2022-2023學年江蘇省蘇州實驗中學高二下學期3月月考數(shù)學試題 一、單選題1．可表示為（ 　 ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據排列數(shù)的定義可得出答案．【詳解】                               ，故選B.【點睛】本題考查排列數(shù)的定義，熟悉排列數(shù)公式是解本題的關鍵，考查理解能力，屬于基礎題．2．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據已知條件，結合導數(shù)的求導法則，即可求解．【詳解】，則．故選：D3．函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的定義域，利用導數(shù)可求得函數(shù)的單調遞減區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域為，則，由，可得，解得，因此，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為.故選：A.4．在的展開式中，含的項的系數(shù)是（    ）A．74 B．121 C． D．【答案】D【分析】根據，利用通項公式得到含的項為：，進而得到其系數(shù)，【詳解】因為在，所以含的項為：，所以含的項的系數(shù)是的系數(shù)是，，故選：D【點睛】本題主要考查二項展開式及通項公式和項的系數(shù)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題，5．為落實立德樹人的根本任務，踐行五育并舉，某學校開設A，B，C三門德育校本課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學參加校本課程的學習，每位同學僅報一門，每門至少有一位同學參加，則不同的報名方法有（    ）A．54種 B．240種 C．150種 D．60種【答案】C【分析】根據已知對五位同學分3組，有兩種情況，然后分類討論各自情況種數(shù)，采用加法原理即可求解.【詳解】根據題意，甲、乙、丙、丁、戊五位同學選A，B，C三門德育校本課程，每位同學僅報一門，每門至少有一位同學參加，需要分三組，有兩類情況，①三組人數(shù)為1、1、3，此時有種；②三組人數(shù)為2、2、1，此時有種.所以共有60+90=150種.故選：C6．若的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為512，且第6項的系數(shù)最大，則a的取值范圍為（   ）A． B．C． D．【答案】C【分析】計算，計算，，，根據系數(shù)的大小關系得到，解得答案.【詳解】，，，，，第6項的系數(shù)最大，，則.故選：.【點睛】本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力和應用能力.7．已知函數(shù)在上不單調，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出導函數(shù)，由在上有解且不是等根可得．【詳解】由題意，有兩個不等實根，且在上有解．，，，∴，即．故選：A．【點睛】本題考查導數(shù)與單調性．對于可導函數(shù)，一般由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間．因此函數(shù)在某一區(qū)間不單調，則在此區(qū)間內方程有解，且在解的兩側的符號相反．8．已知函數(shù)與的圖象如圖所示，則（    ）A．在區(qū)間上是減函數(shù) B．在區(qū)間上是減函數(shù)C．在區(qū)間上是減函數(shù) D．在區(qū)間上是減函數(shù)【答案】C【分析】結合函數(shù)圖象求出成立的的范圍即可.【詳解】結合圖象：時，，而，而，故在遞減，故選：C.【點睛】本題考查了數(shù)形結合思想，考查函數(shù)的單調性問題，是一道基礎題. 二、多選題9．為了評估某治療新冠肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量．已知該藥物在人體血管中藥物濃度隨時間的變化而變化，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時間變化的關系如圖所示．則下列結論正確的是（    ）  A．在時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同B．在時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率相同C．在這個時間段內，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同D．在和兩個時間段內，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同【答案】AC【分析】利用圖象可判斷A選項；利用導數(shù)的幾何意義可判斷B選項；利用平均變化率的概念可判斷C選項；利用平均變化率的概念可判斷D選項.【詳解】選項A，在時刻，兩圖象相交，說明甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，即選項A正確；選項B，在時刻，兩圖象的切線斜率不相等，即兩人的不相等，說明甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率不相同，即選項B錯誤；選項C，由平均變化率公式知，甲、乙兩人在內，血管中藥物濃度的平均變化率均為，即選項C正確；選項D，在和兩個時間段內，甲血管中藥物濃度的平均變化率分別為和，顯然不相同，即選項D不正確．