湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)2024屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試(暑假作業(yè)檢測(cè))數(shù)學(xué)試題（原卷及解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本試卷共8頁(yè).時(shí)量120分鐘.滿分150分.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合交集運(yùn)算可得.
【詳解】，
故選：D
2. 已知（為虛數(shù)單位），其中，為實(shí)數(shù)，則，的值分別為（）
A. ，1B. 1，C. 1，1D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，及實(shí)部等于實(shí)部，虛部等于虛部列式求解即可.
【詳解】由，得，得，
所以解得
故選A.
3. 設(shè)P雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|=9，則|PF2|等于（）
A. 1B. 17C. 1或17D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先求出P點(diǎn)的位置，再根據(jù)雙曲線的定義求解.
【詳解】對(duì)于，
，所以P點(diǎn)在雙曲線的左支，則有；
故選：B.
4. 為了慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)，學(xué)校采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從高一1002人，高二1002人，高三1503人中抽取126人觀看“中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)”直播，那么高三年級(jí)被抽取的人數(shù)為（）
A. 36B. 42C. 50D. 54
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)分層抽樣，結(jié)合抽樣比計(jì)算即可.
【詳解】根據(jù)分層抽樣的方法，抽樣比為，
高三年級(jí)被抽取的人數(shù)為人.
故選：D.
5. 一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為，弧長(zhǎng)為的扇形，則該圓錐軸截面的面積（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，根據(jù)側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為，弧長(zhǎng)為的扇形，分別由，，求解即可.
【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，
則，解得，
又，解得，
所以圓錐的高為，
所以圓錐的軸截面的面積是，
故選：B
6. 已知，，，，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知，，，再結(jié)合題意可得，，又，利用兩角差的正弦公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>又，所以；
因?yàn)椋裕?br>又，所以，
所以，
又
所以
.
故選：B.
7. 某學(xué)生進(jìn)行投籃訓(xùn)練，采取積分制，有7次投籃機(jī)會(huì)，投中一次得1分，不中得0分，若連續(xù)投中兩次則額外加1分，連續(xù)投中三次額外加2分，以此類推，連續(xù)投中七次額外加6分，假設(shè)該學(xué)生每次投中的概率是，且每次投中之間相互獨(dú)立，則該學(xué)生在此次訓(xùn)練中恰好得7分的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分為連中4次，額外加3分，剩余3次不中、連中3次，額外加2分，剩余4次，兩次投中，兩次沒(méi)投中，且兩次投中不連續(xù)和有兩次連中兩回，三類情況，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，該學(xué)生在此次訓(xùn)練中恰好得7分，可分為三類情況：
①若連中4次，額外加3分，剩余3次不中，滿足要求，此時(shí)將連中4次看作一個(gè)整體，與其他三次不中排序，共有種選擇，故概率為，
②若連中3次，額外加2分，剩余4次，兩次投中，兩次沒(méi)投中，且兩次投中不連續(xù)，故兩次不中之間可能為一次中，也可能是三次中，有以下情況：
中中中（不中）中（不中）中，中（不中）中中中（不中）中，中（不中）中（不中）中中中，則概率為，
③若有兩次連中兩回，中中（不中）中中（不中）中，中（不中）中中（不中）中中，中中（不中）中（不中）中中，滿足要求，則概率為，
綜上，該生在比賽中恰好得7分的概率為.
故選：B.
8 設(shè)，，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可得；令，，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可得.
【詳解】令，，則，
則在上單調(diào)遞減，所以，
可知對(duì)任意的恒成立，可得，即；
對(duì)于，，由，.
令，，則，
則在上單調(diào)遞增，所以，
即，所以.
綜上所述：.
故選：C.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知是兩條不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，下列命題不正確的是（）
A. 若，，，，則
B. 若，，，則
C. 若，，，則
D. 若，，，則
【答案】ABC
【解析】
【分析】由空間中線面位置關(guān)系可判斷.
【詳解】由，是兩條不重合的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，知：
在A中，若，，，，則與相交或平行，故A錯(cuò)誤；
在B中，若，，，則與相交或平行，故B錯(cuò)誤；
在C中，若，，，則與相交或平行，故C錯(cuò)誤；
在D中，若，，，則由線面垂直，線線平行的性質(zhì)可得，故D正確.
故選：ABC.
