2024屆北京市第五十七中學(xué)高三暑期檢測(cè)（開學(xué)考試）數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B．? C．? D．【答案】B【分析】由題知，再判斷集合關(guān)系即可.【詳解】解：不等式等價(jià)于，解得所以，因?yàn)?/span>所以，?，.故選：B2．在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角函數(shù)誘導(dǎo)公式并結(jié)合正弦函數(shù)的定義即可得解.【詳解】依題意得,又因?yàn)?/span>，所以有.故選：.3．下列函數(shù)中，與函數(shù)的奇偶性相同，且在上有相同單調(diào)性的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判斷為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，再根據(jù)奇偶性的定義與單調(diào)性的定義，結(jié)合初等函數(shù)的性質(zhì)依次判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】解：對(duì)于函數(shù)，為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以對(duì)于A選項(xiàng)，為奇函數(shù)，不滿足；對(duì)于B選項(xiàng)，不具有奇偶性，不滿足；對(duì)于C選項(xiàng)，是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，不滿足；對(duì)于D選項(xiàng)，是偶函數(shù)，且對(duì)于時(shí)，由于，所以，所以，所以，即.即函數(shù)在上單調(diào)遞增，滿足.故選：D4．函數(shù)是（    ）A．奇函數(shù)，且最小值為 B．奇函數(shù)，且最大值為C．偶函數(shù)，且最小值為 D．偶函數(shù)，且最大值為【答案】C【分析】根據(jù)題意可知定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再利用同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)可得，由三角函數(shù)值域即可得，即可得出結(jié)果.【詳解】由題可知，的定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，而，即函數(shù)為偶函數(shù)；所以，又，即，可得函數(shù)最小值為0，無(wú)最大值.故選：C5．在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度和燃料的質(zhì)量以及火箭（除燃料外）的質(zhì)量間的關(guān)系為．若火箭的最大速度為，則下列各數(shù)中與最接近的是（    ）（參考數(shù)據(jù)：）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)所給關(guān)系式，求出，近似計(jì)算得解.【詳解】由題意，火箭的最大速度為時(shí)，可得，即，因?yàn)?/span>，所以近似計(jì)算可得，故選：B6．如果函數(shù)在定義域內(nèi)存在區(qū)間，使在上的值域是，那么稱為“倍增函數(shù)”，若函數(shù)為“倍增函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先判斷出的單調(diào)性，然后根據(jù)倍增函數(shù)的定義列式求得的取值范圍.【詳解】由于在定義域上是增函數(shù)，根據(jù)“倍增函數(shù)”的定義可知，且.則，所以.構(gòu)造函數(shù)，即有兩個(gè)解.，令，解得所以在區(qū)間上遞減，在上遞增，極小值也即是最小值為.注意到當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查新定義函數(shù)性質(zhì)的理解和運(yùn)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，屬于中檔題.7．騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng)，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓（前輪），圓（后輪）的半徑均為，，，均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形．設(shè)點(diǎn)為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車的過程中，的最大值為（    ）  A．18 B．24 C．36 D．48【答案】C【詳解】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，然后將涉及到的點(diǎn)的坐標(biāo)求出來(lái)，其中點(diǎn)坐標(biāo)借助于三角函數(shù)表示，則所求的結(jié)果即可轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題求解．【解答】據(jù)題意：圓（后輪）的半徑均為，，，均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形．點(diǎn)為后輪上的一點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系：  則，，．圓的方程為，可設(shè)，所以，．故．故選：C．8．已知函數(shù)，若存在使得恒成立，則的取值范圍（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題得，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到，所以，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，從而得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由，可得，設(shè)函數(shù)，則在R上恒成立，所以單調(diào)遞增，所以，則，，令，，則，當(dāng)時(shí)，，令得：，令得：，所以，又，，其中，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.9．?dāng)?shù)列中，，定義：使為整數(shù)的數(shù)叫做期盼數(shù)，則區(qū)間內(nèi)的所有期盼數(shù)的和等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用換底公式與累乘法把化為，然后根據(jù)為整數(shù)，可得，最后由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求解．【詳解】解：，，，又為整數(shù)，必須是2的次冪，即．內(nèi)所有的“幸運(yùn)數(shù)”的和：，故選：D．10．已知成等比數(shù)列，且．若，則A． B． C． D．【答案】B【分析】先證不等式，再確定公比的取值范圍，進(jìn)而作出判斷.【詳解】令則，令得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此， 若公比，則，不合題意；若公比，則但，即，不合題意；因此，，選B.【點(diǎn)睛】構(gòu)造函數(shù)對(duì)不等式進(jìn)行放縮，進(jìn)而限制參數(shù)取值范圍，是一個(gè)有效方法.如 二、填空題11．若復(fù)數(shù)，，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為      ．【答案】/【分析】先計(jì)算得，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)虛部的概念求解即可.