2024屆山西省呂梁市呂梁學(xué)院附屬高級(jí)中學(xué)等校高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則（    ）A． B．5 C． D．20【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)的除法計(jì)算出復(fù)數(shù)z，再利用模長(zhǎng)公式求.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以．故選：A．2．已知全集，集合，，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】解出集合A中的不等式，解出集合B中函數(shù)的定義域，得到這兩個(gè)集合，再進(jìn)行并集和補(bǔ)集的運(yùn)算.【詳解】不等式解得，函數(shù)有意義，則，即，則，，所以，所以．故選：C．3．一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，3，5，6，m，10，12，13，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是（    ）A．7.5 B．8 C．9 D．9.5【答案】C【分析】由中位數(shù)和極差的關(guān)系，求出的值，再由百分位數(shù)的規(guī)則求解第60百分位數(shù).【詳解】這組數(shù)據(jù)一共8個(gè)數(shù)，中位數(shù)是，極差為，所以，解得，又，則第60百分位數(shù)是第5個(gè)數(shù)據(jù)9．故選：C．4．設(shè)向量，的夾角的余弦值為，，，則（    ）A． B．1 C． D．5【答案】B【分析】已知向量的模和夾角，利用向量數(shù)量積的定義求的值.【詳解】設(shè)與的夾角為，因?yàn)?/span>與的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故選：B．5．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】已知條件利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，構(gòu)造成正余弦的齊次式，代入求值即可.【詳解】由，可得，即，所以．故選：C．6．在平面直角坐標(biāo)系中，扡物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，P是C上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是y軸上的一點(diǎn)，且．則的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量相等的性質(zhì)得到點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【詳解】由題意知，設(shè)，，  所以，，又，所以，所以，得，，即，所以，解得，所以的面積．故選：D．7．暑假期間，同學(xué)們參加了幾何模型的制作比賽，大家的作品在展覽中獲得了一致好評(píng)．其中甲的作品是在球當(dāng)中放置了一個(gè)圓錐，于是就產(chǎn)生了這樣一個(gè)有趣的問(wèn)題：已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球O的球面上，若圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，面積為，則球O的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求出母線(xiàn)，再根據(jù)圓錐的外接球計(jì)算即可.【詳解】圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球O的球面上，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，面積為，設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為l，所以，解得．設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，所以，解得，所以圓錐的高，設(shè)球O的半徑為R，所以，解得，所以球O的表面積等于．故選:B．8．已知函數(shù)的最小正周期為，若，且在區(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的周期公式和求出，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象可得結(jié)果.【詳解】由題意的最小正周期為T，則，又，可得，即，又，所以，在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合函數(shù)的圖象如圖所示：    則在原點(diǎn)右側(cè)的零點(diǎn)依次為，，，，…，所以，解得，即的取值范圍為．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)余弦函數(shù)的圖象求解是解題關(guān)鍵. 二、多選題9．下列說(shuō)法正確的的是（    ）A．若．則 B．若，則C．若，．則 D．若，，則【答案】BD【分析】利用特值可判斷A錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤；由不等式的性質(zhì)可判斷B正確；作差比較可判斷D正確．【詳解】當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，所以，所以，故B正確；當(dāng)，，，時(shí)，，故C錯(cuò)誤；，又，，所以，所以，故D正確．故選：BD．10．甲箱中有4個(gè)紅球、4個(gè)黃球，乙箱中有6個(gè)紅球、2個(gè)黃球（這16個(gè)球除顏色外，大小、形狀完全相同），先從甲箱中隨機(jī)取出1個(gè)球放入乙箱，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出1個(gè)球，記“在甲箱中取出的球是紅球”為事件，“在甲箱中取出的球是黃球”為事件，“從乙箱中取出的球是黃球”為事件B．則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．與是互斥事件 B．C． D．與B相互獨(dú)立【答案】AC【分析】根據(jù)互斥事件的定義可判斷A正確；根據(jù)條件概率公式計(jì)算可判斷B錯(cuò)誤；根據(jù)全概率公式計(jì)算可判斷C正確；根據(jù)可判斷故D錯(cuò)誤．【詳解】從甲箱中摸一個(gè)球，紅球與黃球不可能同時(shí)出現(xiàn)，所以與是互斥事件，故A正確；由題意知，，所以，故B錯(cuò)誤；，所以，故C正確；因?yàn)?/span>，故D錯(cuò)誤．故選：AC．11．已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)E，F，G，M分別是，，，的中點(diǎn)．則下列說(shuō)法正確的是（     ）A．直線(xiàn)，是異面直線(xiàn)B．直線(xiàn)與平面所成角的正切值為C．平面截正方體所得截面的面積為18D．三棱錐的體積為【答案】ACD【分析】利用圖形，作出合理輔助線(xiàn)，根據(jù)異面直線(xiàn)的判定方法即可判斷A，利用線(xiàn)面角定義即可判斷B，作出截面為等腰梯形計(jì)算即可判斷C，利用頂點(diǎn)轉(zhuǎn)換法結(jié)合三棱錐體積公式即可判斷D.【詳解】對(duì)A，如圖1，取的中點(diǎn)P，連接，因?yàn)?/span>，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又，所以直線(xiàn)，是異面直線(xiàn)，故A正確；對(duì)B，如圖2，取的中點(diǎn)Q，連接，，則，因?yàn)?/span>平面，所以平面，所以是直線(xiàn)與平面所成角，，，所以，即直線(xiàn)與平面所成角的正切值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，如圖3，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)H，連接交于點(diǎn)N，連接，，因?yàn)?/span>，M為的中點(diǎn)，則，所以B為的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>，，所以易知N為的中點(diǎn)，則，因?yàn)?