2024屆廣東省深圳市深圳中學(xué)高三上學(xué)期8月開學(xué)摸底數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由并集和補集的概念即可得出結(jié)果.【詳解】∵∴，則，故選：C.2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算化簡復(fù)數(shù)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義可得結(jié)果.【詳解】因為，則，所以，.故選：B.3．已知曲線在點處的切線方程為，則（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出，再將切點代入切線方程，即可求出；【詳解】解：，，∴，∴．將代入得，∴．故選：C．4．函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（    ）A．   B．   C．   D．    【答案】C【分析】根據(jù)奇偶性排除D，再取特值排除AB.【詳解】因為，關(guān)于原點對稱，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故D錯誤；因為，所以，所以，故A錯誤；因為，所以，所以，故B錯誤；故選：C.5．某學(xué)校為了豐富同學(xué)們的寒假生活，寒假期間給同學(xué)們安排了6場線上講座，其中講座只能安排在第一或最后一場，講座和必須相鄰，問不同的安排方法共有（    ）A．34種 B．56種 C．96種 D．144種【答案】C【分析】先求出講座只能安排在第一或最后一場的方法總數(shù)，再求出講座和必須相鄰方法總數(shù)，最后由分步乘法計算原理即可得出答案.【詳解】由題意知講座只能安排在第一或最后一場，有種結(jié)果，講座和必須相鄰，共有種結(jié)果，根據(jù)分步計數(shù)原理知共有種結(jié)果.故選:C．6．現(xiàn)隨機安排甲、乙等4位同學(xué)參加校運會跳高、跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽，要求每位同學(xué)參加一項比賽，每項比賽至少一位同學(xué)參加，事件“甲參加跳高比賽”，事件“乙參加跳高比賽”，事件“乙參加跳遠(yuǎn)比賽”，則（    ）A．事件A與B相互獨立 B．事件A與C為互斥事件C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件求出，由互斥事件的定義、相互獨立事件的判定和條件概率公式進(jìn)行逐一判斷即可【詳解】對于A，每項比賽至少一位同學(xué)參加，則有不同的安排方法，事件“甲參加跳高比賽”，若跳高比賽安排2人，則有種方法；若跳高比賽安排1人，則有種方法，所以安排甲參加跳高比賽的不同安排方法共有種，則，同理，若安排甲、乙同時參加跳高比賽，則跳高比賽安排2人為甲和乙，跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽各安排1人，有種不同的安排方法，所以，因為，事件A與B不相互獨立故A錯誤；對于B，在一次試驗中，不可能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件，事件A與C可以同時發(fā)生，故事件A與C不是互斥事件，故B錯誤；對于C，在安排甲參加跳高比賽的同時安排乙參加跳遠(yuǎn)比賽的不同安排方法有種，所以，所以，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：C7．是雙曲線的左、右焦點，直線l為雙曲線C的一條漸近線，關(guān)于直線l的對稱點為，且點在以F2為圓心、以半虛軸長b為半徑的圓上，則雙曲線C的離心率為A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)左焦點與漸近線方程，求得關(guān)于直線l的對稱點為，寫出以F2為圓心、以半虛軸長b為半徑的圓的方程，再將代入圓的方程，化簡即可得離心率．【詳解】因為直線l為雙曲線C的一條漸近線，則直線 因為是雙曲線的左、右焦點所以（-c，0），（c，0）因為關(guān)于直線l的對稱點為，設(shè)為（x，y）則 解得所以為（）因為是以為圓心，以半虛軸長b為半徑的圓，則圓的方程為 將以的（）代入圓的方程得化簡整理得 ，所以 所以選B【點睛】本題考查了雙曲線漸近線方程、離心率的應(yīng)用，點關(guān)于直線對稱點的求法，對于幾何關(guān)系的理解非常關(guān)鍵，屬于難題．8．符號表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，如，.已知數(shù)列滿足，，.若，為數(shù)列的前項和，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由變形可推出數(shù)列為等比數(shù)列、為常數(shù)列，求出這兩個數(shù)列的通項公式，可求出數(shù)列的通項公式，求得，利用裂項相消法可求出，結(jié)合題中定義可求得的值.【詳解】因為，則，且，所以，數(shù)列是首項為，公比也為的等比數(shù)列，所以，，①由可得，且，所以，數(shù)列為常數(shù)列，且，②由①②可得，因為，，則，所以，，所以，，所以，，所以，，因此，.故選：B. 二、多選題9．已知，，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)三角函數(shù)值的正負(fù)判斷角的范圍，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，二倍角公式計算即可.【詳解】解：已知，則，解得，C選項正確；因為，，所以，，而，則，所以，A選項正確；由于，則，聯(lián)立，解得，，則，B選項正確；，D選項錯誤；故選：ABC.10．若、、，則下列命題正確的是（    ）A．若且，則B．若，則C．若且，則D．【答案】BD【分析】利用特殊值法可判斷A選項；利用作差法可判斷BCD選項.【詳解】對于A選項，若且，取，，則，A錯；對于B選項，若，則，B對；對于C選項，若且，則，則，故，C錯；對于D選項，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，D對.