10. 已知圓，以下四個(gè)結(jié)論正確的是（）
A. 過(guò)點(diǎn)與圓M相切的直線方程為
B. 圓M與圓相交
C. 過(guò)點(diǎn)可以作兩條直線與圓M相切
D. 圓M上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為3
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系、圓的切線方程、圓與圓的位置關(guān)系、圓上的點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】依題意，圓的圓心，半徑，
對(duì)于A，點(diǎn)在圓M上，圓心M到直線距離為1，
即過(guò)點(diǎn)與圓M相切的直線方程為，A正確；
對(duì)于B，圓的圓心，半徑，
則有，即圓M與圓N外離，B不正確.
對(duì)于C，點(diǎn)在圓M外，則過(guò)點(diǎn)可以作兩條直線與圓M相切，C正確；
對(duì)于D，圓心到直線的距離，
則圓M上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，D正確；
故選：ACD
11. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，兩點(diǎn)、在拋物線上，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 拋物線的方程為
B.
C. 以為直徑的圓的方程是
D. 、、三點(diǎn)共線
【答案】ABD
【解析】
【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，結(jié)合，求出的值，可判斷A選項(xiàng)；將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，結(jié)合求出的值，可判斷B選項(xiàng)；求出以為直徑的圓的方程，可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)、的關(guān)系可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，又，解得，
所以，拋物線的方程為，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，
又，解得，故B正確；
對(duì)于C，，，則以為直徑的圓的圓心為，
半徑，
所以，以為直徑的圓的方程是，
即，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)?、、?br>所以，，所以，
所以，，三點(diǎn)共線，故D正確.
故選：ABD.
12. 定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則對(duì)任意，下列結(jié)論成立的是（）
A.
B.
C. 不存在，使得
D. 存在，使得
【答案】BD
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)題意求得在上恒成立，得到在上單調(diào)遞增，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】設(shè)，則，
因?yàn)?，所以，所以在上恒成立?br>且不恒為0，所以在上單調(diào)遞增，
對(duì)于A中，因?yàn)椋?，即?br>但不能推得，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B中，由于，所以，即，所以.所以B正確；
對(duì)于C中，假設(shè)，則，又在上單調(diào)遞增，
所以，取，能使等式成立，故存在，使得.所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，存在，使得（如，滿足且），
則，即，即，所以D正確.
故選：BD.
【點(diǎn)睛】知識(shí)方法：構(gòu)造法求解與共存問(wèn)題的求解策略：
（1）對(duì)于不給出具體函數(shù)的解析式，只給出函數(shù)和滿足的條件，需要根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造抽象函數(shù)，再根據(jù)條件得出構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用單調(diào)性解決問(wèn)題，
（2）常見(jiàn)類型：①型；②型；③為常數(shù)型.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知，，則__________.
【答案】4
【解析】
【分析】根據(jù)模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示可得，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，所?
故答案為：4.
14. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，
所以.
故答案為：.
15. 已知函數(shù)，則______．
【答案】2022
【解析】
【分析】首先求出函數(shù)的周期，再求出，根據(jù)周期性計(jì)算可得.
【詳解】易知函數(shù)的最小正周期，
而
，
由周期性知，這樣連續(xù)六項(xiàng)的和均為，
而共有項(xiàng)，，
所以．
故答案為：
16. 當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____．
【答案】
【解析】
【詳解】試題分析：不等式變形為．當(dāng)時(shí)，，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是；當(dāng)時(shí)，，記，，故函數(shù)遞增，則，故；當(dāng)時(shí)，，記，令，得或（舍去），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故，則．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17. 已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且.
（1）求角；
（2）若，的面積為，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，得到，由正弦定理化簡(jiǎn)求得，即可求解；
（2）由（1）得到，結(jié)合三角形的面積公式，求得，利用余弦定理列出方程，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
解：因?yàn)椋?br>可得，所以，
又因?yàn)?，可得?br>所以，
由正弦定理得，
所以，
由于，所以，則，
又因?yàn)椋?
【小問(wèn)2詳解】
解：由，可得，則，解得，
由余弦定理得，
因?yàn)?，可得，所?
18. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意得到，得出數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，求得，結(jié)合與的關(guān)系式，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）得到，求得，結(jié)合裂項(xiàng)法求和，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
解：因?yàn)?，所以，?br>又因?yàn)?，得，?br>因?yàn)椋?，?br>所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，即，
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減可得，
當(dāng)時(shí)，，適合上式，所以.
