2023屆新疆維吾爾自治區(qū)和田地區(qū)民豐縣高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．復(fù)數(shù)的虛部為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【詳解】∵z，∴復(fù)數(shù)z的虛部為．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是復(fù)數(shù)的運(yùn)算及其概念，較簡單.2．已知，集合，，記，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意求出即可得解.【詳解】由題：已知，集合，，記，，則.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)已知條件求解集合中的元素，再求集合的交集.3．已知等比數(shù)列滿足，則（　  ?。?/span>A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，化為，解得，解得．則．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、一元二次方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．4．?dāng)?shù)列在各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值，再利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】由題意可知，對(duì)任意的，，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，則.因此，.故選：C.5．已知命題p：2是偶數(shù)，命題q：2是3的約數(shù)，則下列命題為真的是（    ）A．p∧q B．p∨q C．?p D．(?p)∧(?q)【答案】B【解析】判斷p，q的真假，根據(jù)復(fù)合命題真假判斷即可.【詳解】因?yàn)槊}p：2是偶數(shù)是真命題，命題q：2是3的約數(shù)是假命題，所以p∨q為真命題.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)合命題的真假的判定，屬于容易題.6．右圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的k的值是A．1 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)循環(huán)語句，依次執(zhí)行，并判斷是否結(jié)束循環(huán)，直到結(jié)束循環(huán)得結(jié)果.【詳解】執(zhí)行循環(huán)得：；；；；結(jié)束循環(huán)，輸出.故選：D.7．某正四棱錐的正（主）視圖和俯視圖如圖所示，該正四棱錐的側(cè)棱長是 （  ） A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三視圖的數(shù)據(jù)，由正四棱錐體性質(zhì)，根據(jù)勾股定理可得結(jié)果.【詳解】由三視圖可知該正四棱錐，底面正方形對(duì)角線長是，可得底面邊長為2，高為3，所以正四棱錐的側(cè)棱長為，故選：B.8．定義在上的函數(shù)對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，恒有成立，在直線的左上方的動(dòng)點(diǎn)滿足不等式組，設(shè)動(dòng)點(diǎn)所在的平面區(qū)域?yàn)?/span>，點(diǎn)，若區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)M，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先找出動(dòng)點(diǎn)滿足不等式組，然后畫出其表示的平面區(qū)域，再數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化斜率問題求解.【詳解】由條件知在上是增函數(shù), 則由, 得,即 又動(dòng)點(diǎn)在直線的左上方,所以則動(dòng)點(diǎn)滿足不等式組為 ，畫出其表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示. 由題意,得, 則不等式等價(jià)于 由平面區(qū)域知, 所以, 則由題意知不大于的最大值, 此時(shí)只須求 的最大值而 表示平面區(qū)域內(nèi)的動(dòng) 與定點(diǎn)所在直線的斜率，其最大值為 , 即 的最大值為，所以故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題有四個(gè)關(guān)鍵，第一，就是利用單調(diào)性把動(dòng)點(diǎn)滿足不等式組表示出來；第二，就是準(zhǔn)確作出可行域；第三，就是直譯，然后分離變量轉(zhuǎn)化為最值問題；第四，就是數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為斜率問題.9．函數(shù)的最小正周期為，其圖象向右平移個(gè)單位長度后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)在上的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)周期以及平移后函數(shù)是奇函數(shù)，求得參數(shù)；再求函數(shù)在區(qū)間上的值域即可.【詳解】因?yàn)?/span>的最小正周期為，故可得，又，解得；故，將其向右平移個(gè)單位，可得，又因?yàn)槠涫瞧婧瘮?shù)，故可得，又，故可得.綜上所述，，又，則，故在區(qū)間上的最大值為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查由正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)值，以及求正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域，屬綜合基礎(chǔ)題.10．若且，則的最小值是A．6 B．12 C．24 D．16【答案】D【詳解】試題分析：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為16【解析】均值不等式求最值11．方程的根的情況是（    ）A．有兩個(gè)大于3的根 B．有兩個(gè)小于3的根C．有一個(gè)大于3的根一個(gè)小于3的根 D．僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】C【分析】將方程根的情況轉(zhuǎn)化為的圖像交點(diǎn)情況，觀察圖像即可得結(jié)果.【詳解】解：由得，設(shè)，作出圖像如圖：由圖像可得的圖像有個(gè)交點(diǎn)，則方程有兩個(gè)根，有一個(gè)大于3的根一個(gè)小于3的根.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查方程根的分布問題，最主要的方法就是轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)問題來解決，是基礎(chǔ)題.12．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難人微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象特征.如函數(shù)的圖象大致為（    ）A．  B． C．  D． 【答案】A【分析】利用排除法，先判斷函數(shù)的奇偶性，再判斷函數(shù)的單調(diào)性即可【詳解】由可知，該函數(shù)為偶函數(shù)，不對(duì)；可考慮的情況，，因?yàn)?/span>，又.函數(shù)在上為增函數(shù)，故選：A. 二、填空題13．寫出一個(gè)最大值為3，最小正周期為2的偶函數(shù)           .【答案】(答案不唯—)【分析】根據(jù)題意，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)解析式【詳解】解：因?yàn)?/span>是最大值為3，最小正周期為2的偶函數(shù)，所以，或，或等（答案不唯—)，故答案為：（答案不唯一）14．已知：，：，若是的充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是      .【答案】【分析】是的充分條件得到，列不等式組得解.【詳解】由，∴，即∴.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查命題的充分必要條件，利用集合子集關(guān)系是解題關(guān)鍵.15．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作球的截面，則截面面積的取值范圍是        .【答案】【分析】依題意三棱錐的外接球即為以，，為鄰邊的長方體的外接球，求出外接球的半徑，取的中點(diǎn)，當(dāng)截面時(shí)，截面的面積最小，利用勾股定理求出截面圓的半徑，即可得解；【詳解】解：依題意三棱錐的外接球即為以，，為鄰邊的長方體的外接球，∴，∴，取的中點(diǎn)，∴為的外接圓圓心，∴平面，如圖，當(dāng)截面時(shí)，截面的面積最小，∵，此時(shí)截面圓的半徑為，∴截面面積為，當(dāng)截面過球心時(shí)，截面圓的面積最大為，故截面面積的取值范圍是.故答案為：16．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式的解集為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是      ．【答案】【詳解】 由，當(dāng)時(shí)，無解，適合題意；當(dāng)時(shí)，的解為，此時(shí)只需恒成立，即恒成立，所以只需，解得；當(dāng)時(shí)，的解為，此時(shí)只需恒成立，即恒成立，所以只需，解得，綜上知，故填. 三、解答題17．已知函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)當(dāng)時(shí)，求的最值.【答案】(1)(2)函數(shù)最大值，最小值. 【分析】（1）由三角恒等變換公式化簡后求解（2）由三角函數(shù)性質(zhì)求解【詳解】（1） .（2）當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取到最大值；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取到最小值.所以，函數(shù)最大值，最小值.18．如圖，已知正方體的棱長為，，分別是棱與的中點(diǎn).(1)求以，，，為頂點(diǎn)的四面體的體積；(2)求異面直線和所成的角的大小.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題意可知該四面體為以為底面，以為高的四面體，可得四面體體積；（2）連接，，可得即為異面直線和所成的角的平面角，根據(jù)余弦定理可得角的大小.【詳解】（1）解：連接，，，以，，，為頂點(diǎn)的四面體即為三棱錐，底面的面積，高，則其體積；（2）解：連接，，，則即為異面直線和所成的角的平面角，在中，，，，則，故，即和所成的角的的大小為.19．“百年征程波瀾壯闊，百年初心歷久彌堅(jiān)”．為慶祝中國建黨一百周年，哈市某高中舉辦了“學(xué)黨史、知黨情、跟黨走”的黨史知識(shí)競賽．比賽分為初賽和決賽兩個(gè)環(huán)節(jié)，通過初賽選出兩名同學(xué)進(jìn)行最終決賽．若該高中A，B兩名學(xué)生通過激烈的競爭，取得了初賽的前兩名，現(xiàn)進(jìn)行決賽．規(guī)則如下：設(shè)置5輪搶答，每輪搶到答題權(quán)并答對(duì)則該學(xué)生得1分，答錯(cuò)則對(duì)方得1分．當(dāng)分差達(dá)到2分或答滿5輪時(shí)，比賽結(jié)束，得分高者獲勝．已知A，B每輪均搶答且搶到答題權(quán)的概率分別為，，A，B每一輪答對(duì)的概率都為，且兩人每輪是否回答正確均相互獨(dú)立．(1)求經(jīng)過2輪搶答A贏得比賽的概率；：(2)設(shè)經(jīng)過搶答了X輪后決賽結(jié)束，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為 【分析】（1）求出A學(xué)生每輪得一分的概率，進(jìn)而求出經(jīng)過2輪搶答A贏得比賽的概率；（2）求出X的可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，求出分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）記事件C為“經(jīng)過2輪搶答A贏得比賽”A學(xué)生每輪得一分的概率，B學(xué)生每輪得一分的概率，，所以經(jīng)過2輪搶答A贏得比賽的概率為．（2）X的可能取值為2，4，5．2輪比賽甲贏或乙贏的概率為，4輪比賽甲贏或乙贏的概率為，5輪比賽甲贏或乙贏的概率為．X的分布列為：X245P，數(shù)學(xué)期望為．20．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F.