?2024屆湖南省常德市第一中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題
1．若集合，則（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解絕對值不等式得A，根據(jù)交集的定義計算即可.
【詳解】解得，即，B為奇數(shù)集，故.
故選：C
2．的值等于（????）
A．-2 B．0 C．8 D．10
【答案】A
【分析】應(yīng)用指數(shù)運算和對數(shù)運算計算求解即可.
【詳解】.
故選：A.
3．函數(shù)的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（????）
????
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)用排除，先判斷B中函數(shù)的奇偶性，再判斷A、C中函數(shù)在上的函數(shù)符號排除選項，即得答案.
【詳解】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，其為偶函數(shù)，且，
由且定義域為R，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；
當(dāng)時、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除；
故選：D

4．《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中具有表現(xiàn)力的瞬間（如圖）．現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為，肩寬約為，“弓”所在圓的半徑約為，則擲鐵餅者雙手之間的距離約為（參考數(shù)據(jù)：，）（????）

A．1.012m B．1.768m C．2.043m D．2.945m
【答案】B
【分析】由題意分析得到這段弓形所在的弧長，結(jié)合弧長公式求出其所對的圓心角，雙手之間的距離，求得其弦長，即可求解.
【詳解】如圖所示，由題意知“弓”所在的弧 的長，其所對圓心角，
則兩手之間的距離．
故選：B．

5．“”是“方程有正實數(shù)根”的（????）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)零點的幾何意義，將方程有正根問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)求零點問題，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.
【詳解】由方程有正實數(shù)根，則等價于函數(shù)有正零點，
由二次函數(shù)的對稱軸為，則函數(shù)只能存在一正一負(fù)的兩個零點，
則，解得，
故選：B.
6．設(shè)正實數(shù)滿足，則當(dāng)取得最小值時，的最大值為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化簡，然后由基本不等式得最值，及，這樣可化為的二次函數(shù)，易得最大值．
【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)時成立，因此
所以時等號成立．
故選：C．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查運算求解能力、推理論證能力和轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)和方程思想．基本不等式的使用價值在于簡化最值確定過程，而能否使用基本不等式的關(guān)鍵是中的是否為定值，本題通過得以實現(xiàn)．
7．已知函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足時，，則不等式的解集為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后可判斷當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，再由，可得當(dāng)時，，再由為奇函數(shù)，得時，，從而可求得不等式的解集.
【詳解】令函數(shù)，則，即當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，
因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，.
因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，.
又，，所以當(dāng)時，；
又為奇函數(shù)，所以當(dāng)時，，
所以不等式可化為或，解得，
所以不等式的解集為，
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，然后求導(dǎo)后可判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.
8．已知直線與曲線和曲線均相切，則實數(shù)的解的個數(shù)為（????）
A．0 B．1 C．2 D．無數(shù)
【答案】C
【分析】由題意可求得直線與曲線和曲線分別切于點，，則，化簡后得，然后將問題轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和零點存在性定理可求得其零點的個數(shù)，從而可得答案.
【詳解】根據(jù)題意可知，直線與曲線和曲線都相切，
所以對于曲線，則，所以，
所以切點，
對于曲線，則，所以，
切點，易知A,B不重合，
因為公切線過兩點，所以，
進(jìn)而可得，
令，則，
令，則
所以在單調(diào)遞增，
因為，
所以存在使得，即，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
故.
又因為，
所以，
當(dāng)時，，
因為，
所以在內(nèi)存在，使得，
當(dāng)時，，
因為，，
所以在內(nèi)存在，使得，
綜上所述，存在兩條斜率分別為，的直線與曲線和曲線都相切，
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題，解題的關(guān)鍵是求出兩切點的坐標(biāo)后，將問題轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)問題，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和零點存在性定理解決，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于難題.