/span>，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，則平面截正方體所得截面為等腰梯形，在等腰梯形中，，，，則，則梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，故C正確；如圖4，連接，，則，因?yàn)?/span>平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又M為的中點(diǎn)，所以三棱錐的高為，因?yàn)?/span>面，面，所以，，所以，故D正確．故選：ACD．            12．已加點(diǎn)P是圓上的一點(diǎn)．直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)M．則下列說(shuō)法正確的是（    ）A． B．直線(xiàn)與圓O相切C．直線(xiàn)被圓O截得的弦長(zhǎng)為 D．的最小值為【答案】ABD【分析】由直線(xiàn)一般式方程的垂直條件驗(yàn)證選項(xiàng)A；利用圓心到直線(xiàn)的距離判斷相切驗(yàn)證選項(xiàng)B；幾何法求弦長(zhǎng)驗(yàn)證選項(xiàng)C；計(jì)算圓外的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最小距離驗(yàn)證選項(xiàng)D.【詳解】由題意可知：圓的圓心，半徑為3，因?yàn)?/span>，所以，故A正確；圓心O到的距離為，所以與圓O相切，故B正確；圓心O到直線(xiàn)的距離為，所以弦長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；由，得，即，所以，所以的最小值為，故D正確．故選：ABD． 三、填空題13．展開(kāi)式中的系數(shù)為      .【答案】135【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令，解出r即可求解.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以含的項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：135.14．已知函數(shù)，若，則x的值為        ．【答案】0或27【分析】令，即，分類(lèi)討論先求出的值，再分類(lèi)討論求出的值．【詳解】令，即．當(dāng)時(shí)，，解得，即，當(dāng)時(shí)，，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得，不符合題意．綜上，x的值為0或27．故答案為：0或27.15．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且，且四邊形的面積為，則的離心率為        ．【答案】【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性和推出，再根據(jù)面積以及橢圓的定義推出的關(guān)系式，可得離心率.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，即，  所以，由橢圓定義與勾股定理知：，所以，所以，所以，即C的離心率為．故答案為：16．已知函數(shù)，不等式對(duì)任意的恒成立，則的最大值為        ．【答案】1【分析】先根據(jù)奇函數(shù)的定義推出為上的奇函數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)推出在上單調(diào)遞增．利用奇偶性和單調(diào)性將不等式化為對(duì)任意的恒成立，再參變分離得對(duì)任意的恒成立．然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以為上的奇函數(shù)．又，所以在上單調(diào)遞增．不等式對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，所以對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立．令，所以，所以當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)．所以，設(shè)，顯然為上的增函數(shù)，因?yàn)?/span>，，所以存在，使得，所以，此時(shí)，所以，即的最大值為1．故答案為：1【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，總有成立，故；（2）若，總有成立，故；（3）若，使得成立，故；（4）若，使得，故. 四、解答題17．設(shè)為公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，成等比數(shù)列，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求出和，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)，裂項(xiàng)求和可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，因?yàn)?/span>，，成等比數(shù)列，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，解得，所以，所以的通項(xiàng)公式．（2）由（1）知，所以18．電影評(píng)論，簡(jiǎn)稱(chēng)影評(píng)，是對(duì)一部電影的導(dǎo)演、演員、鏡頭、攝影、劇情、線(xiàn)索、環(huán)境、色彩、光線(xiàn)、視聽(tīng)語(yǔ)言、道具作用、轉(zhuǎn)場(chǎng)、剪輯等進(jìn)行分析和評(píng)論．電影評(píng)論的目的在于分析、鑒定和評(píng)價(jià)蘊(yùn)含在銀幕中的審美價(jià)值、認(rèn)識(shí)價(jià)值、社會(huì)意義、鏡頭語(yǔ)言等方面，達(dá)到拍攝影片的目的，解釋影片中所表達(dá)的主題，既能通過(guò)分析影片的成敗得失，幫助導(dǎo)演開(kāi)闊視野，提高創(chuàng)作水平，以促進(jìn)電影藝術(shù)的繁榮和發(fā)展；同時(shí)能通過(guò)分析和評(píng)價(jià)，影響觀眾對(duì)影片的理解和鑒賞，提高觀眾的欣賞水平，從而間接促進(jìn)電影藝術(shù)的發(fā)展．某觀影平臺(tái)為了解觀眾對(duì)最近上映的某部影片的評(píng)價(jià)情況（評(píng)價(jià)結(jié)果僅有“好評(píng)”“差評(píng)”），從平臺(tái)所有參與評(píng)價(jià)的觀眾中隨機(jī)抽取220人進(jìn)行調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下表所示（單位：人）： 好評(píng)差評(píng)合計(jì)男性 70110女性60  合計(jì)  220(1)請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為對(duì)該部影片的評(píng)價(jià)與性別有關(guān)聯(lián)？(2)從給出“好評(píng)”的觀眾中按性別用分層抽樣的方法抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽出3人送電影優(yōu)惠券，記隨機(jī)變量X表示這3人中女性觀眾的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，認(rèn)為對(duì)該部影片的評(píng)價(jià)與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.010．(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為 【分析】（1）先計(jì)算，再根據(jù)臨界值比較判斷即可；（2）先應(yīng)用分層抽樣確定男性和女性的人數(shù)，再應(yīng)用超幾何分布寫(xiě)出分布列再計(jì)算數(shù)學(xué)期望即得.【詳解】（1）列聯(lián)表如下： 好評(píng)差評(píng)合計(jì)男性4070110女性6050110合計(jì)100120220零假設(shè)為：對(duì)該部影片的評(píng)價(jià)與性別無(wú)關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為對(duì)該部影片的評(píng)價(jià)與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.010．