2024屆陜西省咸陽(yáng)市旬邑縣中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題含答案

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2024屆陜西省咸陽(yáng)市旬邑縣中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可知集合，再求的，再由交集的定義即可求得.【詳解】得即，因?yàn)?/span>，所以，則.故選：B.2．“”是“是冪函數(shù)”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】運(yùn)用冪函數(shù)定義及集合包含關(guān)系即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>是冪函數(shù)，所以，解得或，故“”是“是冪函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.3．已知命題：，；命題：，，則下列命題中為真命題的是：A． B． C． D．【答案】B【詳解】可知: 命題：，為假命題，由函數(shù)圖象可知命題為真命題，所以為真命題．【解析】命題的真假判斷． 4．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】∵函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，即，可得，∴函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，令，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.故選：B.5．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，結(jié)合函數(shù)的定義域，即可得出單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】由，可得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.求導(dǎo)可得，當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)定義域可知，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：A.6．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用零點(diǎn)存在性定理計(jì)算即可.【詳解】由， 在 上均遞減，所以在上遞減，又，，所以零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：C．7．已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】得，當(dāng)以及時(shí)，均為單調(diào)遞增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此為上的單調(diào)遞增函數(shù)，由得，故選：D8．已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若，，，則的大小關(guān)系為A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意：，且：，據(jù)此：，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性有：，即.本題選擇C選項(xiàng).【解析】 指數(shù)、對(duì)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性【名師點(diǎn)睛】比較大小是高考常見(jiàn)題，指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的比較大小要結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，借助指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較大小，特別是靈活利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性數(shù)形結(jié)合不僅能比較大小，還可以解不等式.9．若關(guān)于x的不等式x2－4x－2－a＞0在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ）A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)【答案】A【解析】不等式x2－4x－2－a＞0在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解等價(jià)于a＜(x2－4x－2)max，然后求函數(shù)f（x）＝x2－4x－2在x∈(1，4)時(shí)的最大值即可【詳解】解：不等式x2－4x－2－a＞0在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解等價(jià)于a＜(x2－4x－2)max，令f（x）＝x2－4x－2，x∈(1，4)，對(duì)稱軸為所以f（x）＜f（4）＝－2，所以a＜－2．故選：A【點(diǎn)睛】此題考查不等式成立的條件，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的最值求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.10．函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（    ）A．   B．   C．   D．    【答案】C【分析】根據(jù)奇偶性排除D，再取特值排除AB.【詳解】因?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，所以，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，所以，所以，故B錯(cuò)誤；故選：C.11．著名田園詩(shī)人陶淵明也是一個(gè)大思想家，他曾言：勤學(xué)如春起之苗，不見(jiàn)其增，日有所長(zhǎng)；輟學(xué)如磨刀之石，不見(jiàn)其損，日有所虧.今天，我們可以用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來(lái)對(duì)這句話重新詮釋，我們可以把“不見(jiàn)其增”量化為每天的“進(jìn)步率”都是，一年后是；而把“不見(jiàn)其損”量化為每天的“落后率”都是，一年后是.可以計(jì)算得到，一年后的“進(jìn)步”是“落后”的倍.那么，如果每天的“進(jìn)步率”和“落后率”都是20%，要使“進(jìn)步”是“落后”的倍，大約需要經(jīng)過(guò)（，）（    ）A．17天 B．19天 C．23天 D．25天【答案】C【分析】根據(jù)題意得，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】經(jīng)過(guò)x天后，“進(jìn)步”與“落后”的比，所以，兩邊取以為底的對(duì)數(shù)得，又，，所以，解得，所以大約經(jīng)過(guò)天后，“進(jìn)步”是“落后”的倍.故選：C.12．已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即直線與曲線，作出函數(shù)圖象，即轉(zhuǎn)化為在有兩個(gè)不等實(shí)根，可得答案.【詳解】設(shè)，該直線恒過(guò)點(diǎn)，方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根如圖作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象，則，所以直線與曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，所以在有兩個(gè)不等實(shí)根，令，實(shí)數(shù)滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D. 二、填空題13．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為           .【答案】【分析】根據(jù)，分和，兩種情況討論求解.【詳解】因?yàn)榧?/span>，，且，當(dāng)時(shí)，則，解得，當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：14．已知滿足，則         .【答案】【分析】用換元法，用表示，得到方程組，解出即可．【詳解】①，用表示，則②；②得：，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)的解析式的問(wèn)題，解題時(shí)的關(guān)鍵是利用換元法，列出方程組，是基礎(chǔ)題．15．若函數(shù)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是           ．