一、單選題（本大題共8小題）
1．設(shè)集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
3．若命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．設(shè)為全集，則“”是“”的（ ）．
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
5．某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（ ）
A．62%B．56%
C．46%D．42%
6．設(shè)集合，，，則下列關(guān)系中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
7．設(shè)有下面四個(gè)命題：p1：?x∈R，x2+1＜0；p2：?x∈R，x+|x|＞0；p3：?x∈Z，|x|∈N；p4：?x∈R，x2﹣2x+3＝0.其中真命題為（ ）
A．p1B．p2C．p3D．p4
8．定義集合，若，，且集合有3個(gè)元素，則由實(shí)數(shù)所有取值組成的集合的非空真子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2B．6C．14D．15
二、多選題（本大題共3小題）
9．設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的值可以為（ ）
A．B．0C．3D．
10．已知全集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A．B．
C．D．
11．設(shè)A為非空實(shí)數(shù)集，若對(duì)任意x，，都有，，且，則稱A為封閉集．下列敘述中，正確的為（ ）
A．集合為封閉集B．集合為封閉集
C．封閉集一定是無限集D．若A為封閉集，則一定有
三、填空題（本大題共3小題）
12．命題“”的否定是 .
13．已知集合有且僅有兩個(gè)子集，則滿足條件的實(shí)數(shù)組成的集合是
14．若集合A1，A2滿足A1∪A2＝A，則稱(A1，A2)為集合A的一種分拆，并規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)A1＝A2時(shí)，(A1，A2)與(A2，A1)是集合A的同一種分拆．若集合A有三個(gè)元素，則集合A的不同分拆種數(shù)是 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．設(shè)全集為R，集合，．
(1)分別求，；
(2)已知，若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
16．已知集合，，且.
(1)若，求的取值范圍；
(2)若，求的取值范圍.
17．已知集合，集合.
(1)若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
18．設(shè)集合．
（1）若，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
19．給定正整數(shù)，設(shè)集合．若對(duì)任意，，，兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于，則稱集合具有性質(zhì)．
(1)分別判斷集合與是否具有性質(zhì)；
(2)若集合具有性質(zhì)，求的值；
(3)若具有性質(zhì)的集合中包含6個(gè)元素，且，求集合．
參考答案
1．【答案】D
【分析】利用并集的定義可得正確的選項(xiàng).
【詳解】，
故選D.
2．【答案】B
【分析】求出集合，，然后利用集合的交集可求出.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又，所以.
故選B.
3．【答案】A
【分析】由題意，寫出全稱命題的否定，根據(jù)其真假性以及一元二次方程的性質(zhì)，可得答案．
【詳解】易知：是上述原命題的否定形式，故其為真命題，
則方程有實(shí)數(shù)根，即．
故選A．
4．【答案】C
【解析】根據(jù)兩集合之間關(guān)系，由補(bǔ)集的性質(zhì)，以及充分條件和必要條件的概念，可直接得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)闉槿?，若，則；若，則；
所以“”是“”的充要條件.
故選C.
【方法總結(jié)】判定命題的充分條件和必要條件時(shí)，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：
（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；
（2）是的充分不必要條件， 則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；
（3）是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；
（4）是的既不充分又不必要條件， 對(duì)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含．
5．【答案】C
【分析】由容斥原理即可得解..
【詳解】由題意，該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為
所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為.
故選C.
6．【答案】B
【分析】化簡集合，即可根據(jù)集合間關(guān)系求解.
【詳解】，，
中的元素為點(diǎn)，故，
故選B.
7．【答案】C
【分析】根據(jù)含量詞的命題，分析其真假，即可求解.
【詳解】對(duì)于p1：由于，故?x∈R，x2+1＜0不成立，故該命題為假命題；
p2：?x∈R，當(dāng)x＜0時(shí)，x+|x|＝0，故該命題為假命題；
p3：?x∈Z，|x|是非負(fù)整數(shù)，故|x|∈N，該命題為真命題；
p4：?x∈R，由于x2﹣2x+3＝0中△＝4﹣12＝﹣8＜0，故不存在實(shí)根，故該命題為假命題；
故選C.
8．【答案】B
【分析】根據(jù)集合的新定義運(yùn)算，再由集合有3個(gè)元素確定出n的取值集合，求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?，?br>所以，又集合有3個(gè)元素，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，滿足題意，
當(dāng)時(shí)，即，（舍去）時(shí)，，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，滿足題意，
當(dāng)時(shí)，即，（舍去）時(shí)，，不符合題意.
綜上，，故所構(gòu)成集合的非空真子集的個(gè)數(shù)為.
故選B.
9．【答案】ABD
【分析】首先求出集合，依題意可得，分、、三種情況討論.
【詳解】因?yàn)椋?br>若，則，
當(dāng)時(shí)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，則，解得；
當(dāng)時(shí)，則，解得；
綜上可得.
故選ABD.
10．【答案】AC
【分析】根據(jù)圖驗(yàn)證B,C,D再利用交集補(bǔ)集定義判斷A.
【詳解】由圖可知陰影部分所表示的集合為，C正確，B,D錯(cuò)誤，
因?yàn)?，?br>所以，故A正確.
故選AC.