故選：AC.10．對于二項式，以下判斷正確的有（    ）A．存在，展開式中有常數(shù)項B．對任意，展開式中沒有常數(shù)項C．對任意，展開式中沒有x的一次項D．存在，展開式中有x的一次項【答案】AD【分析】利用展開式的通項公式依次對選項進行分析，得到答案．【詳解】設二項式展開式的通項公式為，則，不妨令，則時，展開式中有常數(shù)項，故答案A正確，答案B錯誤；令，則時，展開式中有的一次項，故C答案錯誤，D答案正確．故選：AD11．以下關于排列數(shù)與組合數(shù)的命題中，真命題有（    ） A．若且，則B．若且，則C．對任意且恒有D．對任意恒有【答案】BCD【分析】根據排列數(shù)和組合數(shù)公式判斷各選項的對錯.【詳解】取，則，，，A錯，若且，則，所以，B對，對任意且，，所以，C對，對任意所以，D對，故選：BCD.12．已知函數(shù)（，且），則（    ）A．當時，恒成立B．若有且僅有一個零點，則C．當時，有兩個零點D．存在，使得有三個極值點【答案】AC【分析】對于A，將不等式變形，構造函數(shù)根據函數(shù)的單調性以及最值得出結論；對于B、C，都是在A的構造函數(shù)的基礎之上，由其圖象的性質得到的相關結論；對于D，構造函數(shù)，判斷新函數(shù)的性質進一步推斷原函數(shù)的性質.【詳解】對于A，即，兩邊取對數(shù)，， 令，，單調遞增；單調遞減；的最大值為，，A正確；對于B，若有且僅有一個零點，則，兩邊取對數(shù)，有：，由A選項知，即時此時也有一個零點，B錯誤.對于C，，，兩邊取對數(shù)，有：，由A選項知：，，C正確；對于D，，令得：，兩邊取對數(shù)可得：，設 則，令得：，在上單調遞減，在上單調遞增；最多有兩個零點，最多有兩個極值點，D錯誤.故選：AC.【點睛】本題考查函數(shù)零點、方程的根與圖象交點的等價，考查函數(shù)的單調性、極值與最值的應用，本題的難點在于對式子的變形以及構造函數(shù)，對學生分析問題和解決問題的能力要求較高，屬于難題. 三、填空題13．化簡     .【答案】/【分析】由已知結合組合數(shù)的計算公式進行化簡即可求解．【詳解】．故答案為：．14．若直線是曲線的一條切線，則實數(shù)的值為      .【答案】1【分析】設出切點坐標，利用導數(shù)的幾何意義列出方程組，求解可得的值．【詳解】設切點為，由，得，可得切線的斜率為，①又，②聯(lián)立①②解得，．故答案為：1．15．展開式中的系數(shù)為       （用數(shù)字作答）．【答案】【分析】根據多項式乘積的性質即可求解．【詳解】由于表示5個因式的乘積，故其中有2個因式取，2個因式取，剩余的一個因式取，可得含的項，故展開式中的系數(shù)為，故答案為：．16．兩張相同的方格表，有一方格重合（如圖），沿格線連接兩點；則不同的最短連接線有         條.【答案】2450【分析】把方格表重合的地方標上點，從到的路線必定過中的一點，路線被分為兩類：，，每類路線都他兩步，利用組合知識求得每步的方法數(shù)后由兩個原理可得結論．【詳解】把方格表重合的地方標上點，如圖，從到的路線必定過中的一點，從到有種，到到有種，因此從經過到有種路線，從到有種，到到有種，因此從經過到有種路線，所有路線條數(shù)為．故答案為：2450． 四、解答題17．已知的展開式中各項的系數(shù)之和為1024.（1）求各奇數(shù)項系數(shù)之和；（2）求的展開式中不含的各項系數(shù)之和．【答案】（1）528；（2）2862【分析】（1）令x=1，y=1可得展開式中各項的系數(shù)，由此解得n，再通過賦值得到所求．（2）直接令x=1，y=0代入可得展開式中不含的各項系數(shù)之和．【詳解】（1）的展開式中各項的系數(shù)之和為1024．令x=1，y=1∴4n＝1024，解得n＝5．設,令x=1，y=1則1024=，①令x=1，y=-1則32=，②①+②：1056=2（,∴,∴各奇數(shù)項系數(shù)之和為528．（2）展開式的通項公式為：Tr+1（3x）5﹣r35﹣rx5﹣r，則的展開式中不含的各項系數(shù)之和為=2862【點睛】本題考查了二項式定理的通項公式及其性質，考查了賦值法的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．18．已知一個袋內有4只不同的紅球，6只不同的白球．(1)若取一只紅球記2分，取一只白球記1分，從中任取5只球，使總分不小于7分的取法有多少種？(2)在（1）條件下，當總分為8時，將抽出的球排成一排，僅有兩個紅球相鄰的排法種數(shù)是多少？【答案】(1)186(2)4320 【分析】（1）設出取到白球和紅球的個數(shù)，根據兩個未知數(shù)的和是5，列出方程，根據分數(shù)不少于7，列出不等式，根據這是兩個整數(shù)，列舉出結果．（2）總分為8分，則抽取的個數(shù)為紅球3個，白球2個，將抽出的球排成一排，僅有兩個紅球相鄰，分兩步，第一步先取球，第二步，再排，根據分步計數(shù)原理可得．【詳解】（1）設x個紅球y個白球，，因為，所以或或．∴符合題意的取法種數(shù)有種．（2）總分為8分，則抽取的個數(shù)為紅球3個，白球2個，將抽出的球排成一排，僅有兩個紅球相鄰，第一步先取球，共有種，第二步，再排，先把兩個白球全排列，再選2個紅球捆綁在一起，和另外一個紅球插空，共有，根據分步計數(shù)原理可得，種．19．已知函數(shù)．