2024屆福建省連城縣第一中學(xué)高三上學(xué)期暑期月考（8月）數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A．  B．  C．  D． 【答案】C【分析】先求集合B，然后取交集即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以．故選：C2．已知a=， b=， c=，則a，b，c的大小關(guān)系為（    ）A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a【答案】A【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性，借助中間量即可比較大小.【詳解】解：由函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故.故選：A.3．已知命題，若命題p是假命題，則a的取值范圍為（    ）A．  B． C． D．【答案】B【分析】由命題p是假命題，可知其否定為真命題，由此結(jié)合判別式列不等式，解得答案.【詳解】由題意:命題是假命題,其否定: 為真命題, 即，解得，故選：B4．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（    ）A． B． C．5 D．6【答案】C【分析】先求出，再求出即得解.【詳解】解：由已知，函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則．由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，，則．因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以.故選：C．5．函數(shù)在區(qū)間的圖像大致為（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】B【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再計(jì)算時(shí)函數(shù)值的大小，進(jìn)行排除即可求得答案．【詳解】，，故為偶函數(shù)，故排除AC，當(dāng)時(shí)，，故排除D．故選：B．6．給定函數(shù)，，.用表示，中的較小者，記為，則的最大值為（    ）A． B．1 C．0 D．2【答案】A【分析】先把 寫成分段函數(shù)的形式，再求其最大值即可.【詳解】令得 ，所以 當(dāng) 時(shí)，，當(dāng)時(shí)， 綜上所述，.故選：A7．已知定義在上的函數(shù)滿足，①，② 為奇函數(shù)，③當(dāng)時(shí)，恒成立.則、、的大小關(guān)系正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)單調(diào)性的定義可得在上單調(diào)遞增，根據(jù)已知條件可得是周期為的奇函數(shù)，根據(jù)周期性和單調(diào)性即可求解.【詳解】由可得的周期為，因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，因?yàn)?/span>時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，，，所以，即.故選：C.8．若正實(shí)數(shù)，滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A．或 B．C．或 D．【答案】A【分析】由題意可得，將展開利用基本不等式求得最小值，再解不等式即可求解.【詳解】若不等式有解，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，最小值為，所以，即，所以，解得：或，故選：A. 二、多選題9．下列命題中，錯(cuò)誤的命題有（    ）A．命題“，”的否定為“，”B．函數(shù)與是同一個(gè)函數(shù)C．函數(shù)的最小值為4D．設(shè)函數(shù)，則在R上單調(diào)遞增【答案】BCD【分析】利用命題的否定定義判斷選項(xiàng)A；利用同一函數(shù)定義判斷選項(xiàng)B；利用均值定理判斷選項(xiàng)C；利用函數(shù)單調(diào)性定義否定選項(xiàng)D.【詳解】命題“，”的否定為“，”，滿足命題的否定形式，所以A正確；函數(shù)定義域?yàn)?/span>R，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，所以兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，故兩個(gè)函數(shù)不是相同函數(shù).所以B不正確；函數(shù)，因?yàn)?/span>，所以，可知，所以4不是函數(shù)最小值，所以C不正確；設(shè)函數(shù)，由，可知函數(shù)在R上不單調(diào)遞增，所以D不正確；故選：BCD.10．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在單調(diào)遞增的有（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】分別對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算驗(yàn)證即可得出結(jié)論.【詳解】對于A，函數(shù)滿足，所以函數(shù)為奇函數(shù)，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故A正確；對于B，函數(shù)滿足，所以函數(shù)為奇函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則可知，因?yàn)?/span>，所以，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，故B正確；對于C,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，故在不是單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對于D，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，所以函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，令，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ABD.11．若，則有（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】A．利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷；B．利用冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷；C．利用作差法進(jìn)行判斷；D．利用作差法進(jìn)行判斷.【詳解】A．因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，所以，故錯(cuò)誤；B．因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以，故正確；C．因?yàn)?/span>，所以，故正確；D．因?yàn)?/span>，且無法確定正負(fù)，故錯(cuò)誤；故選：BC.12．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，對任意的，恒有，則下列說法正確的有（    ）A． B．必為奇函數(shù)C． D．若，則【答案】BCD【分析】賦值法求的值，判斷A；賦值法結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)奇偶性的定義，判斷B；賦值法結(jié)合換元法判斷C；利用賦值法求得的值有周期性，即可求得的值，判斷D.【詳解】對于A，令，則由可得，故或，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，令，則，則，故，函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，令，則，所以，則，即，則為奇函數(shù)，綜合以上可知必為奇函數(shù)，B正確；對于C，令 ，則，故.由于,令,即，即有，故C正確；對于D，若，令 ，則，則 ，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即， 由此可得的值有周期性，且6個(gè)為一周期，且 ，故，故D正確，故選：BCD. 三、填空題13．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>      ．【答案】【分析】直接根據(jù)題意列出不等式即可.【詳解】由題意得，則定義域?yàn)?/span>，故答案為：.14．若函數(shù)為奇函數(shù).則           .【答案】4【分析】由是定義在上的奇函數(shù),可知對任意的,都成立,計(jì)算即可求得的值.【詳解】由題意,的定義域?yàn)?/span>,是奇函數(shù),則,故,即，整理得,解得.故答案為：15．已知，則的最大值為         ．【答案】2【分析】根據(jù)均值不等式求最值即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>，由基本不等式得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號．則，因此的最大值是2．故答案為：216．已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是             ．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)法，作出函數(shù)的大致圖象，令，或，由沒有解，得到的解的個(gè)數(shù)與方程解的個(gè)數(shù)相等求解.