2023屆福建省福州市鼓山中學(xué)高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分別求出集合A，B，由此能求出.【詳解】∵集合，，.故選：A.2．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，a，且）為純虛數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，根據(jù)其為純虛數(shù)可得且，即可求得答案.【詳解】由題意得,∵為純虛數(shù)∴且，∴，另解：設(shè)（），則，即，，∴，故選：D.3．已知雙曲線x2－＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)．若|PF1|＝|PF2|，則△F1PF2的面積為（    ）A．23 B．24C．25 D．26【答案】B【解析】由已知條件，結(jié)合雙曲線的定義可得|PF1|，|PF2|的值，再結(jié)合焦距，利用勾股定理逆定理判定為直角三角形，進(jìn)而求得其面積.【詳解】由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，故為直角三角形，因此＝|PF1|·|PF2|＝24.故選：B.【點(diǎn)睛】利用定義得到到兩交點(diǎn)的距離之差，結(jié)合已知條件求得到兩焦點(diǎn)的距離是解決問題的關(guān)鍵.4．函數(shù)的部分圖像大致為A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意知，函數(shù)為奇函數(shù)，故排除B；當(dāng)時(shí)，，故排除D；當(dāng)時(shí)，，故排除A．故選C．點(diǎn)睛:函數(shù)圖像問題首先關(guān)注定義域，從圖像的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性，根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除部分選擇項(xiàng)，從圖像的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值，利用特值檢驗(yàn)，較難的需要研究單調(diào)性、極值等，從圖像的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．5．已知中，角，，的對邊分別為，，，且，，，則（    ）A． B． C．或 D．2或【答案】C【分析】根據(jù)已知條件利用余弦定理直接計(jì)算即可.【詳解】在中，，，，由余弦定理得，，即，解得或，故選：C6．我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長l與太陽天頂距θ（）的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表，根據(jù)三角學(xué)知識可知，晷影長度l等于表高h與太陽天頂距θ正切值的乘積，即.對同一“表高”兩次測量，第一次和第二次太陽天頂距分別為α，β，若第一次的“晷影長”是“表高”的2倍，且，則第二次的“晷影長”是“表高”的（    ）倍A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)題意可知，利用整體法與正切的和差公式即可求得，故得解.【詳解】由可得，所以由題意得，又，所以，所以第二次的“晷影長”是“表高”的1倍.故選：A．7．設(shè)，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造和，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，利用作商法判斷大小.【詳解】設(shè)則，，，在上單調(diào)遞增，，即，，，，，又，所以.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，，所以，，，又，故，綜上：，故選：D8．已知橢圓的上頂點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為，連接，并延長交橢圓于另一點(diǎn)P，若，則橢圓C的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意及橢圓的定義，可求得、的長，根據(jù)三角函數(shù)定義，求得根據(jù)余弦定理，可求得，根據(jù)兩角的關(guān)系，列出方程，代入離心率公式，即可得答案.【詳解】由題意得，所以，則，由橢圓的定義可得，所以，因?yàn)?/span>，所以，解得，，在中，，在中，，因?yàn)?/span>，所以，即，所以所以.故選：C 二、多選題9．下列說法正確的有（    ）A．命題“”是“”的充要條件B．命題“”的否定是：“”C．設(shè)都是非零向量，則是成立的充分不必要條件D．向量在向量上的投影向量是【答案】BCD【分析】根據(jù)充要條件判斷A,C選項(xiàng)，命題的否定的定義判斷B選項(xiàng)，根據(jù)投影向量定義判斷D選項(xiàng).【詳解】，當(dāng)對數(shù)不成立, 命題“”是“”的必要不充分條件，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；命題“”的否定是：“”，B選項(xiàng)正確；，都是非零向量，表示與同向的單位向量，與同向的單位向量，所以表示，的方向相同，而表示，的方向相同，且，所以是成立的充分不必要條件，故C選項(xiàng)正確；向量在向量上的投影向量是，故D選項(xiàng)正確；故選：BCD.10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（    ）A．若函數(shù)的最小正周期為，則其圖象關(guān)于直線對稱B．若函數(shù)的最小正周期為，則其圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為2D．若函數(shù)在有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】ACD【分析】對于A、B，根據(jù)周期求出，再代入檢驗(yàn)即可，對于C、D，由的取值范圍，求出的取值范圍，再根據(jù)所對應(yīng)的條件得到不等式組，解得即可.【詳解】解：對于A選項(xiàng)：∵的最小正周期為，∴，∴，故函數(shù)關(guān)于對稱，故A正確；對于B選項(xiàng)：∵的最小正周期為，∴，∴，故函數(shù)關(guān)于對稱，故B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)：∵，∴．又函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，∴，故C正確；對于D選項(xiàng)：∵，∴，又在有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則，∴，故D正確，故選：ACD．11．