【答案】【分析】根據(jù)題意可得對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，分和兩種情況，結(jié)合恒成立問(wèn)題運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，當(dāng)時(shí)，則對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得；綜上所述：，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16．已知是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，滿足．若，則           ．【答案】0【分析】根據(jù)題意結(jié)合奇函數(shù)的定義分析可得是意為周期的周期函數(shù)，且，，利用周期性運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，即，又因?yàn)?/span>是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，則，可得，所以是以4為周期的周期函數(shù)，且，，，可得，因?yàn)?/span>，所以.故答案為：0. 三、解答題17．計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)3 【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算求解；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的定義及運(yùn)算求解.【詳解】（1）由題意可得：.（2）由題意可得：.18．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，，求的面積.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）由條件結(jié)合余弦定理可得，然后可得，然后得出即可；（Ⅱ）利用正弦定理求出角，然后可得出角，然后利用算出即可.【詳解】（Ⅰ）由余弦定理得：，又因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以.（Ⅱ）由正弦定理得：，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是利用正余弦定理解三角形，考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，較簡(jiǎn)單.19．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，且，，，分別為，的中點(diǎn)，且.（1）求證：平面平面；（2）求銳二面角的余弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）先過(guò)P作PO⊥AD，再通過(guò)平面幾何知識(shí)計(jì)算得PO⊥BO，利用線面垂直判定定理得PO⊥平面ABCD，再根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)果，（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，列方程組解得平面ACE的一個(gè)法向量，根據(jù)向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.【詳解】（1）過(guò)P作PO⊥AD，垂足為O，連結(jié)AO，BO，由∠PAD=120°，得∠PAO=60°，∴在Rt△PAO中，PO=PAsin∠PAO=2sin60°=2×=，∵∠BAO=120°，∴∠BAO=60°，AO=AO，∴△PAO≌△BAO，∴BO=PO=，∵E，F分別是PA，BD的中點(diǎn)，EF=，∴EF是△PBD的中位線，∴PB=2EF=2×=，∴PB2=PO2+BO2，∴PO⊥BO，∵AD∩BO=O，∴PO⊥平面ABCD，又PO?平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD．（2）以O為原點(diǎn)，OB為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，A（0，1，0），P（0，0，），B（，0，0），D（0，3，0），∴E（0，），F（，），=（0，），=（，，0），易得平面ABCD的一個(gè)法向量=（0，0，1），設(shè)平面ACE的法向量=（x，y，z），則，取x=1，得=（1，-，1），設(shè)銳二面角的平面角的大小為θ，則cosθ=|cos＜＞|==，∴銳二面角E-AC-D的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空間向量求二面角，考查空間想象能力以及基本論證與求解能力，屬中檔題.20．某學(xué)校共有1000名學(xué)生參加知識(shí)競(jìng)賽，其中男生500人，為了解該校學(xué)生在知識(shí)競(jìng)賽中的情況，采取分層抽樣隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在分之間，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示：將分?jǐn)?shù)不低于750分的學(xué)生稱為“高分選手”.  (1)求的值，并估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方式從分?jǐn)?shù)落在，內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人，記被抽取的3名學(xué)生中屬于“高分選手”的學(xué)生人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)，平均數(shù)，中位數(shù)650，眾數(shù)600(2)分布列見(jiàn)解析， 【分析】（1）根據(jù)頻率和為1求的值，再結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的定義運(yùn)算求解；（2）先根據(jù)分層抽樣求各層人數(shù)，再結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.【詳解】（1）由題意知，解得，所以每組的頻率依次為，樣本平均數(shù)，因?yàn)?/span>，所以中位數(shù)650，又因?yàn)?/span>的頻率最大，所以眾數(shù)為600．（2）由題意可得：從中抽取人，從中抽取人，則隨機(jī)變量的所有可能取值有0，1，2，3．可知，即，所以隨機(jī)變量的分布列為：0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．21．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，經(jīng)過(guò)的直線交橢圓于，兩個(gè)不同的點(diǎn).(1)求點(diǎn)到直線的距離；(2)若直線的斜率為，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）由橢圓的方程可得，的值，進(jìn)而求出的值，由題意可得，，的坐標(biāo)，求出直線的方程，再求到直線的距離；（2）由題意設(shè)直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，由，所以，整理可得的值．【詳解】（1）橢圓：，則，，，所以，，，所以直線的方程為，即，所以點(diǎn)到直線的距離.（2）依題意直線的斜率存在，則直線的方程為，由，消去整理可得，則，即，且，，因?yàn)?/span>，所以，，，即，整理可得，即，即，整理可得，解得或，都符合，所以的值為或．  22．已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：；(3)證明：對(duì)任意的且，都有：.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）求得，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，即可求得不同情況下函數(shù)的單調(diào)性；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值，即可證明；（3）根據(jù)（2）中所求得，結(jié)合放縮法和累加法即可證明.【詳解】（1）函數(shù)定義域，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，，要證明，即證，即證，設(shè)，則，令得，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以，即，故得證.（3）由（2）可得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），令，，則，所以，即， 所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性，以及構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，以及數(shù)列和導(dǎo)數(shù)的綜合，要善于運(yùn)用轉(zhuǎn)化法，整體代換轉(zhuǎn)化進(jìn)行放縮證明不等式.