故選：BD.11．如圖，在正方體中，，，，均是所在棱的中點，則下列說法正確的是（    ）  A． B．平面C．平面平面 D．【答案】ABC【分析】根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，分別求出直線的方向向量和平面和平面的法向量，利用空間直線的方向向量與平面的法向量的關(guān)系即可求解.【詳解】依題意，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示  不妨設(shè)正方體的棱長為，則所以，所以，即，亦即，故A正確；所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，所以，所以，即，又平面，所以平面，故B正確；所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，所以，所以，即，所以平面平面，故C正確；所以,所以和不平行，故D錯誤.故選：ABC.12．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，且，則（    ）A．在上單調(diào)遞增 B．在上有極小值C．的最小值為 D．的最小值為【答案】AB【分析】由已知等式變形可得出，設(shè)（為常數(shù)），根據(jù)題中條件求出的值，可求出的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷A選項；利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷B選項；利用函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷CD選項.【詳解】因為函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，則，即，令（為常數(shù)），所以，，因為，可得，所以，，對于A選項，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，A對；對于B選項，由可得，且，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在上有極小值，B對；對于C選項，令，其中，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，C錯；對于D選項，，令，可得，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，D錯.故選：AB. 三、填空題13．的展開式中，項的系數(shù)為          ．【答案】252【分析】寫出二項式通項公式，求出項的對應(yīng)，進(jìn)而確定求系數(shù).【詳解】由二項式展開式通項為，令，則，則，故項的系數(shù)為.故答案為：14．如果平面向量，，則向量在上的投影向量為      .【答案】【分析】由已知可求得，，進(jìn)而得出，然后根據(jù)即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，所以，，所以，向量在上的投影向量為.故答案為：.15．已知正數(shù)a，b滿足，則函數(shù)的定義域為           .【答案】【分析】根據(jù)指對數(shù)的運算可求得的值，然后列出不等式求解即可得到函數(shù)的定義域.【詳解】由可得，即，所以，代入即，解得或（舍），則所以解得所以函數(shù)定義域為故答案為: 16．如圖，直三棱柱中，⊥，，，點P在棱上，且，當(dāng)的面積取最小值時，三棱錐的外接球的表面積為      ．【答案】【分析】先設(shè)出BP=x，，利用求出，結(jié)合基本不等式求出時，面積取得最小值，補形后三棱錐的外接球即該長方體的外接球，求出外接球半徑和表面積.【詳解】由勾股定理得：，設(shè)BP=x，，則，，，由得：，解得：，因為，故由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，將三棱錐補形為長方體，則三棱錐的外接球即該長方體的外接球，其中長方體的外接球的直徑為，故半徑為，故三棱錐的外接球的表面積為.故答案為： 四、解答題17．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，且.(1)求的值；(2)求的面積；【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及兩角和的余弦公式求得正確答案.（2）先求得，然后利用三角形的面積公式求得正確答案.【詳解】（1）..由正弦定理可得.（2），所以的面積.18．已知數(shù)列各項都不為，前項和為，且，數(shù)列滿足，． (1)求數(shù)列和的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和為【答案】(1);;(2) 【分析】(1)利用即可求，再根據(jù)累加法，即可求解.(2)利用錯位相減法即可求解.【詳解】（1）由，可得，兩式相減得，整理得，因為數(shù)列各項都不為，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列．令，則，解得，故．由題知，所以（2）由（1）得，所以，，兩式相減得，所以．19．書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書日．某研究機構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨機抽樣調(diào)查了位年輕人，對這些人每天的閱讀時間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這位年輕人每天閱讀時間的平均數(shù)（單位：分鐘）；（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示）(2)若年輕人每天閱讀時間近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，求；(3)為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組，，的年輕人中抽取10人，再從中任選3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到每天閱讀時間位于的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．