已知曲線：，則下列說法正確的是（    ）A．若曲線表示雙曲線，則B．若曲線表示橢圓，則且C．若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線且離心率為，則D．若曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，則【答案】BCD【分析】根據(jù)雙曲線，橢圓的特征一一計(jì)算可得；【詳解】解：對于A：若曲線：表示雙曲線，則，解得或，故A錯(cuò)誤；對于B：若曲線：表示橢圓，則，解得且，故B正確；對于C：若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線且離心率為，則，所以，則，解得，故C正確；對于D：橢圓的焦點(diǎn)為，若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，則，則，解得（舍去）；若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，則，則，解得，符合題意，故，故D正確；故選：BCD12．如圖，正方體的棱長為，、分別是棱、的中點(diǎn)，過點(diǎn)、的平面分別與棱、交于點(diǎn)、，則下列命題正確的是（    ）  A．平面與平面所成角的最大值為B．四邊形的面積的最小值為C．四棱錐的體積為定值D．點(diǎn)到平面的距離的最大值為【答案】BCD【分析】由兩平面所成角定義，計(jì)算可得所求最大值，可判斷A；由四邊形為菱形，計(jì)算面積，分析的最小值，可判斷B；由棱錐的等體積法，計(jì)算可判斷C；由等體積法和函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，平面平面，所以，，同理可得，所以，四邊形為平行四邊形，又直角梯形和直角梯形全等，得，所以四邊形為菱形，且，取的中點(diǎn)，連接、，取的中點(diǎn)，連接、，  因?yàn)?/span>，，、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，因?yàn)?/span>平面，平面，所以，平面，同理可得，平面，且，因?yàn)?/span>，、平面，所以，平面平面，所以，平面與平面所成的角等于平面與平面所成的角，因?yàn)?/span>，為的中點(diǎn)，所以，，同理可知，又因?yàn)槠矫?/span>平面，所以，平面與平面的平面角等于，因?yàn)?/span>平面，所以，平面，因?yàn)?/span>平面，所以，，易知四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)?/span>，，，則，所以，，所以，，所以，，A錯(cuò)；對于B，因?yàn)?/span>，，所以，，B對；對于C，四棱錐的體積為，故C正確；對于D，設(shè)，則，，  設(shè)到平面的距離為，可得，當(dāng)時(shí)，，所以（其中)，當(dāng)時(shí)，（其中)，則，所以，，故當(dāng)即時(shí)，取得最大值，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求點(diǎn)到平面的距離，方法如下：（1）等體積法：先計(jì)算出四面體的體積，然后計(jì)算出的面積，利用錐體的體積公式可計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離；（2）空間向量法：先計(jì)算出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)到平面的距離為. 三、填空題13．已知，且，則        ．【答案】【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式求解即可.【詳解】由題意，，即.故答案為：14．已知雙曲線：的左?右焦點(diǎn)分別為,，點(diǎn)，分別為漸近線和雙曲線左支上的動點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，面積為           .【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的定義把求的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值；然后再判斷出當(dāng)，，三點(diǎn)共線且垂直于漸近線時(shí)，取得最小值.【詳解】由題意知，，，不妨取其中一條浙近線，由雙曲線定義知，所以，所以，所以當(dāng)，，三點(diǎn)共線且垂直于漸近線時(shí)，取得最小值，此時(shí)，直線方程為，由，得，故點(diǎn)，.故答案為：.15．已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P在橢圓上運(yùn)動，則的最小值為   ．【答案】1【分析】利用橢圓的定義知，利用基本不等式即可求出的最小值.【詳解】因?yàn)?/span>是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P在橢圓上運(yùn)動，所以.所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）.所以.即的最小值為1.故答案為：116．已知，且，若，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為       ．【答案】【分析】由條件可得，利用基本不等式求其最小值，結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求的最小值，由此可得的取值范圍.【詳解】因?yàn)?/span>，故，且；因?yàn)?/span>，故，令，，因?yàn)?/span>，，則且，則；因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立，故，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：. 四、解答題17．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用，求得通項(xiàng)公式，利用的前項(xiàng)公式求得，進(jìn)而求得.（2）利用錯(cuò)位求和法求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）由題意知，①，可得②，兩式相減得：，整理得：，即，因?yàn)?/span>，所以．令可得：，解得，即，所以．所以．所以，，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以．（2）令，前項(xiàng)和為，則有：，等式兩邊同乘以2有：，兩式相減得：，整理化簡得：．18．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)先將的圖象向左平移個(gè)單位，再保持縱坐標(biāo)不變，將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，再將函數(shù)圖象向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象．