二、多選題
9．設(shè)．且，則（????）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷AB，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷C，利用特值可判斷D.
【詳解】因為．且，
所以，即，故A正確；
由，可得，故B錯誤；
由題可知，所以，故C正確；
取，可得，所以，故D錯誤.
故選：AC.
10．下列說法正確的有（????）
A．
B．中，
C．若，則
D．
【答案】ABD
【分析】對A，根據(jù)角所在象限即可判斷三角函數(shù)符號；對B，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式即可判斷；對C，舉反例即可；對D，根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系即可判斷.
【詳解】對A，因為，所以，，，
，故A正確；
對B，在中，，故B正確；
對C，舉例，滿足，但不滿足，故C錯誤；
對D，因為，所以左邊
右邊，故D正確.
故選：ABD.
11．已知函數(shù)，，則（????）
A．在上為增函數(shù)
B．當(dāng)時，方程有且只有3個不同實根
C．的值域為
D．若，則
【答案】BCD
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式作出函數(shù)圖象，判斷函數(shù)單調(diào)性及值域；根據(jù)導(dǎo)數(shù)求方程的根的個數(shù)；數(shù)形結(jié)合求得成立時，參數(shù)范圍；
【詳解】根據(jù)函數(shù)解析式作出函數(shù)圖象，

由圖象易知，在上不是增函數(shù)，故A錯誤；
當(dāng)時，，則，
過定點，當(dāng)時，與在上相交，共2個交點；
當(dāng)時，，過點作的切線，設(shè)切點為，
則，，解得，，故當(dāng)時，與在處相切，有1個交點；
故當(dāng)時，與共有3個交點，故B正確；
由圖易知，故C正確；
當(dāng)時，等價于，
由函數(shù)圖象，及上述分析知，；
當(dāng)時，等價于，
由函數(shù)圖象，及上述分析知，；
故若，，故D正確；
故選：BCD
12．已知定義在上的函數(shù)滿足對任意的，，，且當(dāng)時，，則（????）
A．
B．對任意的，
C．是減函數(shù)
D．若，且不等式恒成立，則的最小值是
【答案】ABD
【分析】A. 取，易得；
B. 取，可得，然后驗證的情況；
C. 由當(dāng)時，，且可得，
當(dāng)時，，與為減函數(shù)矛盾，從而可判斷C錯誤；
D. 先證明的單調(diào)性，然后由可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，
再化簡、換元，通過構(gòu)造函數(shù)、求導(dǎo)得新函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得解.
【詳解】取，則，解得或，
若，則對任意的，，與條件不符，故，A正確；
對任意的，，若存在，使得，
則，與矛盾，所以對任意的，，B正確；
當(dāng)時，，且，所以當(dāng)時，，與為減函數(shù)矛盾，C錯誤；
假設(shè)，則
因為，所以，則，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由題意得，所以，
結(jié)合在上單調(diào)遞增可知，則，
令，則，，令，，
易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，
所以，則，D正確.
故選：ABD.
【點睛】本題中用到特殊值，特殊函數(shù)來解決問題，特別是選項D中，將不等式轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合換元法，求導(dǎo)等辦法來求解，綜合能力要求較高.

三、填空題
13．若，則的值為 .
【答案】
【分析】將分子分母同除以，即可求得答案.
【詳解】由題意，則，
則，
故答案為：
14．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)復(fù)合命題單調(diào)性可知，是函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間的子集，列式求實數(shù)的取值范圍.
【詳解】由，得或，
即函數(shù)的定義域為，
令，則，
因為函數(shù)為定義域上的單調(diào)增函數(shù)，
在上遞增，
函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
故答案為：
15．設(shè)函數(shù)，的定義域均為，且函數(shù)，均為偶函數(shù)．若當(dāng)時，，則的值為 ．
【答案】
【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性，對稱性，周期性分析即可求解.
【詳解】因為函數(shù)，的定義域均為R，且函數(shù)為偶函數(shù)，
則，
求導(dǎo)得，
即，
所以函數(shù)的圖像關(guān)于對稱．
因為函數(shù)為偶函數(shù)，
所以，
所以函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，
由函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，且關(guān)于直線對稱．
所以函數(shù)的周期為，．
由，，
，
所以，即，即，
所以當(dāng)時，
于是．
故答案為：
16．已知函數(shù)，若不等式對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為 .
【答案】
【分析】將不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，并探討其性質(zhì)，再利用導(dǎo)數(shù)分類討論的值域即可求解作答.
【詳解】，
令，則，，設(shè)，則，
當(dāng)時,，且等號不同時成立，則恒成立，
當(dāng)時，，則恒成立，則在上單調(diào)遞增，
又因為，因此存在，使得，
當(dāng)時，，當(dāng)時,，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在,上單調(diào)遞增,
又，作出函數(shù)的圖像如下：
??
函數(shù)定義域為，求導(dǎo)得，
①當(dāng)時，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
當(dāng)時，的取值集合為，而取值集合為，
因此函數(shù)在上的值域包含，
當(dāng)時，的取值集合為，而取值集合為，
因此函數(shù)在上無最小值，從而函數(shù)的值域為R，即，，不合題意，
②當(dāng)時，由得，由得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，當(dāng)時，的取值集合為，
而取值集合為，因此函數(shù)在上的值域包含，
此時函數(shù)的值域為，即，
當(dāng)時，即當(dāng)時，恒成立，符合題意，
當(dāng)時，即當(dāng)時，，結(jié)合圖象可知，，不合題意，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點睛：函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，結(jié)合已知，利用換元法構(gòu)造新函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)，借助數(shù)形結(jié)合的思想推理求解.

