2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州高新區(qū)第一中學(xué)高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（     ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合的運算法則計算．【詳解】由題意，所以．故選：A．2．已知命題，則命題的否定為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由特稱（存在）量詞命題的否定是全稱量詞命題直接可得.【詳解】由特稱（存在）量詞命題的否定是全稱量詞命題直接可得：命題的否定為：.故選：D3．設(shè)，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得，由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得，即可得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得且，即，由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得，所以.故選：D.4．已知函數(shù)則方程的解集為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】考慮和兩種情況，代入解方程得到答案.【詳解】當(dāng)時，，故，解得或（舍去）；當(dāng)時，，故，解得或（舍去）.綜上所述：或.故選：B5．已知角的終邊上一點，則（    ）A． B．C． D．以上答案都不對【答案】C【分析】可由題意，利用坐標(biāo)分別表示出，然后再計算即可得到答案.【詳解】因為角的終邊上一點，所以，，所以.故選：C.6．關(guān)于的方程在上有兩個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)零點的分布列不等式組求解.【詳解】令，要滿足在上有兩個不相等的實根，則 ，解得故選：D7．盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解.例如，地震時釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為.年月日，日本東北部海域發(fā)生里氏級地震，它所釋放出來的能量是2013年4月20日在四川省雅安市蘆山縣發(fā)生7.0級地震級地震的（    ）倍.A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)運算性質(zhì)計算作答.【詳解】令日本東北部海域發(fā)生里氏級地震釋放出來的能量為，蘆山縣發(fā)生7.0級地震釋放出來的能量為，則有，即，所以所求結(jié)果為倍.故選：A8．已知函數(shù)，若（其中．），則的最小值為（    ）．A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)的運算可得，利用均值不等式求最值即可.【詳解】,由，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故選：B 二、多選題9．已知函數(shù)，，則下列選項中正確的有（    ）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．的值域為 D．有最小值0【答案】AB【分析】由奇偶性定義可判斷AB；利用單調(diào)性可判斷CD；【詳解】因為，，所以為奇函數(shù)，故A正確；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立；故C錯誤；因為，所以，所以為偶函數(shù)，故B正確；當(dāng)時，是單調(diào)遞增函數(shù)，所以；當(dāng)時，是單調(diào)遞減函數(shù)，，故D錯誤；故選：AB.10．以下四個命題，其中是真命題的有（    ）．A．命題“”的否定是“”B．若，則C．函數(shù)且的圖象過定點D．若某扇形的周長為6cm，面積為2，圓心角為，則【答案】ACD【分析】對于A，根據(jù)全稱命題的否定可判斷；對于B，由不等式的性質(zhì)可判斷；對于C，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷；對于D，由扇形的周長、面積公式計算可判斷.【詳解】對于A，由全稱命題的否定，可知選項A正確；對于B，若，則，根據(jù)的單調(diào)性，可知，故B不正確；對于C，當(dāng)時，，故其過定點，故C正確；對于D，設(shè)扇形的半徑為，弧長為，則有，又，故D正確.故選：ACD11．已知函數(shù)，下列說法正確的是（    ）．A．函數(shù)的圖象恒過定點B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為0D．若對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是【答案】ACD【分析】代入驗證可判斷A，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷B，根據(jù)絕對值的意義及對數(shù)的運算可判斷C，由函數(shù)單調(diào)性建立不等式求解可判斷D.【詳解】代入函數(shù)解析式，成立，故A正確；當(dāng)時，，又，所以，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，時，單調(diào)遞增，故B錯誤；當(dāng)時，，所以，故C正確；當(dāng)時，恒成立，所以由函數(shù)為增函數(shù)知即可，解得，故D正確.故選：ACD12．已知函數(shù)若方程有四個不等實根.下列說法正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】確定函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)函數(shù)得到，化簡得到A正確，根據(jù)圖像知B正確，利用均值不等式得到C錯誤，計算得到D正確，得到答案.【詳解】當(dāng)時，，，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：，即，，A正確； ，B正確；，，，即，即，展開得到，解得，由于，等號不成立，故C錯誤；，故，，D正確.故選：ABD 三、填空題13．已知冪函數(shù)滿足，則 ______________【答案】【分析】先求得的解析式，然后求得.【詳解】設(shè)，則故答案為：14．函數(shù)的定義域為______________【答案】【分析】由函數(shù)式有意義可得．【詳解】由題意，解得．故答案為：．15．已知，且，則______.【答案】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式進行三角恒等變換，根據(jù)已知三角函數(shù)值和角的范圍進一步細化角的范圍，再利用同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.