【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)，，所以，，所以的共軛復(fù)數(shù)為所以的共軛復(fù)數(shù)的虛部為故答案為：12．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是       .【答案】 【詳解】試題分析：時(shí)，是減函數(shù)，又，∴由得在上恒成立，．【解析】1.三角函數(shù)的單調(diào)性；2.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用． 13．若函數(shù)的定義域和值域的交集為空集，則正數(shù)的取值范圍是      ．【答案】【分析】由題知，進(jìn)而討論得當(dāng)，時(shí)，的值域?yàn)?/span>，再分和兩種情況討論求解即可.【詳解】解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，要使函數(shù)的定義域和值域的交集為空集，則，當(dāng)，時(shí)，值域中有元素，此時(shí)不滿足題意，所以，當(dāng)，時(shí)，的值域?yàn)?/span>，下面分兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?/span>，要使條件滿足，則，解得： 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?/span>，要使條件滿足，則，解得，綜上，正數(shù)的取值范圍是故答案為： 三、雙空題14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.是等差數(shù)列，且，，則的通項(xiàng)公式為        ；設(shè)，求=        .【答案】          【分析】根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系求通項(xiàng)公式，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算求解的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列求和公式求和即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以因此數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則，所以，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以；所以，所以.故答案為：， 四、填空題15．已知函數(shù)，給出下列命題：（1）無(wú)論取何值，恒有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）存在實(shí)數(shù)，使得的值域是；（3）存在實(shí)數(shù)使得的圖像上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有兩對(duì)；（4）當(dāng)時(shí)，若的圖象與直線有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.其中，所有正確命題的序號(hào)是           .【答案】（3）（4）【分析】本題考查函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：（1）利用零點(diǎn)即對(duì)應(yīng)方程的根進(jìn)行分析處理；（2）結(jié)合圖像分析值域；（3）考查對(duì)稱點(diǎn)問題，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)問題進(jìn)行處理；（4）利用數(shù)形結(jié)合分析處理相關(guān)問題，把直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)確定臨界位置．【詳解】（1）顯然則, 若恒有兩個(gè)零點(diǎn)，則有且只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，不符合題意，∴（1）不成立；（2）顯然，若的值域是，則的值域包含，則,但時(shí)，的對(duì)稱軸，即在內(nèi)遞增，，∴（2）不成立；（3）的圖像上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有兩對(duì)，則可得：有兩解，當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸，開口向下， 與有兩個(gè)交點(diǎn)，∴（3）成立；（4）如圖，直線過定點(diǎn),數(shù)學(xué)結(jié)合可知：,又∵,則,綜上所訴：，∴（4）成立．故答案為：（3）（4）． 五、解答題16．已知函數(shù)（，）．再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇能確定函數(shù)解析式的兩個(gè)合理?xiàng)l件作為已知，條件①：的最大值為1；條件②：的一條對(duì)稱軸是直線；條件③：的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為．求：(1)函數(shù)的解析式；(2)若將函數(shù)圖像上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，再向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，若在區(qū)間上的最小值為，求的最大值．【答案】(1)選擇條件①③得；(2) 【分析】（1）由題知，進(jìn)而結(jié)合已知條件選擇①③能確定函數(shù)解析式，再求解即可；（2）結(jié)合函數(shù)平移變換得，進(jìn)而根據(jù)題意得，再解不等式即可得答案.【詳解】（1）解：，當(dāng)選條件②，的一條對(duì)稱軸是直線時(shí)，，即，顯然不成立，條件①③能確定函數(shù)解析式，因?yàn)?/span>的最大值為1，的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為所以，，解得，，所以，（2）解：根據(jù)題意得，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>在區(qū)間上的最小值為所以，，解得.所以，的最大值為.17．中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，面積是面積的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）1【詳解】試題分析：（1）借助題設(shè)條件運(yùn)用三角形的面積公式求解；（2）借助題設(shè)余弦定理立方程組求解.試題解析：（1），，∵，，∴．由正弦定理可知.（2）∵，，∴．設(shè)，則，在△與△中，由余弦定理可知，，，∵，∴，∴，解得，即．【解析】三角形的面積公式正弦定理余弦定理等有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用． 18．已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線在點(diǎn)處的切線與y軸的交點(diǎn)為，求的最小值.【答案】（1）增區(qū)間為和，減區(qū)間； （2）.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）及根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線方程，得到，進(jìn)而得到，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性和最小值，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，令，即，解得或；令，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間.