2021屆福建省連城縣第一中學(xué)高三上學(xué)期月考（一）數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】解不等式化簡集合，再進(jìn)行交集運算，即可得答案；【詳解】，，，故選：A.【點睛】本題考查一元二次不等式和絕對值不等式、集合的交運算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2．“”是“”的（   ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】先利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出和的等價條件，然后再判斷這兩個條件之間的充分必要關(guān)系.【詳解】，，“”是“”的必要不充分條件，故“”是“”的必要不充分條件，故選B．【點睛】本題考查必要不充分條件關(guān)系的判斷，同時也涉及了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，一般轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系來進(jìn)行判斷，考查邏輯推理能力，屬于中等題.3．函數(shù)的定義域為，則實數(shù)m的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意定義域為，討論和兩種情況，根據(jù)一元二次不等式恒成求解，即可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域為，即對任意，若時，，解得，不滿足題意；若，只需，解得.綜上，則的取值范圍為故選：C.【點睛】本題主要考查一元二次不等式恒成立問題，屬于?？碱}型.4．已知函數(shù)，若，則實數(shù)（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】先求，再計算計算后可得結(jié)論．【詳解】由題意，，解得．故選：C．【點睛】本題考查求分段函數(shù)的函數(shù)值，解題時要注意根據(jù)自變量不同的范圍選取不同的表達(dá)式計算．5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A． B． C． D．1【答案】A【解析】由三視圖可得該幾何體為底面是等腰直角三角形，其中腰長為1，高為2的三棱錐，故其體積為，故選A.6．函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．【答案】B【解析】由于,故排除選項.,所以函數(shù)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱,排除選項.,排除選項,故選B.7．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超過，則至少要洗的次數(shù)是（參考數(shù)據(jù)：）（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由題意知每次清洗后所留下的污垢是原來的四分之一，由此知，剩余污垢的量是關(guān)于洗滌次數(shù)的指數(shù)型函數(shù)，由此給出洗次后存留的污垢的函數(shù)解析式，再由限制條件存留的污垢不超過，建立不等式關(guān)系解不等式即可【詳解】由題意可知，洗次后存留的污垢為，令，解得，因此至少要洗4次．故選：D【點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的實際運用，根據(jù)題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系建立指數(shù)模型是解答的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.8．已知定義在上的奇函數(shù)，對任意的都有，當(dāng)時，，則函數(shù)在內(nèi)所有零點之和為（   ）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【解析】函數(shù)在零點之和就是與交點橫坐標(biāo)的和，作出函數(shù)的圖象分析得解.【詳解】函數(shù)在零點之和就是在內(nèi)所有的根的和，就是與交點橫坐標(biāo)的和，函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知，所以故選：D【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)的零點問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力. 二、多選題9．下列命題中是真命題的有（    ）A．B．，C．已知，則D．命題p的否定是“對所有正數(shù)x，”，則命題p可寫為，【答案】ACD【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可判定A為真命題；由，可判定B為假命題；由指數(shù)冪和對數(shù)的運算性質(zhì)，可判定C為真命題；根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可判定D為真命題.【詳解】對于A中，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得恒成立，所以命題“”為真命題；對于B中，由當(dāng)時，，所以命題“，”為假命題；對于C中，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，且，所以，又由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以，所以是真命題；對于D中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可得命題p的否定是“對所有正數(shù)x，”，則命題p可寫為，所以是真命題.故選：ACD.【點睛】本題主要考查了命題的真假判定，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)與地上函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及全稱命題與存在性命題的關(guān)系，逐項判定是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.10．若，，則（    ）A． B．C． D．【答案】AD【解析】運用不等式的性質(zhì)，對四個選項逐一分析【詳解】對于A，，，，則，故A錯誤；對于B，若，則，即，這與矛盾，故B錯誤；對于C，，，，則，故C錯誤；對于D，，，故D正確.故選：AD.【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，熟記不等式的性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題．