2023屆新疆維吾爾自治區(qū)和田地區(qū)第二中學高三上學期12月月考數(shù)學（文）試題 一、單選題1．設全集，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合運算的定義，即可判斷結果.【詳解】由條件可知，，所以.故選：D2．已知，，若，則（    ）A．1 B．2C． D．【答案】C【分析】化簡復數(shù)為，根據(jù)復數(shù)相等列出方程組，求得的值，得到復數(shù)，結合復數(shù)模的計算公式，即可求解.【詳解】由，可得，由復數(shù)相等的充要條件得，解得，，即，所以．故選：C.3．實數(shù)滿足，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（  ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意作平面區(qū)域，從而利用線性規(guī)劃求的最大值，從而求恒成立問題．【詳解】因為實數(shù)滿足，畫出可行域如圖，由圖可知，當經(jīng)過點時，有最大值，所以，故選：A．4．如圖，在三棱錐中，平面，，現(xiàn)從該三棱錐的個表面中任選個，則選取的個表面互相垂直的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)線面垂直得面面垂直，已知平面，由，可得平面，這樣可確定垂直平面的對數(shù)，再求出四個面中任選2個的方法數(shù)，從而可計算概率．【詳解】由已知平面，，可得，從該三棱錐的個面中任選個面共有種不同的選法，而選取的個表面互相垂直的有種情況，故所求事件的概率為．故選：A．【點睛】本題考查古典概型概率，解題關鍵是求出基本事件的個數(shù)．5．若向量，則與的夾角等于(    )A．－ B． C． D．【答案】C【分析】求出與的坐標，然后根據(jù)向量夾角余弦公式即可求夾角.【詳解】，，，，，設與的夾角為θ，則，，.故選：C.6．已知直線m，n和平面，如果，那么“m⊥n”是“m⊥”的（   ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】若，則，即必要性成立，當時，不一定成立，必須垂直平面內(nèi)的兩條相交直線，即充分性不成立，故“”是“”的必要不充分條件，故選：．7．函數(shù)f（x），若關于x的方程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四個不等的實數(shù)根，則a的取值范圍是（    ）A． B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪{1} D．（﹣1，0）∪{1}【答案】D【解析】利用的導函數(shù)判斷出的單調(diào)區(qū)間，由此畫出的大致圖像，令，對的取值進行分類討論，結合的圖像以及方程有四個不相等的實數(shù)根列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】當x≥0時，，所以當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，且f（0）＝0，當x→+∞時，f（x）→0，當x＜0時，f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）的圖象如圖所示：令t＝f（x），則由上圖可知當t＝0或1時，方程t＝f（x）有兩個實根；當t∈（0，1）時，方程t＝f（x）有3個實數(shù)根；當t∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）時，方程t＝f（x）有一個實數(shù)根，所以關于x的方程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四個不等的實數(shù)根等價于關于t的方程t2﹣at+a﹣a2＝0有兩個實數(shù)根t1＝0，t2＝1或t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），當t1＝0，t2＝1時，a＝1，當t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）時，（02﹣a×0+a﹣a2）（12﹣a×1+a﹣a2）＜0，解得﹣1＜a＜0，綜上所述，a∈（﹣1，0）∪{1}.故選：D.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導數(shù)研究方程的零點，考查分類討論的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.8．已知數(shù)列滿足，，是等差數(shù)列，則數(shù)列的前項的和A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用已知求得，再求數(shù)列的前項的和.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，，因為，，所以，解得，所以，即，所以故選B．【點睛】（1）本題主要考查數(shù)列通項的求法，考查等差數(shù)列求和，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.