2023屆遼寧省大連市第八中學(xué)高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．集合滿足，則集合中的元素個(gè)數(shù)為（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)交集的結(jié)果可得，再根據(jù)并集的結(jié)果可得，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又，所以，所以，即集合中的元素個(gè)數(shù)為5.故選：D.2．已知復(fù)數(shù)，現(xiàn)有如下說法：①；②復(fù)數(shù)的實(shí)部為正數(shù)；③復(fù)數(shù)的虛部為正數(shù)，則正確說法的個(gè)數(shù)為（    ）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的概念判斷各個(gè)命題作答.【詳解】復(fù)數(shù)，則，復(fù)數(shù)的實(shí)部為，復(fù)數(shù)的虛部為，因此命題①②③都正確，即正確說法的個(gè)數(shù)為3.故選：A3．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，給出以下條件，其中一定可以推出為等比數(shù)列的條件是（    ）A． B． C． D．是等比數(shù)列【答案】A【分析】用與的關(guān)系，求出通項(xiàng)公式，根據(jù)等比數(shù)列的判定，即可判斷正誤.【詳解】對(duì)于A，已知，所以，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，，符合上式所以是通項(xiàng)為的等比數(shù)列，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，已知，所以，，不符合上式所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，已知，當(dāng)首項(xiàng)為零時(shí)，不符合題意，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，已知是等比數(shù)列，則設(shè)的通項(xiàng)公式為不符合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A.4．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角恒等變換化簡已知條件，結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式求得正確答案.【詳解】，，..故選：A5．高德納箭頭表示法是一種用來表示很大的整數(shù)的方法，它的意義來自乘法是重復(fù)的加法，冪是重復(fù)的乘法.定義：，（從右往左計(jì)算）.已知可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)約為，則下列各數(shù)中與最接近的是（    ）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)高德納箭頭表示法即可求解，進(jìn)而根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算與指數(shù)的互化即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，故，取對(duì)數(shù)得，故，故最接近的是，故選：C6．如圖，已知正三棱柱，E，F分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先用幾何法表示出，再根據(jù)邊長關(guān)系即可比較大?。?/span>【詳解】如圖所示，過點(diǎn)作于，過作于，連接，則，，，，，，所以，故選：A． 7．圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國人所崇拜的圖騰．如圖，是圓的一條直徑，且．，是圓上的任意兩點(diǎn)，，點(diǎn)在線段上，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)為圓心，連接，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，根據(jù)點(diǎn)在線段 上，即可求出的取值范圍，即可得解．【詳解】解：如圖，為圓心，連接，則，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上且，則圓心到直線CD的距離，所以，所以，則，即的取值范圍是,．故選：D．8．已知是定義域?yàn)?/span>的單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意的，都有，且方程在區(qū)間上有兩解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的解析式，再分析函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合圖象求解作答.【詳解】因?yàn)槎x在上的單調(diào)函數(shù)，對(duì)任意的，都有，則存在正數(shù)，使得，且，于是，即，而函數(shù)在上的單調(diào)遞增，且，因此，，方程，依題意，方程在區(qū)間上有兩解，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值值集合為，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，如圖，觀察圖象，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問題，可以通過分離參數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答. 二、多選題9．下列各式正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】利用組合數(shù)公式及性質(zhì)計(jì)算判斷判斷ABC；利用二項(xiàng)式定理判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，C正確；對(duì)于D，，D正確.故選：CD 10．若由函數(shù)構(gòu)造的數(shù)列滿足，則稱為單位收斂函數(shù).下列四個(gè)函數(shù)中，為單位收斂函數(shù)的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】對(duì)于A，根據(jù)函數(shù)的形式可得數(shù)列的通項(xiàng)，利用放縮法可得前8項(xiàng)和大于1，故可判斷A的正誤；對(duì)于B、D利用裂項(xiàng)相消法可判斷BD的正誤；對(duì)于C，利用求和公式和不等式的性質(zhì)可判斷C的正誤.【詳解】若，則，則，故不是單位收斂函數(shù).若，則，故為單位收斂函數(shù).若，則，，故為單位收斂函數(shù).若，則，，當(dāng)時(shí)，，故不是單位收斂函數(shù).故選：BC.11．已知拋物線，C的準(zhǔn)線與x軸交于K，過焦點(diǎn)F的直線l與C交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為M，過M作的垂線交x軸于D，下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C．最小值為p D．【答案】ABD【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程，設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理、斜率坐標(biāo)公式逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則，顯然直線不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)直線的方程為，，由消去x得：，設(shè)，則有，，對(duì)于A，直線斜率，直線斜率，即，因此，A正確；對(duì)于B，，則，B正確；對(duì)于C，顯然，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，顯然點(diǎn)，直線的方程為，令，得，即點(diǎn)，因此，D正確.