一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先解不等式化簡集合A，再進行交集運算即可.
【詳解】因為，又，
所以.
故選：B.
2．復數(shù)滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)復數(shù)模的公式及復數(shù)的運算法則求得，利用共軛復數(shù)的概念得出答案.
【詳解】因為，
所以，
所以．
故選：A．
3．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐
的表面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體，可得該棱錐4個面中有2個為直角三角形，2個面是等腰三角形，利用三視圖中的數(shù)據(jù)即可得結果.
【詳解】
該幾何體是棱長分別為 的長方體中的三棱錐： ，
其中： ，
該幾何體的表面積為： .
故選：B．
4．已知是等差數(shù)列的前項和，若，則（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】利用等差數(shù)列的求和公式，結合等差中項的性質(zhì)，解得，根據(jù)等差數(shù)列整理所求代數(shù)式，可得答案.
【詳解】由題意，，解得，設等差數(shù)列的公差為，
則.
故選：B.
5．已知命題，，命題函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則，下列結構中正確的是（ ）
A．命題“”是真命題B．命題“”是真命題
C．命題“”是真命題D．命題“”是真命題
【答案】C
【分析】先判斷命題的真假性，然后結合邏輯連接詞的知識求得正確答案.
【詳解】對于命題，當時，，，所以為假命題，
對于命題，在區(qū)間上是減函數(shù)，
即，在上恒成立，
，所以，所以命題為真命題.
所以、、為假命題，
是真命題.
故選：C
6．已知是拋物線的焦點，是拋物線上的一個動點，，則周長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先將拋物線方程化為標準方程，寫出焦點坐標和準線方程，利用拋物線定義得到，再利用平面幾何知識求周長的最小值.
【詳解】將化為，
則其焦點，準線方程為，
則，設，
則由拋物線的定義，得，
所以的周長
（當且僅當軸時取得最小值）.
故選：A.
7．設函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可．
【詳解】解：依題意可得，因為，所以，
要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，又，的圖象如下所示：

則，解得，即．
故選：C．
8．已知函數(shù)，則的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用導數(shù)可求得在和上的單調(diào)性，由此可排除錯誤選項.
【詳解】當時，，則，
在上單調(diào)遞增，BD錯誤；
當時，，則，
當時，；當時，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，C錯誤，A正確.
故選：A.
9．已知雙曲線：的焦點到漸近線的距離為，又雙曲線與直線交于，兩點，點為右支上一動點，記直線，的斜率分別為，，曲線的左?右焦點分別為，.若，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．雙曲線的漸近線方程為
C．若，則的面積為1
D．雙曲線的離心率為
【答案】C
【分析】由焦點到漸近線的距離得到b，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，用點差法可以得到兩條直線的斜率，由，求的值，A，B，D三個選項即可判斷，C選項考查雙曲線的定義，用得到的值，就可以計算三角形的面積.
【詳解】因為雙曲線：的焦點到漸近線的距離為1，則，所以雙曲線方程為：，由可得，
設，，則，即，∴，設
則，，所以，即，
又，，，所以，∴，即，故A錯誤；
所以雙曲線：，，
雙曲線的漸近線方程為，離心率為，故B錯誤，D錯誤；
若，則，
所以，的面積為1，故C正確.
故選：C.
10．如圖，已知正方體的棱長為a，點E，F(xiàn)，G，H，I分別為線段，，，BC，的中點，連接，，，DE，BF，CI，則下列正確結論的個數(shù)是（ ）
①點E，F(xiàn)，G，H在同一個平面上；
②平面∥平面EFD；
③直線DE，BF，CI交于同一點；
④直線BF與直線所成角的余弦值為．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】①根據(jù)共面定理，證明與平行，可得答案；
②由①，根據(jù)面面平行判定定理，證明平面平面，由圖平面平面，可得答案；
③先假設，由題意，可得連線直線的等量關系，再假設出，求得連線的等量關系，檢驗可得答案；
④根據(jù)異面夾角的定義，作平行，找出夾角，結合余弦定理，可得答案.．
【詳解】對于①，連接，，，，，作圖如下：
在正方體中，易知，在中，分別為的中點，，則，命題①正確；
對于②，連接，，，，，，作圖如下：
在中，分別為的中點，，同理在中，，
平面，平面，平面，同理可得平面，
，與相交，由平面，則平面平面，因為平面平面，所以命題②錯誤；
對于③，連接BD，延長DE、BF交于點M，
因為EF∥BD，且EFBD，所以MF＝BF，又因為FI∥BC，且FIBC，所以B、C、F、I四點共面，所以BF與CI相交，設BF與CI的交點為N，則NF＝FB，所以M與N重合，即直線DE，BF，CI交于同一點，命題③正確；
對于④，取C1D1的中點K，連接CK，
則CK∥BF，則CK與所成的角θ即為直線BF與直線所成的角，連接，設正方體的棱長，則，，，由余弦定理得，命題④正確．
綜上知，①③④正確．
故選：C．
11．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號.用他的名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前項和，則（ ）
A．999B．749C．499D．249
【答案】A
【分析】構造法判斷為等比數(shù)列，為常數(shù)列，進而可得，再由，結合新定義有，最后利用裂項相消法求的前n項和.