（2）解答本題的關鍵是化簡，要利用平方差公式化簡.9．已知是奇函數(shù)，且滿足，當時，，當時，的最大值為，則（    ）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】由，再結合是奇函數(shù)，通過賦值法，可得，即可求得時的的表達式，求導找到的最大值，利用已知條件，最大值為，即可解得的值.【詳解】因為，即，當時，，則，，由得，，所以當時遞增，當時遞減，所以最大值為，所以得.故選：A【點睛】求函數(shù)最值常用方法，先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.10．如圖所示，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1，E，F分別是棱AA′，CC′的中點，過直線E，F的平面分別與棱BB′、DD′交于M，N，設BM＝x，x∈[0，1]，給出以下四個命題：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②當且僅當x＝時，四邊形MENF的面積最??；③四邊形MENF周長L＝f（x），x∈[0，1]是單調(diào)函數(shù)；④四棱錐C′﹣MENF的體積V＝h（x）為常函數(shù)；以上命題中假命題的序號為（　?。?/span>A．①④ B．② C．③ D．③④【答案】C【分析】①利用面面垂直的判定定理去證明平面；②四邊形的對角線是固定的，所以要使面積最小，則只需的長度最小即可；③判斷周長的變化情況；④求出四棱錐的體積，進行判斷．【詳解】①連結，，則由正方體的性質(zhì)可知，平面，所以平面平面，所以①正確；②連結，因為平面，所以，四邊形的對角線是固定的，所以要使面積最小，則只需的長度最小即可，此時當為棱的中點時，即時，此時長度最小，對應四邊形的面積最小，所以②正確；③因為，所以四邊形是菱形，當時，的長度由大變小，當時，的長度由小變大，所以函數(shù)不單調(diào)，所以③錯誤；④連結，，，則四棱錐可分割為兩個小三棱錐，它們以為底，以，分別為頂點的兩個小棱錐，因為三角形的面積是個常數(shù)，，到平面的距離是個常數(shù)，所以四棱錐的體積為常函數(shù)，所以④正確，所以四個命題中③假命題，所以選C．【點睛】本題主要考查空間立體幾何中的面面垂直關系以及空間幾何體的體積公式，本題巧妙的把立體幾何問題和函數(shù)進行有機的結合，綜合性較強，設計巧妙，對學生的解題能力要求較高，有一定難度.11．已知，分別為橢圓的左?右焦點，是上一點，為坐標原點，過點作的角平分線的垂線，垂足為，若，，則的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】延長交直線于點，求出，，化簡即得解.【詳解】解：延長交直線于點.因為為的角平分線，且，所以，所以.因為，分別為，的中點，所以為的中位線，所以，所以.由橢圓的定義知，不妨設，則，.在中，因為，所以，所以，所以.因為，所以，故.故選：D【點睛】12．已知函數(shù)，則下列關于函數(shù)圖像的結論正確的是(  ）A．關于點對稱 B．關于點對稱C．關于軸對稱 D．關于直線對稱【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，求得，即可得到關于直線對稱，即可得到答案.【詳解】由函數(shù)，則，即函數(shù)滿足，所以函數(shù)關于直線對稱，故選D.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的對稱性，其中解答中數(shù)函數(shù)對稱性的判定方法是解答的關鍵，即若函數(shù)滿足時，函數(shù)的圖象關于對稱，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題. 二、填空題13．函數(shù)，則函數(shù)的最小正周期是          ，取最大值時的集合為          .【答案】          【解析】利用公式即可計算周期，令，即可求出取最大值時的集合.【詳解】最小正周期，取最大值時，即.故答案為：；.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，是基礎題.14．已知，，則行列式的值等于        .【答案】【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求cosx，進而可求secx的值，再計算行列式的值即可得解．【詳解】∵sinx，x∈（，π），∴cosx，secx，∴sinxsecx+1（）+1．故答案為：．【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式的應用，考查了行列式的計算，屬于基礎題．15．在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中任取一點M，則滿足∠AMB＞90°的概率為        .【答案】【解析】點M滿足∠AMB＞90°的區(qū)域是球的內(nèi)部，根據(jù)在正方體內(nèi)的部分求出體積，即可得出概率.