求函數(shù)在上的值域．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡函數(shù)得，然后由可求出函數(shù)的增區(qū)間，（2）由三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出，令，由求出的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】（1）化簡得：令，，解得，，所以函數(shù)的增區(qū)間為．（2）將的圖象向左平移個(gè)單位，再保持縱坐標(biāo)不變，得，再將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，得，再將函數(shù)圖象向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)，令，則的取值范圍是，則的取值范圍是，所以的取值范圍是．19．如圖，在直四棱柱中，底面是菱形，是的中點(diǎn). (1)求證：平面；(2)已知，，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析.(2) 【分析】（1）連接交于，連接，易得，再根據(jù)線面平行的判定即可證結(jié)論.（2）為中點(diǎn)，結(jié)合已知可構(gòu)建以為原點(diǎn)，，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，并求出直線的方向向量和平面的法向量，由空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）由題設(shè)，連接交于，易知：是的中點(diǎn)，連接，∵是的中點(diǎn)，∴，又面，面，∴面.（2）底面是菱形，，即，若為中點(diǎn)，則，∴，故在直四棱柱中有、、，∴可構(gòu)建以為原點(diǎn)，，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，∴，則，若是面的一個(gè)法向量，則，令，則，∴，故直線與平面所成角的正弦值.20．某企業(yè)有甲、乙兩條生產(chǎn)線，其產(chǎn)量之比為 .現(xiàn)從兩條生產(chǎn)線上按分層抽樣的方法得到一個(gè)樣本，其部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表（單位：件），且每件產(chǎn)品都有各自生產(chǎn)線的標(biāo)記.產(chǎn)品件數(shù)一等品二等品總計(jì)甲生產(chǎn)線  乙生產(chǎn)線  總計(jì)  (1)請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)估計(jì)；大約有多大把握認(rèn)為產(chǎn)品的等級差異與生產(chǎn)線有關(guān)?(2)為進(jìn)一步了解產(chǎn)品出現(xiàn)等級差異的原因，現(xiàn)將樣本中所有二等品逐個(gè)進(jìn)行技術(shù)檢驗(yàn)（隨機(jī)抽取且不放回）.設(shè)甲生產(chǎn)線的兩個(gè)二等品恰好檢驗(yàn)完畢時(shí)，已檢驗(yàn)乙生產(chǎn)線二等品的件數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式：.【答案】(1)答案見解析；(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為2. 【分析】（1）分析題意完成2×2列聯(lián)表,直接套公式求出，對照參數(shù)下結(jié)論；（2）直接求出概率，寫出分布列，套公式求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意可得，一共抽樣50個(gè)，產(chǎn)量之比為 ，按分層抽樣抽取，故甲生產(chǎn)線抽取，乙生產(chǎn)線抽取，故甲生產(chǎn)線抽取一等品40-2=38，乙生產(chǎn)線抽取二等品10-7=3，填表如下：產(chǎn)品件數(shù)一等品二等品總計(jì)甲生產(chǎn)線3840乙生產(chǎn)線310總計(jì)455所以，故有97.5％把握認(rèn)為產(chǎn)品的等級差異與生產(chǎn)線有關(guān)（2）依題意得，檢驗(yàn)順序的所有可能為甲甲乙乙乙，甲乙甲乙乙，乙甲甲乙乙，甲乙乙甲乙，乙甲乙甲乙，乙乙甲甲乙，甲乙乙乙甲，乙甲乙乙甲，乙乙甲乙甲，乙乙乙甲甲，共10種可能.的所有可能取值為：0，1，2，3.故，，，，則的分布列為：0123P所以21．已知函數(shù).(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若x=0為函數(shù)的極值點(diǎn)，且函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義即可得到切線方程；（2）由函數(shù)的極值點(diǎn)確定參數(shù)值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】（1）依題意，故；而，故，又故所求切線方程為；（2）令，則；，.而，解得，經(jīng)檢驗(yàn)成立所以，故函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R；令，解得或；故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；而，，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出的大致圖象如圖所示，觀察可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為22．已知橢圓的離心率為，且與為方程的兩根.（1）求橢圓的方程；（2）過右焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，與關(guān)于軸對稱，是與軸的交點(diǎn)，若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)與為方程的兩根，求得a，b即可；（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立， 由，轉(zhuǎn)化為，即求解.【詳解】（1）因?yàn)榉匠?/span>的根為，3，且，所以，又，解得，故橢圓方程為； （2）由（1）可知右焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，則，令，得.聯(lián)立，整理得，設(shè)，則，∵，∴，則.又因?yàn)?/span>，∴，，，，即，整理得，解得或（舍去）故. 

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