(1)若在上單調遞增，求的取值范圍；(2)若有兩個不同的零點，求的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題意，對函數(shù)進行求導，將在上單調遞增，轉化成在上恒成立，構造函數(shù)，對進行求導，利用導數(shù)得到的單調性和最值，進而可得的取值范圍；（2）對函數(shù)進行求導，分別討論當和這兩種情況，結合導數(shù)的幾何意義可得，構造函數(shù)，對進行求導，利用導數(shù)得到的單調性，進而可得的取值范圍.【詳解】（1）已知，函數(shù)定義域為，可得，若在上單調遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，不妨設，函數(shù)定義域，易得在定義域上單調遞增，所以，則，故的取值范圍為.（2）因為，當時，有，在上單調遞增，此時無兩個零點；當時，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，因為當時，；當時，，所以要使函數(shù)有兩個不同的零點，此時需，即，不妨設，函數(shù)定義域為，可得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，且當時，，又，所以當時，，綜上，的取值范圍為．20．已知，函數(shù)，．(1)當時，論的單調性；(2)過原點分別作曲線和的切線和，求證：存在使得切線和的斜率互為倒數(shù)．【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為(2)證明見解析 【分析】（1）當時，可得，再根據的正負可求得的單調區(qū)間；（2）依題意，可求得的斜率為，于是的斜率為，設的切點坐標為，由，求出直線的方程，可得出，整理可得，構造函數(shù)，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，結合零點存在定理可證得結論成立.【詳解】（1）當時，，定義域是，則，由，可得；由，可得.所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）因為，，所以，，，設過原點的切線方程是，切點為，則，則，且，則切點坐標為，因為點在直線上，則，因為，解得，所以，直線的斜率為，若存在使得切線和的斜率互為倒數(shù)，則直線的斜率為，設的切點坐標為，由，可得，因為直線過原點，且其斜率為，則直線的方程為，因為點在直線上，則，即，即，即，整理可得，設，其中，則，當時，，單調遞增，而，所以，，當時，，單調遞減，又因為，所以，存在，使得，所以，關于的方程有正數(shù)解．所以存在，使得切線和的斜率互為倒數(shù)．【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導，根據導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調區(qū)間與極值，根據函數(shù)的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉化與化歸思想、數(shù)形結合思想和分類討論思想的應用；（2）構造新函數(shù)法：將問題轉化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.21．已知數(shù)列的通項公式為，等式，其中為實常數(shù)．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)1023(2)6143 【分析】（1）根據已知條件，結合賦值法，即可求解；（2）先對原等式兩邊求導，再結合賦值法，即可求解．【詳解】（1），令，則，令，則①，令，則②，①+②可得，，故；（2），兩邊同時求導可得，，令，則③，令，則④，③④可得，，故，．22．已知函數(shù)（為常數(shù)）．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，設函數(shù)的兩個極值點，恰滿足關系式，求的最小值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題意，將代入函數(shù)的解析式中，對函數(shù)進行求導，得到和，代入切線方程中即可求解；（2）得到函數(shù)的解析式，對進行求導，利用根的判別式以及韋達定理對進行化簡，利用換元法，令，，可得，根據，求出的范圍，構造函數(shù)，對進行求導，利用導數(shù)得到的單調性和最值，進而即可求解．【詳解】（1）已知(為常數(shù)），函數(shù)定義域為，當時，函數(shù)，可得，此時，又，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）因為，函數(shù)定義域為，可得，此時的兩根，即為方程的兩根，因為，所以，由韋達定理得，，又，所以，令，，所以，因為，整理得，因為，則，等式兩邊同時除以，得，可得，因為，所以，，解得 或，則，不妨設，函數(shù)定義域為，可得，所以函數(shù)在定義域上單調遞減，此時，故的最小值為．【點睛】利用導數(shù)求解在曲線上某點處的切線方程，關鍵點有兩點，第一是切線的斜率，第二是切點坐標，切線的斜率可利用導數(shù)來求得，切點既在切線上，也在曲線上.利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，首先要求得函數(shù)的定義域，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，進而可求得函數(shù)的最值. 

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