2023屆新疆維吾爾自治區(qū)和田地區(qū)墨玉縣高三上學(xué)期期中教學(xué)情況調(diào)研數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用虛部的定義進(jìn)行求解【詳解】,故虛部為,故選：.2．設(shè)集合，則（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后用交集定義即可求解【詳解】集合所以.故選：D．3．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（    ）A．10 B．12 C．16 D．32【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為根據(jù)條件求出公比即可得解.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，解得或（舍去）所以故選：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4．已知為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C． D．【答案】D【解析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，結(jié)合基本不等式，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，∴，∴，∴或，故A不正確； 若，則，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故B不成立. 若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故C不正確； 因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的性質(zhì)、基本不等式等知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活利用基本不等式和等比數(shù)列的性質(zhì)．5．已知命題;命題，則下列命題中為真命題的是（    ）A． B． C．  D． 【答案】B【分析】由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得出命題P為假命題，利用基本不等式可得命題q為假命題.進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】命題，在R上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，所以P為假命題；命題， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”成立，所以q為真命題.所以為真，為真故選：B6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值是（ ）A．53 B．159 C．161 D．485【答案】C【分析】根據(jù)框圖，依次代入與的值，當(dāng)不滿足時(shí)結(jié)束循環(huán)，即可求解.【詳解】執(zhí)行循環(huán)體，依次得到：，；滿足條件繼續(xù)循環(huán)，；滿足條件繼續(xù)循環(huán)，；滿足條件繼續(xù)循環(huán)，，此時(shí)不滿足條件，輸出161，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖循環(huán)體結(jié)構(gòu)的輸出值，屬于基礎(chǔ)題.7．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】作出三棱錐的直觀圖，結(jié)合三視圖中的數(shù)據(jù)計(jì)算出三棱錐各條棱的棱長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】該三棱錐直觀圖如圖所示，其中，，，，因此，該三棱錐的最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖，考查考生的空間想象能力，屬于中等題.8．函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立, 則的最大值與最小值之和為A．18 B．16 C．14 D．【答案】B【分析】由條件求得，，把看作點(diǎn)畫出可行域，由斜率模型可得，令，則，由的單調(diào)性得時(shí)，有最大值為10，時(shí)，有最小值為6，從而求得最大值與最小值的和．【詳解】令，由題意當(dāng)時(shí)，可得，∴，，即 ①，  ②．把看作點(diǎn)畫出可行域，如圖所示：，易得，由斜率模型可得．又，令，則，∵在上單調(diào)遞減，在遞增，∴時(shí)，有最大值為10，時(shí)，有最小值為6；故最大值與最小值的和為16，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式組所表示的區(qū)域，對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)等，屬于中檔題.9．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則的一個(gè)可能取值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件可得，然后可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以所以，即故選：B10．已知a，b為正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最小值為（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，由，展開利用基本不等式即可求解.【詳解】由，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立．故選：C．11．已知，，函數(shù)的零點(diǎn)為c，則（　　）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c【答案】B【分析】由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得，又，，從而即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，且，，所以的零點(diǎn)所在區(qū)間為，即．又因?yàn)?/span>，，所以a＜c＜b．故選：B.12．若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(-∞，0]單調(diào)遞減，則f(1)，f(2)，f(3)的大小關(guān)系是（     ）A．f(1)< f(2) < f(3) B．f(1)< f(3)< f(2)C．f(3)< f(2)< f(1) D．f(3)< f(1)< f(2)【答案】C【分析】由函數(shù)f(x)的單調(diào)性比較f(-1)，f(-2)，f(-3)的大小，再利用奇函數(shù)計(jì)算變形即得【詳解】因函數(shù)f(x)在(-∞，0]單調(diào)遞減，而-3<-2<-1，于是有f(-3)>f(-2)>f(-1)，又函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，則有-f(3)>-f(2)>-f(1)，即f(3)<f(2)<f(1)，所以f(1)，f(2)，f(3)的大小關(guān)系是：f(3)<f(2)<f(1).故選：C 二、填空題13．寫出一個(gè)最大值為3，最小正周期為2的偶函數(shù)___________.【答案】(答案不唯—)【分析】根據(jù)題意，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)解析式【詳解】解：因?yàn)?/span>是最大值為3，最小正周期為2的偶函數(shù)，所以，或，或等（答案不唯—)，故答案為：（答案不唯一）14．已知集合或，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】或【分析】分和兩種情況討論，結(jié)合得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解出即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，滿足要求；當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可得或，解得或．    綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為或.故答案為或.【點(diǎn)睛】本題考查利用集合包含關(guān)系求參數(shù)，解題時(shí)要對(duì)含參數(shù)的集合分空集和非空集合兩種情況討論，結(jié)合包含關(guān)系列不等式（組）進(jìn)行求解，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.15．已知平面截球O的球面所得圓的面積為，O到的距離為3，則球O的表面積為________．【答案】【分析】根據(jù)球心到平面的距離結(jié)合球的截面圓性質(zhì)，利用勾股定理算出球半徑的值，再根據(jù)球的表面積公式，可得球的表面積．