【詳解】空間中點M滿足∠AMB＞90°的區(qū)域是以AB為直徑的球的內(nèi)部，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中任取一點M，滿足∠AMB＞90°的區(qū)域的體積是半徑為1的球的，其體積為，棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1的體積為8，所以所求概率為.故答案為：【點睛】此題考查幾何概型求解概率，關鍵在于準確求出滿足條件的區(qū)域體積.16．已知都為正實數(shù)，則的最小值為           ．【答案】【分析】化簡，由基本不等式得，再代入原式得，判斷相等條件后即可得最小值.【詳解】，因為都為正實數(shù)，，當且僅當，即時等號成立，所以，當且僅當，即時等號成立，綜上所述，當時，取最小值為.故答案為：【點睛】解答本題的關鍵在于分別利用兩次基本不等式，根據(jù)“一正二定三相等”的原則判斷最小值. 三、解答題17．2020年是具有里程碑意義的一年，我們將全面建成小康社會，實現(xiàn)第一個百年奮斗目標；2020年也是脫貧攻堅決戰(zhàn)決勝之年.截至2018年底，中國農(nóng)村貧困人口從2012年的9899萬人減少至1660萬人，貧困發(fā)生率由2012年的10.2%下降至2018年的1.7%；連續(xù)7年每年減貧規(guī)模都在1000萬人以上；確保到2020年農(nóng)村貧困人口實現(xiàn)脫貧，是我們黨立下的軍令狀，脫貧攻堅越到最后時刻，越要響鼓重錘.某貧困地區(qū)截至2018年底，按照農(nóng)村家庭人均年純收入8000元的小康標準，該地區(qū)僅剩部分家庭尚未實現(xiàn)小康.現(xiàn)從這些尚未實現(xiàn)小康的家庭中隨機抽取100戶，得到這100戶家庭2018年的家庭人均年純收入的頻率分布直方圖：（1）求的值，并求出這100戶家庭人均年純收入的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；（2）2019年7月，為估計該地能否在2020年全面實現(xiàn)小康，統(tǒng)計了該地當時最貧困的一個家庭2019年1至6月的人均月純收入如下表：月份/2019（時間代碼）123456人均月純收入（元）275365415450470485①由散點圖及相關性分析發(fā)現(xiàn)：家庭人均月純收入與時間代碼之間具有較強的線性相關關系，請求出回歸直線方程；②由于2020年1月突如其來的新冠肺炎疫情影響，該家庭2020年每月的人均月純收入只能達到預估值的，試估計該家庭2020年能否達到小康標準，并說明理由.附：①可能用到的數(shù)據(jù)：，，；②參考公式：線性回歸方程中，，.【答案】（1）；平均數(shù)為（千元）；（2）①；②能.【分析】（1）由頻率分布直方圖概率和為1求出a，利用平均值等于求平均數(shù)即可；（2）①先求，結合公式求b和a，寫出回歸方程；②先利用回歸直線和已知條件估計2020年每月收入，再計算年總收入，根據(jù)題意判斷即可.【詳解】解：（1）組距為1，頻率之和為1，故，解得；平均數(shù)為（千元）；（2），，，故，，所以回歸直線方程為：；②設y是2020年該家庭人均純收入，則時，，即2020年每月收入依次成等差數(shù)列，首項為，最后一項為，故2020年總收入為 ，所以該家庭2020年能否達到小康標準.【點睛】方法點睛：(1)從頻率分布直方圖可以估計出的幾個數(shù)據(jù)：①眾數(shù)：頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點的橫坐標；②平均數(shù)：頻率分布直方圖每組數(shù)值的中間值乘以頻率后相加；③中位數(shù)：把頻率分布直方圖分成兩個面積相等部分的平行于y軸的直線橫坐標．（2）求線性回歸方程的步驟：①求出；②套公式求出；③寫出回歸方程；④利用回歸方程進行預報.18．已知函數(shù)，.（1）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)m的最大值；（2）設，若函數(shù)與的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）或【分析】（1）求得的解析式，令，應用參數(shù)分離和對勾函數(shù)的單調(diào)性，可得所求最大值；（2）由題意可得有且只有一個根，令，應用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及二次方程實根的分布，對討論，可得所求范圍．【詳解】解：（1）對任意，恒成立，令，，，因為在，單調(diào)遞增，故，則對恒成立，當時，，故，即．（2）由題：方程有且只有一個根，即有且只有一個根，令，因為在上單調(diào)遞增，且，故方程式）有且只有一個正根，①當時，方程有唯一根，符合題意；②當時，方程變形為，解得兩根為，，因為式）有且只有一個正根，故或，解得或，綜上：的取值范圍為或．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應用，考查不等式恒成立問題解法，注意應用換元法和參數(shù)分離，以及分類討論思想．19．如圖所示，在四棱錐中，，，平面，為中點，.（1）求證：平面.