【詳解】由，得，又，
所以數(shù)列是以4為首項，5為公比的等比數(shù)列，則①，
由得：，又，
所以數(shù)列是常數(shù)列，則②，
由①②聯(lián)立得.
因為，所以，即，
所以，故，
所以，則.
故選：A
12．函數(shù)滿足， ，若存在，使得成立，則的取值
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由題意設，則，所以（為常數(shù)）．∵，∴，∴，
∴．令，則，故當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．
∴，從而當時，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增．
設，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．
∴不等式等價于，
∴，解得，故的取值范圍為．選A．
點睛：本題考查用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，在解答過程中首先要根據(jù)含有導函數(shù)的條件構造函數(shù)，并進一步求得函數(shù)的解析式，從而得到函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．然后再根據(jù)條件中的能成立將原不等式轉化為，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將函數(shù)不等式化為一般不等式求解即可．
二、填空題
13．設滿足約束條件，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)約束條件作圖，由題意可知為截距型，根據(jù)函數(shù)平移，可得答案.
【詳解】由約束條件，作圖如下：
由圖可知，，，，
當取，可得，
故答案為：.
14．從分別標有1，2，…，9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張.記事件A為“抽取到的兩張卡片上的數(shù)奇偶性相同”，事件B為“兩張卡片上的數(shù)字均為偶數(shù)”，則 .
【答案】/
【分析】利用條件概率公式進行求解即可.
【詳解】，
故答案為：
15．如圖，在平行四邊形中，點，分別在，邊上，且，，若，，，則 .
【答案】
【分析】由題知，，再根據(jù)數(shù)量積的運算律運算求解即可.
【詳解】解：因為，，
所以，，，
因為，，，
所以.
故答案為：
16．若不等式對一切恒成立，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】將不等式對一切恒成立轉化為，再利用導數(shù)法求函數(shù)的最值問題即可求解.
【詳解】令得，
當時，得在上單調(diào)遞增，
當時，與矛盾．
當時，，
當時，，
，
令，則，
，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當時，，
當時，的最大值為．
故答案為：.
三、解答題
17．已知銳角內(nèi)角，，的對邊分別為，，.若.
(1)求角的大?。?br>(2)若，求邊上高的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根據(jù)條件，運用誘導公式以及倍角公式即可求出角C；
(2)運用等面積法將AB邊上的高h轉化為ab的乘積，在根據(jù)正弦定理轉化為三角函數(shù)，運用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出h的范圍.
【詳解】（1）由條件可知：，，
∵，∴，，
又，∴，∴，∴；
（2）設邊上的高為，則
且，∴，∴
由正弦定理得，∴，，
又
∴
，
∵為銳角三角形，∴ ，解得： ，
∴，∴，∴邊上高的取值范圍是；
綜上， ，邊上高的取值范圍是.
18．為了推進新高考改革，某中學組織教師開設了豐富多樣的校本選修課，同時為了增加學生對校本選修課的了解和興趣，該校還組織高二年級300名學生參加了一次知識競答活動，本次活動共進行兩輪比賽，第一輪是綜合知識小檢測，滿分100分，并規(guī)定得分從高到低排名在前20%的學生可進入第二輪答題，從6個難度升級分別涉及“時事政治”?“語言文化”?“藝術欣賞”?“體育健康”?“天文地理”和“邏輯推理”六個方面的題目中隨機抽選3個題目進行作答，以下是300名學生在第一輪比賽中的得分按照，進行分組繪制而成的頻率分布直方圖如圖所示：
（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計學生在第一輪比賽中至少得到多少分才能進入第二輪比賽？
（2）已知李華比較擅長“時事政治”類題目，不太擅長“邏輯推理”類題目，若李華成功進入了第二輪比賽，求他剛好抽中“時事政治”類題目，沒有抽中“邏輯推理”類題目的概率.
【答案】（1）76分；（2）.
【分析】（1）根據(jù)題意，由高到低20%可進入第二輪比賽，所以從100分逆推往前計算20%，可算出得到的分數(shù)；（2）列舉法計算出從6個題目中選3個題目的結果以及包含“時事政治”不包含“邏輯推理”的結果，根據(jù)公式求概率即可.
【詳解】解：（1）設學生在第一輪比賽中至少得到x分才能進入第二輪比賽.
