2024屆廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)測(cè)數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．復(fù)數(shù)，則的輻角主值為（     ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先對(duì)復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，然后可求出，再根據(jù)輻角主值的定義求解即可【詳解】因?yàn)?/span>，所以，則，，因?yàn)榕c對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以，故選：B2．設(shè)集合，則的子集數(shù)量是（     ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解出集合，則得到其子集數(shù)量.【詳解】，解得，又因?yàn)?/span>，所以，所以其子集數(shù)量為.故選：A.3．橢圓的兩焦點(diǎn)分別為 ，是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)的面積取得最大值時(shí)，（     ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角形面積公式得當(dāng)點(diǎn)位于橢圓的上下端點(diǎn)時(shí)，面積最大，再利用特殊角的三角函數(shù)即可得到答案.【詳解】，所以，所以，則當(dāng)最大時(shí)，面積最大，此時(shí)點(diǎn)位于橢圓的上下端點(diǎn)，則，因?yàn)?/span>，所以，所以.故選：C.  4．展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是，故選：D.5．以下什么物體能被放進(jìn)底面半徑為，高為的圓柱中（     ）A．底面半徑為，母線長(zhǎng)為的圓錐B．底面半徑為，高為的圓柱C．邊長(zhǎng)為的立方體D．底面積為，高為的直三棱柱【答案】B【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)得到A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，畫(huà)出立體圖形，設(shè)出未知數(shù)，得到，推出B正確；C選項(xiàng)，推導(dǎo)出能放入底面半徑為，高為的的圓柱中；D選項(xiàng)，根據(jù)體積大小，得到D錯(cuò)誤.【詳解】由于，故該圓錐無(wú)法放入圓柱中，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，如圖所示，將底面半徑為，高為的圓柱放入半徑為，高為的圓柱中，如圖所示，  則，因?yàn)?/span>，由勾股定理得，設(shè)，則，則，，由勾股定理得，因?yàn)?/span>，則，，，故能被放進(jìn)底面半徑為，高為的圓柱中，B正確；C選項(xiàng)，邊長(zhǎng)為的立方體，面對(duì)角線長(zhǎng)為，體對(duì)角線長(zhǎng)為，要想放進(jìn)高為的圓柱內(nèi)，需要如圖所示放入，其外接球的直徑為，故要想放入圓柱中，只能放入以球為內(nèi)切球的圓柱中，如圖，過(guò)點(diǎn)的母線交上底面于點(diǎn)，交下底面于點(diǎn)，設(shè)，，由勾股定理得，連接，則，由勾股定理得，解得，  即邊長(zhǎng)為的立方體可放入底面半徑為，高為的的圓柱中，因?yàn)?/span>，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，底面積為，高為的直三棱柱體積為，由于底面半徑為，高為的圓柱體積為，故無(wú)法放進(jìn)放進(jìn)底面半徑為，高為的圓柱中，D錯(cuò)誤.故選：B6．有下列一組數(shù)據(jù)：，則這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（     ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由百分位數(shù)的求法求解即可.【詳解】該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：，因?yàn)?/span>，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是從小到大的第8個(gè)，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是8，故選：C7．設(shè)數(shù)列 的通項(xiàng)公式為，其前n項(xiàng)和為，則使的最小n是（     ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理得，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可得到答案.【詳解】由二項(xiàng)式定理，，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性知?jiǎng)t單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，故的最小值為7.故選：C.8．，則的大小關(guān)系是（     ）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，則，，，然后利用導(dǎo)數(shù)證明對(duì)任意（），都有，即可得結(jié)論.【詳解】令，則，所以，，，下面證對(duì)任意（），都有，令，則只需比較的大小，因?yàn)?/span>，，所以，令，則，令，，則，，令，則，，因?yàn)?