（2）由（1）知，可得，即，又由，可得切線方程為，即，令，可得，即，則，令，可得，令，即，解得；令，即，解得，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為.【點(diǎn)睛】解決函數(shù)極值、最值綜合問題的策略：1、求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大小；2、求函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過比較才能下結(jié)論；3、函數(shù)在給定閉區(qū)間上存在極值，一般要將極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比較才能確定最值.19．已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別為，，直線的方程為．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)是橢圓上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)．過作垂直于軸的直線交直線于點(diǎn)，再過作垂直于軸的直線交直線于點(diǎn)．求的大小．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）首先由直線的方程求出、的坐標(biāo)，即可求出、的值，從而求出，即可得到橢圓方程與離心率；（2）設(shè)，，則，求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線的方程，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出，即可求出的傾斜角，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)橹本€的方程為，所以，，即，，所以，所以橢圓方程為，離心率（2）依題意，設(shè)，，則，且點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，可得，直線的方程為，由，可得，所以，直線的方程為，令，得，即，所以，即直線的傾斜角是，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是設(shè)而不求，求出直線的斜率，即可求出.20．已知函數(shù)（）．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求證：函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，且；(3)當(dāng)時(shí)，記函數(shù)的零點(diǎn)為，若對(duì)任意且，都有，求實(shí)數(shù)的最大值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3) 【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，求導(dǎo)，在分類討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，的極小值為，極大值為，再結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理即可得證；（3）因?yàn)?/span>，所以任意且，由（2）可知，且，由此能推導(dǎo)出使得恒成立的的最大值．【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，令，則或，當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，當(dāng)，即時(shí)，或時(shí)，，，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)，即時(shí)，或時(shí)，，，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）證明：當(dāng)時(shí)，由（1）知，的極小值為，極大值為，因?yàn)?/span>，，且在上是減函數(shù)，所以至多有一個(gè)零點(diǎn)．又因?yàn)?/span>， 所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，且；（3）解：因?yàn)?/span>，所以任意且，由（2）可知且，因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以的最小值為，所以使得恒成立的的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查不等式的證明，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的最大值的求法，考查推理論證能力，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于難題．21．已知為有窮數(shù)列．若對(duì)任意的,都有（規(guī)定）,則稱具有性質(zhì)．設(shè)．(1)判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)？若具有性質(zhì),寫出對(duì)應(yīng)的集合;(2)若具有性質(zhì),證明:;(3)給定正整數(shù),對(duì)所有具有性質(zhì)的數(shù)列,求中元素個(gè)數(shù)的最小值．【答案】(1)不具有性質(zhì),具有性質(zhì),(2)證明見解析(3) 【分析】(1)根據(jù)性質(zhì)的定義,觀察到,可得不具有性質(zhì),根據(jù),可以發(fā)現(xiàn)中相鄰兩項(xiàng)及首尾兩項(xiàng)的差的絕對(duì)值均小于等于1,故具有性質(zhì),根據(jù)定義代入求值,即可得出;(2) “”等價(jià)于“證明兩個(gè)元素至少有一個(gè)在中”,利用反證法假設(shè)兩個(gè)元素都不在中,通過范圍推出矛盾即可.(3) 設(shè)中元素個(gè)數(shù)最小值為,根據(jù)新定義可得,以此類推可得,由(2)中的結(jié)論可得,即可得,再進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】（1）解:由題知,即因?yàn)?/span>,所以不具有性質(zhì),由于,即因?yàn)?/span>故具有性質(zhì),因?yàn)?/span>故;（2）“”等價(jià)于“證明兩個(gè)元素至少有一個(gè)在中”,假設(shè)兩個(gè)元素均不在中,則有不妨設(shè),若,則由,可得,與矛盾,故,同理,從而,所以,與具有性質(zhì)矛盾,所以假設(shè)不成立,即;（3）設(shè)規(guī)定時(shí),,時(shí),,則,所以,考慮數(shù)列,,由題設(shè)可知,他們均具有性質(zhì),設(shè)中元素個(gè)數(shù)最小值為,所以,所以,由(2)知,從而,當(dāng)時(shí),令,當(dāng)時(shí),令,此時(shí)均有,所以中元素個(gè)數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:此題考查數(shù)列與集合結(jié)合的新定義問題,屬于難題,關(guān)于新定義題的思路有:(1)找出新定義有幾個(gè)要素,找出要素分別代表什么意思;(2)由已知條件,看所求的是什么問題,進(jìn)行分析,轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言;(3)將已知條件代入新定義的要素中;(4)結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答. 

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