11．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)可能為（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】BCD【解析】根據(jù)題意，得到函數(shù)的零點即是函數(shù)與直線圖像交點的橫坐標(biāo)，畫出的大致圖像如下，結(jié)合函數(shù)圖像，即可得出結(jié)果.【詳解】由可得，則函數(shù)的零點即是函數(shù)與直線圖像交點的橫坐標(biāo)，畫出的大致圖像如下，由得，所以曲線在點處的切線斜率為，此時的切線方程為，即，恰好過點，又直線也過點，所以由圖像可得，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖像有兩個交點；即函數(shù)有兩個零點；當(dāng)時，直線只與函數(shù)在的圖像有一個交點，即函數(shù)有一個零點；當(dāng)時，直線與函數(shù)有三個不同的交點，即函數(shù)有三個零點；綜上，函數(shù)的零點個數(shù)可能為，，.故選：BCD.【點睛】本題主要考查判定函數(shù)零點的個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解即可，涉及導(dǎo)數(shù)的方法求曲線的切線方程，屬于?？碱}型.12．已知函數(shù)滿足，，且與的圖象交點為，則集合元素有（    ）A．16 B．24 C．32 D．48【答案】AB【解析】依題意可得與均關(guān)于點中心對稱，從而得解；【詳解】解：函數(shù)滿足，所以函數(shù)關(guān)于點中心對稱，化簡，所以函數(shù)關(guān)于點中心對稱，所以與的圖象交點，，…，關(guān)于點中心對稱，所以，．故選：AB【點睛】本題考查函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，屬于中檔題.  三、填空題13．若變量x，y滿足約束條件，則的最大值等于______．【答案】【解析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，結(jié)合圖形，即可得出結(jié)果.【詳解】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域如下，由可得，則表示直線在軸截距的三倍，因此直線在軸截距越大，越大；由圖像可得，當(dāng)直線過點時，在軸截距最大，聯(lián)立可得，因此.故答案為：.【點睛】本題主要考查求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解即可，屬于?？碱}型.14．已知，，且，則的最小值是______．【答案】4【解析】由，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，知，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值是.故答案為：.【點睛】本題主要考查了利用基本不等式求最小值問題，其中解答中熟記基本不等式的使用條件“一正、二定、三相等”，以及合理應(yīng)用“1”的代換求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.15．已知函數(shù)為冪函數(shù)，且，則當(dāng)時，實數(shù)a等于______．【答案】4【解析】由題意求出的表達(dá)式，由，代入可得關(guān)于的方程，可得答案.【詳解】解：設(shè)，可得，，故，由，可得，即，可得，，故答案為：.【點睛】本題主要考查冪函數(shù)的相關(guān)知識，考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識及基本的計算能力，屬于基礎(chǔ)題. 四、雙空題16．已知函數(shù)有兩個不同的極值點，，則的取值范圍是_____；若不等式有解，則的取值范圍是______.【答案】        【解析】根據(jù)有兩個不同極值點，可得兩個不相等的正實數(shù)根，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；將不等式轉(zhuǎn)化為，代入方程，化簡整理，即可得結(jié)果.【詳解】由題可得（），因為函數(shù)有兩個不同的極值點，，所以方程有兩個不相等的正實數(shù)根，于是有解得.若不等式有解，所以因為.設(shè)，，故在上單調(diào)遞增，故，所以，所以的取值范圍是.【點睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)的實際應(yīng)用，重點在于將題干中“兩個不同的極值點”轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)等于0時，有兩個不相等的實數(shù)根，然后進(jìn)行求解，計算難度偏大，屬中檔題. 五、解答題17．設(shè)條件p：實數(shù)x滿足，；條件q：實數(shù)x滿足．已知q是p的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】【解析】分別解不等式，得到；；根據(jù)題中條件，得到是的真子集；進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由，解得，所以；由解得或，則；因為q是p的必要不充分條件，所以是的真子集；又，所以只需，即實數(shù)a的取值范圍是．【點睛】本題主要考查由命題的必要不充分條件求參數(shù)，涉及一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.18．函數(shù)為R上的奇函數(shù)，（1）求m的值（2）若在上有解，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，由題中條件，得到，求出，再代入解析式檢驗，即可得出結(jié)果；（2）先由（1）得到，由求出，根據(jù)題中條件，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由函數(shù)為R上的奇函數(shù)，得，即，∴，此時，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)；故；（2）由（1）可得，．若，則，∴，∴，又在上有解，∴只需．【點睛】本題主要考查由函數(shù)奇偶性求參數(shù)，考查由方程有解求參數(shù)，屬于?？碱}型.19．設(shè)（，），且．（1）求a的值及的定義域與單調(diào)遞增區(qū)間．（2）求在區(qū)間上的最大值．【答案】（1）2；定義域為，單增區(qū)間；（2）2．【解析】（1）由題意知，從而解得定義域，再由求，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷可得；（2）由（1）知，函數(shù)在上的單調(diào)性，從而求最值．【詳解】解：（1）因為，所以（，），所以．由得，所以函數(shù)的定義域為．