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，與一次函數(shù)相比，函數(shù)增長更快，從而，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，與對數(shù)函數(shù)相比，一次函數(shù)增長更快，從而當(dāng)，且時(shí)，，根據(jù)以上信息，可作出函數(shù)的大致圖象：  令，得或，由圖象可得沒有解，所以方程的解的個(gè)數(shù)與方程解的個(gè)數(shù)相等，而方程的解的個(gè)數(shù)與函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)相等，由圖可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)．故答案為： 四、解答題17．設(shè)實(shí)數(shù)滿足，其中；實(shí)數(shù)滿足．(1)若為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）解不等式即可得出的取值范圍；（2）解不等式，根據(jù)題意可得出集合的包含關(guān)系，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：若命題為真命題，解不等式，可得.（2）解：因?yàn)?/span>，解不等式可得，因?yàn)?/span>是的必要不充分條件，則?，所以，，解得.當(dāng)時(shí)，則有?，合乎題意；當(dāng)時(shí)，則有?，合乎題意.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.18．從“①，；②方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，；③，”這三個(gè)條件中任意選擇一個(gè)，補(bǔ)充到下面橫線處，并解答.已知函數(shù)為二次函數(shù)，，，____________.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.注：如果選擇多個(gè)條件分別進(jìn)行解答，按第一個(gè)解答進(jìn)行計(jì)分.【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)，由題意可得，，選①：由可得的對稱軸，運(yùn)算求解；選②：結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解；選③：結(jié)合題意理解可得可得的對稱軸，運(yùn)算求解；（2）由題意可得：對恒成立，結(jié)合一元二次不等式定義在實(shí)數(shù)集上的恒成立運(yùn)算求解.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?/span>，所以.因?yàn)?/span>，所以.若選擇①：∵，，所以的圖象的對稱軸方程為，即，所以，所以，，故.若選擇②：因?yàn)榉匠?/span>的兩根為且，所以，即，所以，，所以.若選擇③：∵，，即，所以的圖象的對稱軸方程為且，所以，即，所以，所以.（2）由（1）知，所以，即對一切實(shí)數(shù)x恒成立，等價(jià)于對恒成立，所以，解得，故k的取值范圍為.19．已知（且），且.(1)求a的值及的定義域；(2)求在上的值域.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根據(jù)求出參數(shù)的值，即可得到函數(shù)解析式，再根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零得到不等式組，即可求出函數(shù)的定義域；（2）由（1）可得，設(shè)，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍，從而求出的值域.【詳解】（1）解：由得，即，所以，解得，所以，由，解得，故的定義域?yàn)?/span>；（2）解：由（1）及條件知，設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以，，所以在的值域?yàn)?/span>.20．新冠肺炎疫情發(fā)生以后，口罩供不應(yīng)求，某口罩廠日夜加班生產(chǎn)，為抗擊疫情做貢獻(xiàn).生產(chǎn)口罩的固定成本為400萬元，每生產(chǎn) 萬箱，需另投入成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足60萬箱時(shí)，;當(dāng)產(chǎn)量不小于60萬箱時(shí),，若每箱口罩售價(jià)100元，通過市場分析，該口罩廠生產(chǎn)的口罩可以全部銷售完.(1)求口罩銷售利潤y（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬箱）的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中所獲得利潤最大？【答案】(1)(2)當(dāng)產(chǎn)量為80萬箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中獲得利潤最大，最大利潤為1300萬元. 【分析】(1) 根據(jù)產(chǎn)量的不同取值范圍討論利潤y關(guān)于產(chǎn)量x的不同對應(yīng)關(guān)系即可求解.(2) 分別求出分段函數(shù)的最大值比較大小即可求出利潤的最大值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，y取得最大值，最大值為850萬元；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，y取得最大值，最大值為1300萬元.綜上，當(dāng)產(chǎn)量為80萬箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中獲得利潤最大，最大利潤為1300萬元.21．已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)是奇函數(shù)，且指數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn).(1)求的表達(dá)式；(2)若方程，恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值集合.【答案】(1)(2). 【分析】（1）先由題意求出，然后由為上的奇函數(shù)可得，從而可求得的值，從而可求得的表達(dá)式；（2）又在定義域內(nèi)單調(diào)遞增減且為奇函數(shù)，可將轉(zhuǎn)化為，即在恰與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，由二次函數(shù)的零點(diǎn)分布可得答案.【詳解】（1）由指數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，得，所以，又為上的奇函數(shù)，所以，得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，符合，所以；（2），因?yàn)?/span>在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增減，由于為上的奇函數(shù)，所以由，可得，則在恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，即在恰與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則，所以實(shí)數(shù)a的取值集合為.22．已知有兩個(gè)極值點(diǎn)，(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：.【答案】(1)；(2)見詳解. 【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，將函數(shù)有兩極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)的方程在上有兩不等實(shí)根，結(jié)合一元二次方程根的分布問題的求法，即可求解；（2）由（1）根據(jù)韋達(dá)定理，以及函數(shù)解析式，先得到，將要證明的問題轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的方法求新函數(shù)的最大值，即可證明不等式成立.【詳解】（1）由題意，的定義域?yàn)?/span>，，因?yàn)?/span>有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以方程即在上有兩不等實(shí)根，即函數(shù)在上有兩不同零點(diǎn)，因此只需，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）由（1）知，，，，所以，因此要證，即證，即證，構(gòu)造函數(shù)，，則，又在上顯然恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得，，使得，即，即；所以當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；所以，又在上顯然單調(diào)遞增，所以，所以，即，故.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)的方法證明不等式問題時(shí)，一般需要結(jié)合題中條件，先將要證明的不等式化到最簡形式，再構(gòu)造新函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)的方法求新函數(shù)的最值或值域，即可證明不等式成立；有時(shí)也會將要證明的不等式變形，構(gòu)造兩個(gè)新的函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的方法求兩新函數(shù)的最值，即可證明不等式成立. 

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