（2）從給出“好評(píng)”的觀眾中按性別用分層抽樣的方法抽取10人，男性有：（人），女性有：（人）．X的所有可能取值為0，1，2，3，所以，，，，所以X的分布列為X0123P所以．19．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．(1)求角的大?。?/span>(2)若，是邊的中點(diǎn)，且，求的內(nèi)切圓的半徑．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)正弦定理角化邊得，再根據(jù)余弦定理可求出結(jié)果；（2）由余弦定理得，根據(jù)推出，聯(lián)立得，，從而得，再根據(jù)三角形面積公式列式可求出的內(nèi)切圓的半徑．【詳解】（1）因?yàn)?/span>，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，又，所以．（2）由余弦定理得，即．又D是邊的中點(diǎn)，且，所以，所以，即，又，所以，，所以．設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為r，所以，所以．20．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)．(1)若，求證：平面平面；(2)若，，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）連接，取中點(diǎn)F，連接，根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)和判定定理推出平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線(xiàn)分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量公式可求出結(jié)果.【詳解】（1）連接，取中點(diǎn)F，連接，如圖所示． 因?yàn)?/span>，，所以，，所以四邊形為平行四邊形．所以，則，所以，即．因?yàn)?/span>平面，平面，所以，，，平面，所以平面，又平面，所以．又，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線(xiàn)分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示． 所以，，，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，所以，得，令，，所以平面的一個(gè)法向量．因?yàn)?/span>，所以，又，所以，又，設(shè)平面的一個(gè)法向量，所以，得，令，得，所以平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面與平面的夾角為，所以．即平面與平面的夾角的余弦值為．21．已知雙曲線(xiàn)的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)設(shè)A，B為C上異于點(diǎn)P的兩點(diǎn)，記直線(xiàn)，的斜率分別為，，若，試判斷直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)？若是，則求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn)為． 【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程，再結(jié)合離心率和，可求出，從而可求出雙曲線(xiàn)方程，（2）設(shè)，，然后由可得，可判斷直線(xiàn)的斜率不為零，所以設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入雙曲線(xiàn)方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，代入前面的式子可得或，從而可得直線(xiàn)方程，進(jìn)而可求得直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）由題意知，解得，，，所以C的方程為．（2）證明：設(shè)，．又，則，．因?yàn)?/span>，所以，所以，即，所以，所以，當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，，，所以，解得或，不符合題意，所以直線(xiàn)的斜率不為0．設(shè)直線(xiàn)的方程為，由得，，即，所以，．因?yàn)?/span>，所以，整理得，所以，所以，整理得，即，則或．當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，此時(shí)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，此時(shí)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．即為，因?yàn)?/span>A，B為C上異于點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以不符合題意．故直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn)為．  【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是設(shè)，，然后結(jié)合斜率公式和化簡(jiǎn)可得，設(shè)直線(xiàn)方程，通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算找出的關(guān)系從而可以確定直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).22．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，證明：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析. 【分析】（1）分三種情況，和分別求出單調(diào)區(qū)間；（2）先根據(jù)單調(diào)性確定極值，再根據(jù)大小去掉絕對(duì)值，最后換元構(gòu)造新函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性證明即可.【詳解】（1）依題意，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．（2）不妨設(shè)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，所以，所以．由（1）知，，，則．要證，只需證．因?yàn)?/span>，設(shè)，．所以，所以在上單調(diào)遞增，所以．所以，即得成立．所以原不等式成立．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造新函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性是證明不等式的關(guān)鍵點(diǎn). 

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這是一份2022-2023學(xué)年山西省呂梁市高三上學(xué)期階段性檢測(cè)（月考）數(shù)學(xué)試題PDF版含答案

山西省呂梁市孝義市2023屆高三上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題(含答案)：

這是一份山西省呂梁市孝義市2023屆高三上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題(含答案)，共22頁(yè)。試卷主要包含了 設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間， 設(shè)，則“”是“”的，， 已知函，則f， 已知隨機(jī)變量滿(mǎn)足，若，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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