故選：ABD12．如圖，正方體中，頂點(diǎn)在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，頂點(diǎn)到的距離分別為，則（    ）A．平面B．平面平面C．直線與所成角比直線與所成角大D．正方體的棱長為【答案】ABD【分析】根據(jù)點(diǎn)到面的距離的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、線面角的定義、面面相交的性質(zhì)進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】解：設(shè)的交點(diǎn)為，顯然是、的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?/span>，到平面的距離為，所以到平面的距離為，又到平面的距離為，所以平面，即平面，即A正確；設(shè)平面，所以，因?yàn)?/span>是正方形，所以，又因?yàn)?/span>平面，平面，所以，因?yàn)?/span>平面，所以平面，因此有平面，而，所以平面平面，因此選項(xiàng)B正確；設(shè)到平面的距離為，因?yàn)槠矫?/span>，是正方形，點(diǎn)，B到的距離分別為，1，所以有，設(shè)正方體的棱長為，設(shè)直線與所成角為，所以，設(shè)直線與所成角為，所以，因?yàn)?/span>，所以，因此選項(xiàng)C不正確；因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，所以在平面的射影與共線，顯然，如圖所示：由，，由（負(fù)值舍去）， 因此選項(xiàng)D正確，故選：ABD 三、填空題13．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為      個(gè).【答案】1【分析】令，求解即可.【詳解】由題意，令，即，即，解得，即函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn).故答案為：114．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間是      ．【答案】，【分析】由題可得，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】因?yàn)?/span>，∴，∴，由，，得，，所以的單調(diào)減區(qū)間為．故答案為：．15．橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)F1，F2，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且∠F1PF2=，記橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2，則e1e2的最小值為     ．【答案】 【分析】設(shè)出橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：，，利用定義可得：，解出，利用余弦定理可得關(guān)于的等式，再由基本不等式求得當(dāng)取最小值．【詳解】不妨設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：，設(shè)， 則，，，化為：，，，，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與雙曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、余弦定理、基本不等式的性質(zhì)，屬于難題．解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法.16．已知三棱錐，P是面內(nèi)任意一點(diǎn)，數(shù)列共9項(xiàng)，且滿足，滿足上述條件的數(shù)列共有           個(gè).【答案】70【分析】根據(jù)共面得出與關(guān)系后分類討論求解【詳解】解：因?yàn)?/span>P是面內(nèi)任意一點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面，因?yàn)?/span>，所以，即，解得或，可轉(zhuǎn)化為組合計(jì)數(shù)問題①若，則，只有1個(gè)②若，則，有個(gè)③若，則，有個(gè)④若，則，有個(gè)⑤若，則，只有1個(gè)共70個(gè)故答案為：70 四、解答題17．在①；②，；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.問題：已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若 .(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2) 【分析】（1）選①由與的關(guān)系求解即可；選②③由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式求解即可；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法求解即可【詳解】（1）若選①：在等差數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，也符合，∴；若選②：在等差數(shù)列中，，，解得；若選③：在等差數(shù)列中，，解得；（2）由（1）得，所以18．在中，，(1)求角C的大小；(2)求的取值范圍．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理得到，從而求出；（2）先得到，，令，應(yīng)用三角恒等變換及換元得到，由導(dǎo)函數(shù)得到在上單調(diào)遞增，求出.【詳解】（1）設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，由正弦定理及，得，整理得，由余弦定理得，又，∴．（2）由（1）知，，∴． 令，∴．∴．令，則在上恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴．即的取值范圍為．19．1.某科研機(jī)構(gòu)為了研究某種藥物對(duì)某種疾病的治療效果，準(zhǔn)備利用小白鼠進(jìn)行科學(xué)試驗(yàn)．研究發(fā)現(xiàn)，藥物在血液內(nèi)的濃度與時(shí)間的關(guān)系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式給藥，則在注射后的4小時(shí)內(nèi)，藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度（單位：毫克/升）與時(shí)間t（單位：小時(shí)）滿足關(guān)系式（，a為常數(shù)）；若使用口服方式給藥，則藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度（單位：毫克/升）與時(shí)間t（單位：小時(shí)）滿足關(guān)系式現(xiàn)對(duì)小白鼠同時(shí)進(jìn)行注射和口服該種藥物，且注射藥物和口服藥物的吸收與代謝互不干擾．假設(shè)同時(shí)使用兩種方式給藥后，小白鼠血液中藥物的濃度等于單獨(dú)使用每種方式給藥的濃度之和．(1)若，求4小時(shí)內(nèi)，該小白鼠何時(shí)血液中藥物的濃度最高，并求出最大值；(2)若要使小白鼠在用藥后4小時(shí)內(nèi)血液中的藥物濃度都不低于4毫克/升，求正數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)當(dāng)時(shí)血液中藥物的濃度最高，最大值為6(2) 【分析】（1）根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)最值求法和基本不等式求得答案；（2）討論和兩種情況，【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度y與時(shí)間t的關(guān)系為①當(dāng)時(shí)，．