/span>，，，，所以，所以，所以在上遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，若，有，且至多有一個(gè)不變號(hào)零點(diǎn)，單調(diào)遞減，與矛盾，所以，若，有，且至多有一個(gè)不變號(hào)零點(diǎn)，單調(diào)遞增，與矛盾，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查比較大小，考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后將轉(zhuǎn)化為，，，再次構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題 二、多選題9．下列式子中最小值是的是（     ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)函數(shù)正負(fù)取值情況判斷A，B；設(shè)，求導(dǎo)確定單調(diào)性與最值，可判斷C；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則的最小值不可能是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，則的最小值不可能是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，所以，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，故C正確；對(duì)于D，二次函數(shù)開(kāi)口向上，所以時(shí)，函數(shù)有最小值，故D正確.故選：CD.10．，若將圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值可以是（     ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)圖象平移后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，再利用余弦函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題求出范圍作答.【詳解】依題意，函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為而，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得，則選項(xiàng)BD不滿足，AC滿足.故選：AC11．已知正方形中，，是平面外一點(diǎn).設(shè)直線與平面所成角為，設(shè)三棱錐的體積為，則下列命題正確的是（     ）A．若，則的最大值是B．若，則的最大值是C．若，則的最大值是D．若，則的最大值是【答案】AC【分析】根據(jù)橢圓的定義和旋轉(zhuǎn)體的概念可知當(dāng)時(shí)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)橢球，當(dāng)時(shí)點(diǎn)P的軌跡是以AD為直徑的球，結(jié)合圖形分析，即可求解.【詳解】由題意知，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，A、C為定點(diǎn)，，由橢圓的定義知，點(diǎn)P的軌跡是以為焦距，長(zhǎng)軸為的橢圓，將此橢圓繞AC旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)橢球，即點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)橢球，而橢球面為一個(gè)橢圓，由，即，得，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到橢球的上、下頂點(diǎn)時(shí)，取到最大值，此時(shí)；設(shè)點(diǎn)P在平面ABCD上的射影為Q，則，又，且，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)最大，即取到最大值；當(dāng)時(shí)，由，得，則點(diǎn)P的軌跡是以AD為直徑的球，設(shè)AD的中點(diǎn)為O，則O為球心，當(dāng)即時(shí)，取到最大值，此時(shí)；當(dāng)直線BP與球相切于點(diǎn)P即時(shí)，取到最大值，此時(shí)，則.故選：AC.12．在本場(chǎng)考試中，多選題可能有個(gè)或個(gè)正確的選項(xiàng)，全部選對(duì)得分，漏選得分，有選錯(cuò)或未選的得分.如果你因完全不會(huì)做某道題目而必須隨機(jī)選擇項(xiàng)選項(xiàng)，設(shè)該題恰有兩個(gè)正確選項(xiàng)的概率為，你的得分為隨機(jī)變量，則下列說(shuō)法正確的是（     ）A．若隨機(jī)選擇兩項(xiàng)，則存在使B．無(wú)論為多少，隨機(jī)選擇一項(xiàng)總能使最大C．若，則隨機(jī)選擇兩項(xiàng)比隨機(jī)選擇三項(xiàng)更優(yōu)D．若隨機(jī)選擇三項(xiàng)，則存在使【答案】BCD【分析】分別求出隨機(jī)選擇一項(xiàng)、兩項(xiàng)、三項(xiàng)時(shí)得分的期望，然后即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槎噙x題可能有個(gè)或個(gè)正確的選項(xiàng)，恰有兩個(gè)正確選項(xiàng)的概率為，所以恰有三個(gè)正確選項(xiàng)的概率為，若隨機(jī)選擇一項(xiàng)，則得分的所有可能取值為0，2，則，，則，若隨機(jī)選擇兩項(xiàng)，則得分的所有可能取值為0，2，5，則，，，則，故A錯(cuò)誤；若隨機(jī)選擇三項(xiàng)，則得分的所有可能取值為0，5，則，，則，顯然存在使，故D正確；由于，，所以無(wú)論為多少，隨機(jī)選擇一項(xiàng)總能使最大，故B正確；由得，所以當(dāng)，隨機(jī)選擇兩項(xiàng)比隨機(jī)選擇三項(xiàng)更優(yōu)，故C正確；故選：BCD. 