則由頻率分布直方圖可得，解得，
故學生在第一輪比賽中至少得到76分才能進入第二輪比賽.
（2）設這6個分別涉及“時事政治”?“語言文化”?“藝術欣賞”?“體育健康”“天文地理”和“邏輯推理”六個方面的題目為A，B，C，D，E，F(xiàn)，
則從中隨機抽選3個題目的結果有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20種，其中滿足剛好抽中“時事政治”類題目，沒有抽中“邏輯推理”類題目的情況有共6種，
所以李華剛好抽中“時事政治”類題目，沒有抽中“邏輯推理”類題目的概率.
19．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，，，．
(1)證明：平面平面；
(2)求到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點為，連接，先用線面垂直的判定定理證明 平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結論，
（2）由等積法結合求解即可
【詳解】（1）如圖，取的中點為，連接．
因為，，則，
而，故．
在正方形中，因為，故，故，
因為，故，
故為直角三角形且，
因為，，，平面，
故平面，
因為平面，
故平面平面．
（2）由（1）知平面，底面是正方形，
則，，
在中，，，
所以，
由知，
所以，
所以
所以到平面的距離為．
20．已知橢圓過點，點為其左頂點，且的斜率為.
(1)求的方程；
(2)為橢圓上兩個動點，且直線與的斜率之積為，，為垂足，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設橢圓方程，根據(jù)橢圓過點，以及的斜率為，構造方程解得答案；
（2）設直線方程，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)韋達定理，利用直線與的斜率之積為，整理化簡證明直線過定點，進而求出的軌跡是圓，把問題轉化為圓上的點到橢圓左頂點距離的最大值問題，使問題得到解決.
【詳解】（1）由題意可知直線的方程為：， 即，
令，解得，所以，
橢圓過點，
可得， 解得，
所以的方程： ；
（2）設，
由題意得直線斜率不為零， 設， 代入到橢圓，
由得，即
所以,
由， 得， 即，
所以，
所以，
所以，
化簡得，
所以或，
若，則直線過橢圓的左頂點，不適合題意，所以，
所以過定點，
因為為垂足，
所以在以為直徑的圓上，，的中點為，
又，所以，
所以的最大值為，
即的最大值為.
【點睛】本題是圓錐曲線過定點問題，屬于難題，解決問題的關鍵點有兩個，一是過定點問題不是顯性的，比較隱晦，識別出來有困難，第二在由斜率的乘積是常數(shù)進行化簡整理的過程中，計算直線過定點難度比較大，容易形成畏難心理導致計算失敗.
21．已知函數(shù)．
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)記函數(shù)，設，是函數(shù)的兩個極值點，若，且恒成立，求實數(shù)的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由導數(shù)的幾何意義即可求曲線在處的切線方程；
（2）將轉化為，從而構造，根據(jù)導數(shù)即可求得的最小值，從而得解.
【詳解】（1），所以切線斜率為，
又，切點為，所以切線方程為：．
（2），
若，則恒成立，
，，
，
，
設，則，
令，，
則，
在上單調(diào)遞減；
，，

，
，
， ，
當時，，
，
即實數(shù)的最大值為
【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
22．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立的極坐標系中，直線l的方程是．
(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；
(2)若點A的坐標為（1，0），直線與曲線C交于P，Q兩點，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）移項再平方相加即得曲線C的普通方程，根據(jù)極坐標與直角坐標的互化公式即可得直線l的直角坐標方程；
（2）由直線參數(shù)方程中的幾何意義，結合韋達定理即可求得.
【詳解】（1）由，可得，
將上式分別平方，然后相加可得，
由，可得，
即，即．
（2）由（1）可知直線l的斜率為，則其傾斜角為，
且點在直線l上，
所以直線l的參數(shù)方程為： （t為參數(shù)），
即（t為參數(shù)），
將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，整理得．
設點P，Q對應的參數(shù)分別為，，則，，
則．
23．記函數(shù)的最小值為．
(1)求的值；
(2)若正數(shù)滿足，證明：．
【答案】(1);
(2)證明見解析；
【分析】（1）將函數(shù)化簡為分段函數(shù)形式，并作出函數(shù)圖像，由圖像判斷并計算最小值；（2）由（1）得，可得，將證明不等式轉化為證明成立，利用柯西不等式證明即可.
【詳解】（1）由題意得，，作出函數(shù)圖像如圖所示，由圖可知，當時，函數(shù)取最小值，，故.
（2）由（1）得，故，因為均為正數(shù)，所以要證明不等式，只需證明，由柯西不等式得：，當且僅當時，取等號，所以原不等式成立.
【點睛】函數(shù)中有絕對值形式的情況，一般在求解時需要去絕對值，轉化為分段函數(shù)，并作出圖像，數(shù)形結合分析求解.

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