【詳解】，又，所以，又，所以，所以為負值，所以.故答案為：.16．已知函數(shù)集合，若集合中有3個元素，則實數(shù)的取值范圍為________．【答案】或【分析】令，記的兩根為，由題知的圖象與直線共有三個交點，從而轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題，然后可解.【詳解】令，記的零點為，因為集合中有3個元素，所以的圖象與直線共有三個交點，則，或或當(dāng)時，得，，滿足題意；當(dāng)時，得，，滿足題意；當(dāng)時，，解得.綜上，t的取值范圍為或.故答案為：或 四、解答題17．在平面直角坐標(biāo)系中，角的始邊為軸的非負半軸，終邊經(jīng)過點，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)-1(2)2 【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，，再利用三角恒等變換，分別化簡兩個式子，將正切值代入，即可得到答案；【詳解】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，．     原式；（2）原式．18．設(shè)函數(shù)的定義域為集合的定義域為集合．(1)當(dāng)時，求；(2)若“”是“”的必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出集合A，B，根據(jù)集合的補集、交集運算求解即可；（2）由必要條件轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系，建立不等式求解即可.【詳解】（1）由，解得或，所以．．當(dāng)時，由，即，解得，所以．所以．（2）由（1）知，．由，即，解得，所以．因為“”是“”的必要條件，所以．所以，解得．所以實數(shù)的取值范圍是．19．設(shè)，為實數(shù)，已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，且其圖象經(jīng)過點．(1)求的解析式；(2)用定義證明為上的增函數(shù)，并求在上的值域．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)為奇函數(shù)，可得，可得，又過點，代入，可求得a，b的值，經(jīng)檢驗符合題意，即可得答案.（2）利用定義法取值、作差、變形、定號，得結(jié)論，即可證明的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性，代入數(shù)據(jù)，即可得值域.【詳解】（1）因為為上的奇函數(shù)，所以，即． 又因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，即． 解得，故， 當(dāng)時，，即為奇函數(shù)，故符合條件．（2）任取，且，則．因為，所以，又因為，所以．即，故為上的增函數(shù)．  因為在上也遞增，所以當(dāng)時，，即，所以在上的值域為20．已知.(1)求函數(shù)的定義域；(2)求證：為偶函數(shù)；(3)指出方程的實數(shù)根個數(shù)，并說明理由.【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)兩個，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于，列出不等式組求出的取值范圍即可；（2）根據(jù)奇偶性的定義即可證明函數(shù)是定義域上的偶函數(shù)．（3）將方程變形為，即，設(shè)（），再根據(jù)零點存在性定理即可判斷.【詳解】解：（1） ，解得，即函數(shù)的定義域為；（2）證明：∵對定義域中的任意，都有∴函數(shù)為偶函數(shù)；（3）方程有兩個實數(shù)根，理由如下：易知方程的根在內(nèi)，方程可同解變形為，即設(shè)（）.當(dāng)時，為增函數(shù)，且，則在內(nèi)，函數(shù)有唯一零點，方程有唯一實根，又因為偶函數(shù)，在內(nèi)，函數(shù)也有唯一零點，方程有唯一實根，所以原方程有兩個實數(shù)根.【點睛】本題考查函數(shù)的定義域和奇偶性的應(yīng)用問題，函數(shù)的零點，函數(shù)方程思想，屬于基礎(chǔ)題．21．某工廠產(chǎn)生的廢氣，過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：）與時間（單位：）間的關(guān)系為，其中，是正的常數(shù).如果在前消除了10%的污染物，請解決下列問題：(1)后還剩百分之幾的污染物？(2)污染物減少50%需要花多少時間（精確到）？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)10h后還剩下81%的污染物(2)33h 【分析】（1）根據(jù)時得到時，然后將代入中得到，解得，即可得到，然后將代入求即可；（2）令，然后列方程求即可.【詳解】（1）由可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，，于是有，解得，那么.所以，當(dāng)時，，即10h后還剩下81%的污染物.（2）當(dāng)時，有，解得，即污染減少50%大約需要花33h.22．定義：若對定義域內(nèi)任意x，都有（a為正常數(shù)），則稱函數(shù)為“a距”增函數(shù)．（1）若，(0，)，試判斷是否為“1距”增函數(shù)，并說明理由；（2）若，R是“a距”增函數(shù)，求a的取值范圍；（3）若，(﹣1，)，其中kR，且為“2距”增函數(shù)，求的最小值．【答案】（1）見解析； （2）； （3）.【分析】（1）利用“1距”增函數(shù)的定義證明即可；（2）由“a距”增函數(shù)的定義得到在上恒成立，求出a的取值范圍即可；（3）由為“2距”增函數(shù)可得到在恒成立，從而得到恒成立，分類討論可得到的取值范圍，再由，可討論出的最小值．【詳解】（1）任意,,因為,, 所以，所以，即是“1距”增函數(shù)．（2）.因為是“距”增函數(shù)，所以恒成立，因為,所以在上恒成立，所以，解得，因為,所以.（3）因為，，且為“2距”增函數(shù)，所以時，恒成立，即時，恒成立，所以，當(dāng)時，，即恒成立，所以, 得;當(dāng)時，，得恒成立，所以,得,綜上所述，得.又，因為,所以，當(dāng)時，若，取最小值為；當(dāng)時，若，取最小值.因為在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)，的最小值為；當(dāng)時的最小值為，即 .【點睛】本題考查了函數(shù)的綜合知識，考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查了恒成立問題，考查了分類討論思想的運用，屬于中檔題． 

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