三、填空題13．設(shè)隨機(jī)變量，則     【答案】/0.5【分析】根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求出概率作答.【詳解】隨機(jī)變量，所以.故答案為：14．直線與圓和橢圓同時(shí)相切，請(qǐng)寫(xiě)出一條符合條件的的方程        【答案】或或（只需寫(xiě)一條）【分析】畫(huà)出它們的圖像，由圖像易得滿足題意的兩條公切線，再根據(jù)相切條件解得第三條公切線.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，橢圓中，，它們的圖象如下圖：  由圖可知，或與圓和橢圓同時(shí)相切，即符合條件的的方程可以為或假設(shè)公切線斜率存在且不為零時(shí)方程為，由圖可知所以①由得由得②由①②解得故答案為： 或或（只需寫(xiě)一條）15．底面是面積為的等邊三角形的三棱錐的表面積是，則其體積的最大值是     【答案】【分析】由題設(shè)條件可得關(guān)于體高的方程，利用基本不等式可求的最大值，故可求體積的最大值.【詳解】過(guò)作平面，垂足為，作，垂足分別為，連接，因?yàn)?/span>平面，平面，故，而平面，故平面，而平面，故，同理，設(shè).因?yàn)榈酌鏋榈冗吶切吻颐娣e為，故邊長(zhǎng)為2，因?yàn)槿忮F的表面積是，故側(cè)面積為6，故，所以，所以，而，故，所以，由琴生不等式有，故，故即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故體積的最大值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：體積的最值問(wèn)題，可以歸結(jié)為高的最大值，此時(shí)應(yīng)該根據(jù)高滿足的等式關(guān)系結(jié)合常見(jiàn)不等式求最值.16．有8個(gè)不同的小球從左到右排成一排，從中拿出至少一個(gè)球且不能同時(shí)拿出相鄰的兩個(gè)球的方案數(shù)量是     【答案】54【分析】根據(jù)給定條件，利用分類加法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合組合應(yīng)用問(wèn)題列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，至少拿出1個(gè)球，最多拿出4個(gè)球，當(dāng)拿出1個(gè)球時(shí)，有種方法，當(dāng)拿出2個(gè)球時(shí)，由于拿出的2個(gè)球不相鄰，可視為把拿出的2個(gè)球放入余下6個(gè)球排成一排形成的7個(gè)空隙中的任意2個(gè)，可得8個(gè)球的對(duì)應(yīng)排列，因此取2個(gè)球有種方法，當(dāng)拿出3個(gè)球時(shí)，由于拿出的3個(gè)球不相鄰，可視為把拿出的3個(gè)球放入余下5個(gè)球排成一排形成的6個(gè)空隙中的任意3個(gè)，可得8個(gè)球的對(duì)應(yīng)排列，因此取3個(gè)球有種方法，當(dāng)拿出4個(gè)球時(shí)，由于拿出的4個(gè)球不相鄰，可視為把拿出的4個(gè)球放入余下4個(gè)球排成一排形成的5個(gè)空隙中的任意4個(gè)，可得8個(gè)球的對(duì)應(yīng)排列，因此取4個(gè)球有種方法，所以所求的方案數(shù)量是.故答案為：54 四、解答題17．向量與能作為平面向量的一組基底.(1)若，， ，證明三點(diǎn)共線(2)若與共線，求的值【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）根據(jù)向量線性運(yùn)算得，再利用向量共線定理即可證明；（2）由題設(shè)，則得到，解出即可.【詳解】（1），，，又因?yàn)?/span>有公共點(diǎn)點(diǎn)，三點(diǎn)共線.（2）設(shè)，，即則，解得18．如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面平面．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理即可證明;(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間角的坐標(biāo)運(yùn)算求解方法進(jìn)行求解.【詳解】（1）∵四邊形是正方形，∴．又∵平面平面，平面平面，且平面∴平面．（2）由，得，∴．    建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，∴，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為．則，令，則，∴．，令，則，∴，∴．∴平面與平面夾角的余弦值為．19．在中，分別為的對(duì)邊，. (1)證明；(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）運(yùn)用正余弦定理對(duì)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化簡(jiǎn)后便可得出結(jié)果；（2）借助三角形三邊等量或不等關(guān)系，運(yùn)用余弦定理、基本不等式求解出的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以由正余弦定理得，，化簡(jiǎn)得，；（2）由（1）得，，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，故，又因?yàn)?/span>，所以，故，所以，所以的取值范圍為.20．