（1）求點(diǎn)F的坐標(biāo)和橢圓C的離心率；（2）直線過點(diǎn)F，且與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，如果點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，判斷直線是否經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)，如果經(jīng)過，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不經(jīng)過，說明理由.【答案】（1）焦點(diǎn)，離心率（2）是過x軸上的定點(diǎn)；定點(diǎn)【解析】（1）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出；（2）直線過點(diǎn)F，可得，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得：.（依題意）.設(shè)，，可得根與系數(shù)的關(guān)系，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則.可得直線的方程可以為，令，，把根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡即可得出.【詳解】（1）橢圓，，解得，焦點(diǎn)，離心率.（2）直線過點(diǎn)F，，.由，得.（依題意）.設(shè)，，則，.點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則.直線的方程可以設(shè)為，令，.直線過x軸上定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及到橢圓的離心率、橢圓中的定點(diǎn)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，是一道中檔題.21．如圖．已知拋物線，直線過點(diǎn)與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)A，B處的切線相交于點(diǎn)T，過A，B分別作x軸的平行線與直線上交于M，N兩點(diǎn)．（1）證明：點(diǎn)T在直線l上，且；（2）記，的面積分別為和．求的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）由題意，設(shè)直線AB：，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別求得過點(diǎn)A、B的切線方程，聯(lián)立可求得點(diǎn)T，再將直線AB與拋物線C聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可得表達(dá)式，代入即可得T點(diǎn)坐標(biāo)，經(jīng)檢驗(yàn)滿足直線l方程，又，可得T為M、N中點(diǎn)，即可得證.（2）由（1）可得，表達(dá)式，進(jìn)而可得表達(dá)式，化簡整理，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案.【詳解】（1）因?yàn)?/span>AB不平行x軸，設(shè)直線AB：，，因?yàn)?/span>，不妨令，則，所以，所以，所以過點(diǎn)A的切線方程，整理得同理，過點(diǎn)B的切線方程為，兩方程聯(lián)立，解得，又，聯(lián)立可得，所以，代入可得，滿足，所以點(diǎn)T在直線上.又，所以，所以T為M、N的中點(diǎn)，即.（2）由（1）可得，所以，同理，所以，當(dāng)時(shí)，有最小值【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的性質(zhì)，并靈活應(yīng)用，難點(diǎn)在于計(jì)算難度大，對(duì)于拋物，過點(diǎn)拋的切線，可利用導(dǎo)數(shù)求切線，也可以直接代入公式，可簡化計(jì)算，屬中檔題.22．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，過點(diǎn)作直線的垂線交曲線于?兩點(diǎn)(在軸上方)，求的值.【答案】（1）；；（2）.【分析】（1）消去參數(shù)即可得出直線的普通方程；根據(jù)可得曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）寫出直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，再將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，利用韋達(dá)定理以及參數(shù)的幾何意義即可得出結(jié)果.【詳解】（1），兩式作差可得；，所以（2）直線的一個(gè)參數(shù)方程為(為參數(shù))代入到中得設(shè)?對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為?則，23．城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走．如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系，對(duì)兩點(diǎn)和，定義兩點(diǎn)間距離為．(1)在平面直角坐標(biāo)系中任意取三點(diǎn)A，B，C，證明；(2)設(shè)，分別找出（1）中不等式等號(hào)成立和等號(hào)不成立時(shí)點(diǎn)C的范圍．【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析. 【分析】（1）根據(jù)的定義，利用絕對(duì)值三角不等式，即可容易證明；（2）根據(jù)（1）中的證明過程，即可求得等號(hào)成立和不成立分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)范圍.【詳解】（1）根據(jù)題意，設(shè)的坐標(biāo)為，故，，，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，同理可得，當(dāng)時(shí)取得等號(hào).故，即，當(dāng)，且時(shí)取得等號(hào)，即證.（2）不妨令根據(jù)（1）中證明過程，當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，且，即且；當(dāng)?shù)忍?hào)不成立時(shí)，或，即或. 

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