（2）若四面體的體積為，求的面積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取中點，連接，，利用面面平行的判定定理證明平面平面，再用面面平行的性質(zhì)可得平面；（2）根據(jù)體積求出，過作于，連接，，求出和后，根據(jù)三角形面積公式可求得結果.【詳解】（1）取中點，連接，，則，又，∴，∴平面平面，∴平面.（2）因為，，，所以由已知得：，即，可得.過作于，連接，，∵平面，∴，，∴，中，，，，∴，，，，∴.【點睛】關鍵點點睛：掌握面面平行的判定定理和面面平行的性質(zhì)是解題關鍵.20．已知函數(shù).(1)若在點處的切線與圓相切，求實數(shù)的值；(2)若當時，有成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)實數(shù)的值為0或；(2). 【分析】（1）求導得斜率寫出切線方程，圓心到直線距離等于半徑即可得；（2）在區(qū)間上恒成立，整理不等式得在恒成立，構造函數(shù)，只需即可.【詳解】（1）解：由題知，，又∴在處的切線斜率為，∴在處的切線為，即，∵圓的圓心為，半徑為1，∴則圓心到直線的距離為：，解得或，∴實數(shù)的值為0或.（2）解：當時，，即，設，∴，當時，，∴在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴，∴，當時，當時，，當時，，∴在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴，即，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】導數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立，轉(zhuǎn)化為;（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為.21．已知函數(shù)．(1)求的最小值；(2)若對所有，都有，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若關于x的方程有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍．【答案】(1)(2)(3) 或 【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得最值；（2）將不等式分離參數(shù)即變?yōu)?/span>恒成立，構造函數(shù)，利用求導求得函數(shù)的最大值，可得答案；（3）將關于x的方程有且只有一個實數(shù)根，變?yōu)?/span>和在上有且只有一個交點的問題，數(shù)形結合，求得答案.【詳解】（1）的定義域是，，令，得，當時，有，當時，有，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故．（2）∵，對所有，都有，等價于恒成立，等價于恒成立，令，則；∵，∴當時，有，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，即實數(shù)a的取值范圍為；（3）若關于x的方程有且只有一個實數(shù)根，即和在上有且只有一個交點，由（1）知在上單調(diào)遞減且，在上單調(diào)遞增，當時，，在時，，當時，，，作出函數(shù)的大致圖象：故當或時，滿足和在上有且只有一個交點，即若關于x的方程有且只有一個實數(shù)根，則或．即實數(shù)b的取值范圍為 或.22．在直角坐標系中，曲線過點，其參數(shù)方程是（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程是.（1）若，求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（2）已知曲線與曲線交于兩點，且，求實數(shù)的值.【答案】（1）； （2）或【解析】（1）兩式相減即可得到曲線的普通方程；兩邊同時乘以，然后由，即可得到曲線的直角坐標方程；（2）將代入，得，則，又，分和兩種情況，即可求得實數(shù)的值.【詳解】（1），，，，；（2）將代入，得，，則，又，①當時，聯(lián)立，得，則，所以；②當時，聯(lián)立，得，則，所以.綜上，或.【點睛】本題主要考查直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，拋物線的極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，以及根據(jù)參數(shù)方程的幾何意義求參數(shù)的取值.23．設.(1)解不等式；(2)若不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】(1)討論三種情況，分別解不等式，最后找并集即可；(2)分離參數(shù)可得,利用絕對值三角不等式可求解.【詳解】解：(1)當時，，解得，故此情況無解；當時，，解得，故；當時，，解得，故.綜上所述，滿足的解集為.(2)當時，可知對于，不等式均成立；當時，由已知可得，∵，當或時，等號成立，∴.綜上所述，使得不等式恒成立的的取值范圍為. 

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