②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），所以．故當(dāng)時(shí)血液中藥物的濃度最高，最大值為6．（2）由題意得①當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，，則，故；②當(dāng)時(shí)，，由，得，令，則，，則，故．綜上，．20．如圖，在四棱錐中，PA面ABCD，ABCD，且CD=2，AB=1，BC=，PA=1，ABBC，N為PD的中點(diǎn)．(1)求證：AN平面PBC；(2)在線段PD上是否存在一點(diǎn)M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存在，說明理由；(3)在平面PBC內(nèi)是否存在點(diǎn)H，滿足，若不存在，請(qǐng)簡單說明理由；若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)H的軌跡圖形形狀（不必證明）．【答案】(1)見解析(2)存在，(3)存在點(diǎn)H，點(diǎn)H的軌跡為橢圓 【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，證明，，從而可得平面平面，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得證；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法結(jié)合線面角的正弦值求解即可；（3）根據(jù)共面，可得存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)使得，由此將點(diǎn)的坐標(biāo)用表示，再根據(jù)求出的關(guān)系式，即可得出答案.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>N為PD的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)?/span>，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，又因平面，所以平面平面，又平面，所以平面；（2）解：假設(shè)存在，設(shè)，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，整理得，解得或（舍去），所以當(dāng)時(shí)，直線CM與平面PBC所成角的正弦值是；（3）解：假設(shè)存在，設(shè)，，因?yàn)?/span>共面，所以存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)使得，即，則，所以，故，則，則，整理得，所以點(diǎn)H的軌跡為橢圓，所以存在點(diǎn)H，點(diǎn)H的軌跡為橢圓.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的證明，考查了滿足線面角的點(diǎn)是否存在的判斷與方法，本題解決第三問的關(guān)鍵在于如何將點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，有一定的難度.21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為直線：與橢圓：的一個(gè)交點(diǎn)，且，.（1）證明：直線與橢圓相切；（2）已知直線與橢圓：交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn).（i）證明：橢圓的離心率為定值；（ii）記的面積為，若，證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析；【分析】（1）聯(lián)立橢圓與直線的方程，得關(guān)于的一元二次方程，由表示出，代入，計(jì)算得，可證明直線與橢圓相切；（2）（i）聯(lián)立方程，得關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理代入化簡得的關(guān)系，即可求得離心率；（ii）由弦長公式表示出，利用點(diǎn)到直線距離公式求解的高，代入面積公式，化簡計(jì)算得，即可證明.【詳解】（1）由題意，，得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，且，所以，代入的表達(dá)式可得， ，所以直線與橢圓相切；（2）（i），可得，由韋達(dá)定理知，，又因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，解得，所以為定值；（ii），所以，由（i）中韋達(dá)定理知，，所以，因?yàn)?/span>，代入化簡得，因?yàn)?/span>，所以，證明，只需證，又因?yàn)?/span>顯然成立，所以成立.【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．22．已知，.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，（），證明：且.【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為；(2)證明見詳解. 【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系，判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）由條件，分離參數(shù)，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間及最值情況，利用數(shù)形結(jié)合將問題轉(zhuǎn)化為圖像交點(diǎn)問題，從而證得參數(shù)a的取值范圍；令，將證明的結(jié)論等價(jià)轉(zhuǎn)化為，從而，令，通過導(dǎo)數(shù)研究其最大值情況，從而證明結(jié)論；【詳解】（1）的定義域?yàn)?/span>，又，由得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的減區(qū)間為：，增區(qū)間為：.（2）證明：由存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，整理得方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根．由，知，令，則，當(dāng)時(shí)，減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，增函數(shù)．所以．因?yàn)?/span>趨向于或，趨向，所以的值域?yàn)?/span>，問題等價(jià)于直線和有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．，且，所以，從而．令，則，解得，，而，下面證明時(shí)，，令，則，令，則，在為減函數(shù)，，在為減函數(shù)，，在為減函數(shù)，，即．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最值情況以及交點(diǎn)，零點(diǎn)情況；帶參數(shù)時(shí)，可以分離參數(shù)或者帶參分類討論這兩種方法來求得參數(shù)取值范圍；對(duì)于雙變量問題的證明，一般需要找到兩個(gè)變量間的關(guān)系，利用另一個(gè)變量來表示這兩個(gè)變量，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，借助導(dǎo)數(shù)證得結(jié)論. 

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