，，則,所以；（2）由題意，，，.設(shè)總利潤(rùn)為，則，則，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，所以.所以當(dāng)時(shí)，總利潤(rùn)取得最大值，最大值為百萬元.  20．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線；（2）若為的一個(gè)極小值點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解出的值則切線的斜率可知，再求解出的值，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程求解出切線方程；（2）根據(jù)條件判斷出在的單調(diào)遞增區(qū)間中，再根據(jù)求解出的初步范圍，注意分析臨界值是否滿足.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，∴，，∴曲線在點(diǎn)處的切線為.（2）由已知得，則，若為的一個(gè)極小值點(diǎn)，則在的單調(diào)增區(qū)間中，又，則，解得，又當(dāng)時(shí)，，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故此時(shí)不是的極值點(diǎn).綜上可知：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題第二問的關(guān)鍵是通過判斷出處于的單調(diào)遞增區(qū)間，于是滿足在的左側(cè)導(dǎo)數(shù)值小于零，的右側(cè)導(dǎo)數(shù)值大于零，由此進(jìn)行問題的求解.21．已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè).如果對(duì)任意，，求的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)a≥0時(shí)，＞0，故f(x)在(0，+)單調(diào)增加；當(dāng)a≤－1時(shí)，＜0， 故f(x)在(0，+)單調(diào)減少；當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，f(x)在（0，）單調(diào)增加，在（，+）（2）a≤－2【詳解】（1） f(x)的定義域?yàn)?/span>(0，+)，.當(dāng)a≥0時(shí)，＞0，故f(x)在(0，+)單調(diào)增加；當(dāng)a≤－1時(shí)，＜0， 故f(x)在(0，+)單調(diào)減少；當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，令＝0，解得x=.當(dāng)x∈(0，)時(shí)，＞0；x∈(，+)時(shí)，＜0， 故f(x)在（0，）單調(diào)增加，在（，+）單調(diào)減少.（2）不妨假設(shè)x1≥x2.由于a≤－2，故f(x)在（0，+）單調(diào)減少.所以等價(jià)于≥4x1－4x2，，即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.令g(x)=f(x)+4x，則+4＝.于是≤＝≤0.從而g(x)在（0，+）單調(diào)減少，故g(x1) ≤g(x2)，即f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故對(duì)任意x1，x2∈(0，+) ，.22．設(shè)函數(shù)，.(1)若函數(shù)圖象恰與函數(shù)圖象相切，求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)，，證明：、兩點(diǎn)連線的斜率.【答案】(1)1(2)證明見解析 【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）由有兩個(gè)極值點(diǎn)，可得有兩個(gè)不等的正根，且，可得，要證：，即證.令證，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求解即可；【詳解】（1）設(shè)與切于，由，則，所以，則，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以.（2）解法一：由，所以，因?yàn)?/span>有兩個(gè)極值點(diǎn)，，即有兩個(gè)不等的正根，且，，要證：，即證.不妨設(shè)，即證：，即證：，令證令，在上，證畢!解法二：因?yàn)?/span>，所以，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，解得.所以，所以的斜率.令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，.不妨設(shè)，令，則，所以，即，證畢!【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，通常要分析不等式結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)求解.本題關(guān)鍵在于分析要證：，即證.令證，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求解. 

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