四、解答題
17．已知，.
(1)求的大?。?br /> (2)設(shè)函數(shù)，，求的單調(diào)區(qū)間及值域.
【答案】(1)
(2)答案見詳解

【分析】（1）根據(jù)切化弦公式與二倍角公式化簡進(jìn)行求值；
（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間公式求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由，求整體角的取值范圍得到的值域.
【詳解】（1）由得，
則，
因為，所以，
所以，解得，
即，又，
所以，則.
（2）函數(shù)，，
令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
因為，，
當(dāng)時，即，取最大值1；當(dāng)時，即，取最小值.
所以值域為.
18．為數(shù)列{}的前項和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè) ,求數(shù)列{}的前項和.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】（I）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用作差法即可求{an}的通項公式：
（Ⅱ）求出bn，利用裂項法即可求數(shù)列{bn}的前n項和．
【詳解】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3
兩式相減得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，
即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），
∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，
∵a12+2a1＝4a1+3，
∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，
則{an}是首項為3，公差d＝2的等差數(shù)列，
∴{an}的通項公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：
（Ⅱ）∵an＝2n+1，
∴bn（），
∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn（）（）.
【點睛】本題主要考查數(shù)列的通項公式以及數(shù)列求和的計算，利用裂項法是解決本題的關(guān)鍵．
19．已知函數(shù)，其中，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
【答案】(1)當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在和上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；
(2)當(dāng)時，最大值是；當(dāng)時，最大值是；
當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值是.

【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)，討論，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式和即可．
（2）欲求函數(shù)在區(qū)間上的最大值，先求在區(qū)間上的單調(diào)性，討論的值，分別求出最大值．
【詳解】（1），函數(shù)定義域為，．
當(dāng)時，令，得．
若，則，從而在上單調(diào)遞增；
若，則，從而在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時，令，得，解得或，有．
若，則或，從而在和上單調(diào)遞減；
若，則，從而在上單調(diào)遞增；
（2）由（1）中求得單調(diào)性可知，
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最大值是．
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最大值是．
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，最大值是．
20．菱形ABCD中，∠ABC＝120°，EA⊥平面ABCD，EA∥FD，EA＝AD＝2FD＝2.
??
(1)證明：直線FC//平面EAB；
(2)線段EC上是否存在點M使得直線EB與平面BDM所成角的正弦值為？若存在，求，若不存在，說明理由.
【答案】(1)證明見解析；
(2)存在，.