所以因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在定義域上單調(diào)遞增；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），所以當(dāng)時，是增函數(shù)；當(dāng)時，是減函數(shù)，故函數(shù)在上的最大值是．【點睛】本題考查了求函數(shù)的定義域和在閉區(qū)間上的最值問題，解題時應(yīng)根據(jù)函數(shù)的解析式，求出定義域，根據(jù)定義域求出最值，屬于中檔題．20．定義域在R的單調(diào)函數(shù)滿足，且，（I）求 ；（II）判斷函數(shù) 的奇偶性，并證明；（III）若對于任意都有成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（I） ；（II）詳見解析（III） 【解析】試題分析：(Ⅰ)結(jié)合函數(shù)的關(guān)系式賦值可知 ；(Ⅱ)由題意結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論可得f(?x)=?f(x)，則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；(Ⅲ)結(jié)合函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性脫去f符號，然后利用恒成立的條件討論可得實數(shù)的取值范圍是 .試題解析：(I)取x=0，得f(0+y)=f(0)+f(y)，即f(y)=f(0)+f(y)，∴f(0)=0，∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)∴結(jié)合f(3)=6，得3f(1)=6，可得f(1)=2；(II)取y=?x，得f(0)=f[x+(?x)]=f(x)+f(?x)=0，移項得f(?x)=?f(x)，∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；(III)∵f(x)是奇函數(shù)，且f(kx2)+f(2x?1)<0在x∈[,3]上恒成立，∴f(kx2)<f(1?2x)在x∈[,3]上恒成立，又∵f(x)是定義域在R的單調(diào)函數(shù)，且f(0)=0<f(1)=2，∴f(x)是定義域在R上的增函數(shù)．∴kx2<1?2x在x∈[12,3]上恒成立．∴在x∈[,3]上恒成立．令，由于?x?3，∴.∴g(x)min=g(1)=?1.∴k<?1.則實數(shù)k的取值范圍為(?∞,?1).21．2020年9月3日，工業(yè)和信息化部消費品工業(yè)司發(fā)布2020年1-7月全國家用電冰箱產(chǎn)量4691.3萬臺，同比下降；房間空氣調(diào)節(jié)器產(chǎn)量12353.0萬臺，同比下降；家用洗衣機(jī)產(chǎn)量3984.9萬臺，同比下降．為此，一公司擬定在2020年雙11淘寶購物節(jié)期間舉行房間空氣調(diào)節(jié)器的促銷活動，經(jīng)測算該產(chǎn)品的年銷售量P萬件（生產(chǎn)量與銷售量相等）與促銷費用x萬元滿足（其中，a為正常數(shù)）．已知2020年生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本萬元（不含促銷費用），產(chǎn)品的銷售價格定為元/件．（1）試將2020年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)；（2）問：2020年該公司促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？【答案】（1）（）；（2）分類討論，答案見解析．【解析】（1）計算出銷售收入減去投入成本可得利潤y萬元與促銷費用x萬元的函數(shù)；（2）由（1）及基本不等式可得當(dāng)時，廠家的利潤最大，然后分與利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行討論可得廠家的最大利潤為多少.【詳解】解：（Ⅰ）由題意，得．∵，將其代入上式并化簡，得（）．此即為所求產(chǎn)品的利潤y關(guān)于促銷費用x的函數(shù)關(guān)系式．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上式取等號．①當(dāng)時，促銷費用需投入10萬元，廠家的利潤最大；②當(dāng)時，易得，由于，，∴，∴∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，函數(shù)有最大值．即促銷費用投入a萬元時，廠家的利潤最大綜上，當(dāng)時，促銷費用投入10萬元，廠家的利潤最大；當(dāng)時，促銷費用投入a萬元，廠家的利潤最大．【點睛】本題主要考查利用基本不等式、導(dǎo)數(shù)解決實際問題，考查學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題的能力、數(shù)學(xué)計算能力，屬于中檔題.22．已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，．（1）若函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)，求m的取值范圍；（2）對任意的，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）由已知，則函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)轉(zhuǎn)化為在上恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果；（2）由已知，記，通過求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得，則，將其代入計算即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時，，此時，函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)，則在上恒成立，，解得；（2）證明：依題意知，當(dāng)時，，所以記，因為，所以在上單調(diào)遞增，則，從而，又因為，所以，由式，知，即，于是，故當(dāng)時，不等式成立.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意在內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)在上遞增（或遞減）的充要條件應(yīng)是 [或]在上恒成立，本題還考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)及其最值的應(yīng)用，是一道難度較大的題目. 

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