附參考數(shù)據(jù)：若，則①；②；③．【答案】(1)(2)(3)分布列見解析；期望為 【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖以及平均數(shù)的計算方法計算即可；（2）依據(jù)，利用正態(tài)分布的對稱性計算即可；（3）先由題意得到隨機變量的取值，并分別計算相應(yīng)的概率，然后列出分布列，并按期望公式計算即可.【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖得：．（2）由題意知，即，所以．（3）由題意可知，和的頻率之比為：，故抽取的10人中，和分別為：2人，4人，4人，隨機變量的取值可以為，，，，，故的分布列為：0123所以.20．如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．  (1)證明：平面；(2)若，，在線段上（不含端點），是否存在點，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在；是上靠近的三等分點 【分析】（1）過點作于點，由面面垂直性質(zhì)定理可得平面，由此證明，再證明，根據(jù)線面垂直判定定理證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面，平面的法向量，利用向量夾角公式求法向量夾角，由條件列方程確定點的位置；【詳解】（1）過點作于點，因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又平面，平面，所以，又因為，，平面，所以平面．  （2）假設(shè)在線段上（不含端點），存在點，使得二面角的余弦值為，以為原點，分別以、為軸，軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，， ，，，，設(shè)平面的一個法向量為，即取，，，所以為平面的一個法向量，因為在線段上（不含端點），所以可設(shè)，，所以，設(shè)平面的一個法向量為，即，取，，，所以為平面的一個法向量，，又，由已知可得解得或（舍去）， 所以，存在點，使得二面角的余弦值為，此時是上靠近的三等分點．  21．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，求函數(shù)在上的零點個數(shù)．【答案】(1)答案不唯一，具體見解析(2)零點個數(shù)為2 【分析】（1）求導(dǎo)得到，再對分類討論，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）求導(dǎo)得到，因無法輕易求得的解，故根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)將的取值范圍分為三段分別討論，即可求解零點個數(shù).【詳解】（1）解：∵，故，當(dāng)時，恒成立，則在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，令，解得，故時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由已知得，，則．①當(dāng)時，因為，所以在上單調(diào)遞減．所以．所以在上無零點．②當(dāng)時，因為單調(diào)遞增，且，，所以存在，使．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且．所以．設(shè)，，則．令，得．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以．所以．所以．所以．所以在上存在一個零點．所以在有2個零點．③當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增．因為，所以在上無零點．綜上所述，在上的零點個數(shù)為2．22．已知橢圓，拋物線，且、的公共弦過橢圓的右焦點.(1)當(dāng)軸時，求、的值，并判斷拋物線的焦點是否在直線上；(2)求、的值，使得拋物線的焦點在直線上.【答案】(1)，，該焦點不在直線上(2)， 【分析】（1）當(dāng)軸時，點、關(guān)于軸對稱，所以，求出直線的方程，可求得點的坐標(biāo)，將點的坐標(biāo)代入拋物線的方程，即可求出的值；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程分別與橢圓、拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得出，再結(jié)合拋物線、橢圓的焦半徑公式可求出的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】（1）解：當(dāng)軸時，點、關(guān)于軸對稱，所以，易知橢圓的右焦點坐標(biāo)為，則直線的方程為，將代入橢圓的方程可得，解得，從而點的坐標(biāo)為或.因為點在拋物線上，所以，即，則拋物線的方程為，此時的焦點坐標(biāo)為，該焦點不在直線上.（2）解：由（1）知直線的斜率存在，故可設(shè)直線的方程為.由消去得①，  因為直線過橢圓內(nèi)的點，故直線與橢圓必相交，設(shè)、，易知、，則、是方程①的兩根，則，由消去得②，因為的焦點在直線上，所以，即.代入②有，即③，由于、也是方程③的兩根，所以.從而，解得④，又直線過、的焦點，則，同理可得，所以，，所以，則.⑤由④⑤式得，即，解得.于是，.因為的焦點在直線上，所以，即.綜上可知：，.【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解. 

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