【分析】（1）取AE的中點H，連接HF，HB，先證四邊形BCFH為平行四邊形，從而知FC∥HB，再由線面平行的判定定理，得證；
（2）取AB的中點N，連接DN，先證FD，DC，DN兩兩垂直，再以D為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)λ，λ∈[0，1]，用含λ的式子表示出點M的坐標(biāo)，求得平面BDM的法向量，由，解之即可．
【詳解】（1）??
取AE的中點H，連接HF，HB，
因為EA∥FD，EA＝2FD＝2，所以四邊形ADFH為平行四邊形，所以HF∥AD，HF＝AD，
又菱形ABCD，所以AD∥BC，AD＝BC，
所以HF∥BC，HF＝BC，即四邊形BCFH為平行四邊形，
所以FC∥HB，
因為平面EAB，HB?平面EAB，
所以FC∥平面EAB．
（2）??
取AB的中點N，連接DN，
因為菱形ABCD中，∠ABC＝120°，所以△ABD是等邊三角形，所以DN⊥AB，所以DN⊥DC，
因為EA⊥平面ABCD，EA∥FD，所以FD⊥平面ABCD，
所以FD⊥DC，F(xiàn)D⊥DN，
故以D為坐標(biāo)原點，DN，DC，DF所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則B（，1，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（，﹣1，2），
所以（，3，﹣2），（0，﹣2，2），（，1，0），
設(shè)λ，λ∈[0，1]，則M（（1﹣λ），3λ﹣1，2（1﹣λ）），
設(shè)平面BDM的法向量為（x，y，z），則，即，
令x＝﹣1，則y，z＝，所以（﹣1，，），
因為直線EB與平面BDM所成角的正弦值為，
所以|＝||，
化簡得，，，解得λ或（舍負(fù)），
即，
所以．
21．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的離心率為，實軸長為4.

(1)求C的方程；
(2)如圖，點A為雙曲線的下頂點，直線l過點且垂直于y軸（P位于原點與上頂點之間），過P的直線交C于G，H兩點，直線AG，AH分別與l交于M，N兩點，若O，A，N，M四點共圓，求點P的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率結(jié)合實軸長，可求得a,b,即得答案;
（2）根據(jù)O，A，N，M四點共圓結(jié)合幾何性質(zhì)可推出，設(shè)，，，從而可以用點的坐標(biāo)表示出t,再設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線與直線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系式，代入t的表達(dá)式中化簡，可得答案.
【詳解】（1）因為實軸長為4，即，，
又，所以，，
故C的方程為.
（2）由O，A，N，M四點共圓可知，，
又，即，
故，
即，所以,
設(shè)，，，
由題意可知，則直線，直線，
因為M在直線l上，所以，代入直線AG方程，可知，
故M坐標(biāo)為，所以，
又，由，則，
整理可得，
當(dāng)直線GH斜率不存在時，顯然不符合題意，
故設(shè)直線，代入雙曲線方程：中，
可得，所以，，
又
，
所以,
故，即，所以點P坐標(biāo)為.
【點睛】本題考查了雙曲線方程的求解，以及直線和雙曲線的位置關(guān)系的問題，解答時要注意明確點線的位置關(guān)系，能設(shè)相關(guān)點的坐標(biāo)，從而表示出參數(shù)的表達(dá)式，再結(jié)合聯(lián)立直線和雙曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系式化簡，難點在于較為繁雜的計算，要十分細(xì)心.
22．已知函數(shù).
(1)若函數(shù)為增函數(shù)，求的取值范圍；
(2)已知.
（i）證明：；
（ii）若，證明：.
【答案】(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析

【分析】（1）分析可得原題意等價于對恒成立，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求最值結(jié)合恒成立問題運算求解；
（2）（i）取，根據(jù)題意分析可得，構(gòu)建，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明即可；
（ii）根據(jù)題意分析可得，，，構(gòu)建，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明，即可得結(jié)果.
【詳解】（1）∵，則，
若是增函數(shù)，則，
且，可得，
故原題意等價于對恒成立，
構(gòu)建，則，
令，解得；令，解得；
則在上遞增，在遞減，故，
∴的取值范圍為.
（2）（i）由（1）可知：當(dāng)時，單調(diào)遞增，
∵，則，即，
整理得，
構(gòu)建，則，
令，解得；令，解得；
則在上遞減，在遞增，
故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
令，可得，
故；
（ii）∵，則，
可知有兩個不同實數(shù)根，由（1）知，
可得，
同理可得，
構(gòu)建，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；
且，故對恒成立，
故在上單調(diào)遞減，
∵，則，即，
且，則，故，
可得；
又∵，由（i）可得，即，
則，
且，則，
可得；
綜上所述：.
可得，則
故.
【點睛】方法定睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟
(1)作差或變形．
(2)構(gòu)造新的函數(shù)h(x)．
(3)利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的單調(diào)性或最值．
(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．

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