已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍(2)若，，證明【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）由在有解得出，再驗(yàn)證函數(shù)在上有極小值，從而得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）由導(dǎo)數(shù)得出的最小值，再由分析法證明.【詳解】（1）題意知在上有極小值，則在有解，故，設(shè)，顯然在單調(diào)遞增，又，，所以. 當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，又，，由零點(diǎn)存在定理可知，且，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上有極小值點(diǎn).因此實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）由題得，，，在上小于，在上大于.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.最小值為只需證明，即，即，因?yàn)?/span>，所以， 該式子顯然成立，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問(wèn)題（1）時(shí)，關(guān)鍵在于將在上有極小值，轉(zhuǎn)化為在有解，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)得出實(shí)數(shù)的取值范圍.21．已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為 ，A是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，過(guò)作垂直軸的直線在第二象限交橢圓于點(diǎn)S，過(guò)S作橢圓的切線，的斜率為，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意得，再結(jié)合橢圓定義，余弦定理、三角形面積公式可求得的值，從而可得橢圓方程；（2）先由直線和橢圓聯(lián)立表示出點(diǎn)，點(diǎn)S的橫坐標(biāo)，再由點(diǎn)，點(diǎn)S的橫坐標(biāo)相等，得出之間的關(guān)系，從而表示出（保留），進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意得，  由橢圓定義可得，又，由余弦定理可得：，所以，又，解得，所以，故橢圓的方程為.（2）直線，設(shè)，  聯(lián)立與得，所以，恒成立，所以，故，設(shè)直線為，，聯(lián)立，所以，由可得，所以，則，所以得，所以，則，由于函數(shù)在上為減函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第（2）問(wèn)通過(guò)聯(lián)立直線與表示出P點(diǎn)橫坐標(biāo)，再通過(guò)聯(lián)立(設(shè)方程)與表示出S點(diǎn)橫坐標(biāo)，由P點(diǎn)橫坐標(biāo)與S點(diǎn)橫坐標(biāo)相等得到是解題的關(guān)鍵，然后表示出，進(jìn)而求出結(jié)果.22．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，證明對(duì)任意，；(3)某鐵道線上共有列列車運(yùn)行，且每次乘坐到任意一列列車的概率相等，設(shè)隨機(jī)變量為恰好乘坐一次全部列車所乘坐的次數(shù)，試估算的值（結(jié)果保留整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：，，【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)5 【分析】（1）由可得，對(duì)分奇偶利用累加法可得，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，作差判斷數(shù)列的單調(diào)性，由差可設(shè)，設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)即可得單調(diào)性，從而證明不等式成立；設(shè)，求導(dǎo)得單調(diào)性，從而可證得不等式；（3）結(jié)合（2）中不等式可得，在根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算進(jìn)行估值，即可得的估計(jì)值.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，則整理得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，，……，累加得，即，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，，，……，累加得，即，綜上，可得，所以由可得；（2）設(shè)，則所以設(shè)，設(shè)函數(shù)，所以所以當(dāng)時(shí)，，故可得 ，故設(shè)，所以恒成立，可知，則，令可得所以，則累加得：，所以，故，原不等式得證.（3）設(shè)每次乘坐到新列車的概率為，還未乘坐過(guò)列，則，則所嘗試坐上新列車的次數(shù)期望是，累加得又，則，故.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：要證明不等式和，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性證明作差法進(jìn)行變形處理，在判斷差的符號(hào)時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系確定最值從而判斷差的符號(hào)，即可證得結(jié)論. 

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