【詳解】解：平面截球的球面所得圓的面積為，則圓的半徑為1，該平面與球心的距離，球半徑．球的表面積．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積的求法，著重考查了球的截面圓性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．16．已知函數(shù)．給出下列命題：①必是偶函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，的圖像必關(guān)于直線x＝1對(duì)稱；③若，則在區(qū)間上是增函數(shù)；④有最大值． 其中正確的序號(hào)是 .【答案】③【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，不是偶函數(shù)，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)，滿足，但函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，③正確；對(duì)于④，若，函數(shù)在區(qū)間上的最大值不一定是，如時(shí)，函數(shù)的圖象在軸上方，④錯(cuò)誤.綜上所述：正確的命題序號(hào)為③.故答案為③. 三、解答題17．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期和遞增區(qū)間;(2)若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍,并計(jì)算的值．【答案】(1)最小正周期，遞增區(qū)間為()；(2)，. 【分析】（1）利用倍角公式對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解函數(shù)的周期和遞增區(qū)間；（2）函數(shù)的零點(diǎn)即為函數(shù)與的交點(diǎn)，設(shè)，畫出的圖象即可確定的范圍，并能求出關(guān)于直線對(duì)稱，利用對(duì)稱性求出，即可求解.【詳解】（1）()，∴函數(shù)的最小正周期為，由得：()，∴函數(shù)的遞增區(qū)間為()；（2）∵方程同解于；令，當(dāng)時(shí)，，所以在，即上單調(diào)遞增，在，即上單調(diào)遞減，畫出在的圖象，如圖所示：當(dāng)時(shí)，在和上有兩個(gè)解，即方程在和有兩個(gè)不同的解，且關(guān)于直線對(duì)稱，即，∴，．18．如圖，在三棱錐中，，，O為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若點(diǎn)M在線段上，且，求三棱錐的體積.【答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）由已知可得，，可證平面，由平面，可得：.（2）由，知，所以，為三棱錐的高，利用等體積法計(jì)算三棱錐的體積即可.【詳解】（1）∵，O為的中點(diǎn)，∴，且，連接，因?yàn)?/span>，∴為等腰直角三角形，且，，由，知，由，知平面，又∵平面，∴；（2）由，知，所以，由（1）知平面，所以，即為三棱錐的高，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線線垂直關(guān)系的判定，考查幾何體的體積的求法，考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力，屬于高考?？碱}型.19．某居民小區(qū)有三個(gè)相互獨(dú)立的消防通道，通道在任意時(shí)刻暢通的概率分別為．（1）求在任意時(shí)刻至少有兩個(gè)消防通道暢通的概率；（2）在對(duì)消防通道的三次相互獨(dú)立的檢查中，記暢通的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）【分析】（1）分類計(jì)算概率后求和（2）由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式求解【詳解】（1）由已知通道暢通的概率分別為，設(shè)“至少有兩個(gè)消防通道暢通”為事件，．（Ⅱ）的所有可能為，，，，． 的分布列為： 數(shù)學(xué)期望．20．已知橢圓的右焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，的面積的最大值為.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點(diǎn)為，圓同時(shí)與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）當(dāng)的面積最大時(shí)，點(diǎn)位于橢圓的上或下頂點(diǎn)，列式計(jì)算橢圓的離心率；（2）根據(jù)題意寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)，求解的值，再利用圓同時(shí)與軸和直線相切，求，得到橢圓方程.【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)位于橢圓的上或下頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，此時(shí)有，即，，，即 得或（舍，離心率.故橢圓的離心率為.（2）由題可知，直線的方程為，橢圓的方程為，聯(lián)立，得，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為.點(diǎn)在直線上，可設(shè)點(diǎn)為，又，，即，，點(diǎn).圓同時(shí)與軸和直線相切，即，解得，故橢圓的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查直線方程，圓，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，以及橢圓的性質(zhì)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，計(jì)算能力，屬于中檔題型.21．已知函數(shù)（1）已知直線與曲線相切，且與坐標(biāo)軸圍成等腰三角形，求直線的方程；（2）已知，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線被坐標(biāo)軸截得的線段長(zhǎng)度為，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】(1) ，由題意可知直線的斜率為，從而可求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出切線的方程.(2)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線方程，從而得到切線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得，令，得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可判斷的單調(diào)性，從而可求出最大值.【詳解】（1），由題可知直線的斜率為，令可得，又因?yàn)?/span>，所以直線的方程為．（2）曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，又因?yàn)?/span>，所以，則切線方程為，切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為 所以，，令，則，，設(shè)，當(dāng),,則函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以存在，，即．與在區(qū)間上的情況如下：極小值又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)即時(shí)，取到最大值．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題第二問的關(guān)鍵是求的函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)零點(diǎn)和方程根的關(guān)系可求出的單調(diào)性，從而可求出最大值.22．求直線和直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，及點(diǎn)與的距離．【答案】（1）；（2）.【詳解】本試題主要考查了直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的運(yùn)用．解：將代入得，…………………………6分得，而，得……………………12分23．選修4-5：不等式選講已知不等式的解集為（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【詳解】試題分析：（Ⅰ）不等式轉(zhuǎn)化為和兩種情形來解，解得，即可求的值；（Ⅱ）由題意，等價(jià)于有解，結(jié)合基本不等式，即可求實(shí)數(shù) 的值.試題解析：（Ⅰ）不等式轉(zhuǎn)化為或，解得，；（Ⅱ）由題意，等價(jià)于有解，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，有解，，，. 

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