11．【答案】BD
【分析】由封閉集的定義逐一判斷即可求解
【詳解】對(duì)于A，在集合中，
不在集合A中，集合A不是封閉集，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，集合，
設(shè)x，，則，，，，
，，，
集合為封閉集，故B正確；
對(duì)于C，封閉集不一定是無限集，如：{0}為封閉集，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若A為封閉集，則取得，故D正確．
故選BD.
12．【答案】
【分析】由命題否定的定義即可求解.
【詳解】由命題否定的定義，可知命題“”的否定是“”.
故答案為：.
13．【答案】
【分析】根據(jù)集合的子集的個(gè)數(shù)得到集合中只有一個(gè)元素，然后分和兩種情況求解即可.
【詳解】因?yàn)榧嫌星覂H有兩個(gè)子集，所以集合中只有一個(gè)元素，即方程只有一個(gè)解，
當(dāng)時(shí)，，只有一個(gè)解，滿足要求；
當(dāng)時(shí)，，解得，所以或0.
故答案為：.
14．【答案】27
【分析】根據(jù)題中定義，運(yùn)用特例法進(jìn)行求解即可.
【詳解】解析不妨令A(yù)＝{1，2，3}，∵A1∪A2＝A，當(dāng)A1＝?時(shí)，A2＝{1，2，3}，當(dāng)A1＝{1}時(shí)，A2可為{2，3}，{1，2，3}共2種，同理A1＝{2}，{3}時(shí)，A2各有兩種，當(dāng)A1＝{1，2}時(shí)，A2可為{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共4種，同理A1＝{1，3}，{2，3}時(shí)，A2各有4種，當(dāng)A1＝{1，2，3}時(shí)，A2可為A1的子集，共8種，
故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27種不同的分拆．
故答案為：27.
15．【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根據(jù)集合交并補(bǔ)的定義即可求解，
（2）根據(jù)，即可列關(guān)系式求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?，則，
可得或，
所以或
（2）因?yàn)?，可知，且?br>可得，解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，又由題知，可得，即可求得的取值范圍；
（2）由，則，由，則要滿足，解得，則的取值范圍是2,4.
【詳解】（1）∵，又由題知，所以，
解得，故的取值范圍是.
（2）由于，又，所以，所以，
當(dāng)時(shí)，一定有，
要想滿足，則要滿足，解得，
故時(shí)，，故的取值范圍是2,4.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用集合間的基本關(guān)系及必要不充分條件的定義計(jì)算即可；
（2）利用集合間的基本關(guān)系計(jì)算即可.
【詳解】（1）∵是的必要不充分條件，
∴是A的真子集.
①當(dāng)時(shí)，，
②當(dāng)時(shí)，∴，解得.
∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（2）由，
則①當(dāng)時(shí)，，
②當(dāng)時(shí)，可得或，
解得或.
∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.
18．【答案】（1）或；（2）或或或或.
【分析】（1）由條件可知集合中包含元素2，所以代入求，并驗(yàn)證是否滿足條件；
（2）由條件得，分和三種情況討論，得到的取值范圍.
【詳解】由題意，
（1）由可知，，
即是方程的解，
所以，
即，解得：或，
當(dāng)時(shí)，則，解得，
此時(shí)，滿足，
當(dāng)時(shí)，則，解得，
此時(shí)，滿足.
所以實(shí)數(shù)的值是或；
（2）因?yàn)?br>所以，
所以 ，
對(duì)于方程，
①當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，滿足條件；
②當(dāng)時(shí)，，即，，不滿足條件；
③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)只需且，
將2代入方程得，解得或，
將代入方程得，解得，
所以且且，
綜上可知，的取值范圍是：
或或或或.
19．【答案】(1)集合不具有性質(zhì)，集合具有性質(zhì)
(2)
(3)，，或
【分析】（1）根據(jù)性質(zhì)的定義，即可判斷兩個(gè)集合是否滿足；
（2）根據(jù)性質(zhì)的定義，首先確定，再討論是否屬于集合，即可確定的取值，即可求解；
（3）首先確定集合中有0，并且有正數(shù)和負(fù)數(shù)，然后根據(jù)性質(zhì)討論集合中元素的關(guān)系，即可求解.
【詳解】（1）集合中的，，
所以集合不具有性質(zhì)，
集合中的任何兩個(gè)相同或不同的元素，相加或相減，兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于集合，所以集合具有性質(zhì)；
（2）若集合具有性質(zhì)，記，則，
令，則，從而必有，
不妨設(shè)，則，且，
令，，則，且，且，
以下分類討論：
1）當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)，滿足性質(zhì)；
若，舍；若，無解；
2）當(dāng)時(shí)，則，注意且，可知無解；
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，
綜上；
（3）首先容易知道集合中有0，有正數(shù)也有負(fù)數(shù)，
不妨設(shè)，其中，，
根據(jù)題意，
且，從而或，
1）當(dāng)時(shí)，，
并且，，
由上可得，并且，
綜上可知；
2）當(dāng)時(shí)，同理可得，
據(jù)此，當(dāng)中有包含6個(gè)元素，且時(shí)，符合條件的集合有5個(gè)，
分別是，，或.
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題的關(guān)鍵是確定滿足性質(zhì)的集合里面有0，再對(duì)其他元素進(jìn)行討論.

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