【小問(wèn)2詳解】
解：由（1）知，可得，
所以，所以，
所以.
19. 如圖所示，直三棱柱中，，，.

（1）求證：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意證得平面，得到，進(jìn)而證得平面，利用你線面垂直的性質(zhì)，即可證得；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量為和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
證明：因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，且，?br>在直角與直角中，可得，
所以，所以，
所以，所以.
因?yàn)榈酌妫酌?，所以?br>又，，且平面，所以平面，
又因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)?，且平面，所以平面?br>又因?yàn)槠矫?，所?
小問(wèn)2詳解】
解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為，，軸建立的空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則，，，，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，可得，所以平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)直線與平面所成角的大小為，
則.
故直線與平面所成角的正弦值為.

20. 元宵佳節(jié)，是民間最重要的民俗節(jié)日之一，我們梅州多地都會(huì)舉行各種各樣的民俗活動(dòng)，如五華縣河?xùn)|鎮(zhèn)的“迎燈”、豐順縣埔寨鎮(zhèn)的“火龍”、大埔縣百侯鎮(zhèn)的“迎龍珠燈”等系列活動(dòng).在某慶?；顒?dòng)現(xiàn)場(chǎng)，為了解觀眾對(duì)該活動(dòng)的觀感情況（“一般”或“激動(dòng)”），現(xiàn)從該活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)的觀眾中隨機(jī)抽取200名，得到下表：
（1）填補(bǔ)上面的2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別與對(duì)該活動(dòng)的觀感程度有關(guān)？
（2）該活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)還舉行了有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，凡當(dāng)天消費(fèi)每滿300元，可抽獎(jiǎng)一次．抽獎(jiǎng)方案是：從裝有3個(gè)紅球和3個(gè)白球（形狀、大小、質(zhì)地完全相同）的抽獎(jiǎng)箱里一次性摸出2個(gè)球，若摸出2個(gè)紅球，則可獲得100元現(xiàn)金的返現(xiàn)；若摸出1個(gè)紅球，則可獲得50元現(xiàn)金的返現(xiàn)；若沒(méi)摸出紅球，則不能獲得任何現(xiàn)金返現(xiàn)．若某觀眾當(dāng)天消費(fèi)600元，記該觀眾參加抽獎(jiǎng)獲得的返現(xiàn)金額為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：，其中．
【答案】（1）2×2列聯(lián)表見(jiàn)解析，該場(chǎng)活動(dòng)活動(dòng)的觀感程度與性別無(wú)關(guān)
（2）分布列見(jiàn)解析，
【解析】
【分析】（1）寫(xiě)出零假設(shè)，補(bǔ)全2×2列聯(lián)表，計(jì)算的值，并與臨界值比較，得出結(jié)論；
（2）分別求出一次摸球摸出0，1，2個(gè)紅球的概率，寫(xiě)出X的所有可能取值及對(duì)應(yīng)取值的概率，寫(xiě)出X的分布列并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望.
【小問(wèn)1詳解】
補(bǔ)全的2×2列聯(lián)表如下：
零假設(shè)為：性別與對(duì)活動(dòng)的觀感程度相互獨(dú)立.
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得到
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，因此我們可以認(rèn)為,成立，即認(rèn)為對(duì)該場(chǎng)活動(dòng)活動(dòng)的觀感程度與性別無(wú)關(guān).
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)一次摸球摸出2個(gè)紅球的事件為A，摸出1個(gè)紅球的事件為B，沒(méi)摸出紅球的事件為C，
則，，，
由題意，X可?。?br>，，
，，
，
所以X的分布列為：
.
21. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，是等邊三角形，的內(nèi)切圓的面積為.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知在軸負(fù)半軸上且，過(guò)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，得到的內(nèi)切圓的半徑為，求得，得到，結(jié)合，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得的面積，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
解：橢圓半焦距為，
因?yàn)榈膬?nèi)切圓的面積為，所以的內(nèi)切圓的半徑為，
又因?yàn)槭堑冗吶切危?，即?br>解得，所以，
可得，則，則，
所以橢圓的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
解：由，則點(diǎn)，
由題意知直線斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，
且，，
聯(lián)立方程組，整理得，
由，可得.
且，，
所以的面積，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)（此時(shí)適合的條件）取得等號(hào).
故面積的最大值為.
【點(diǎn)睛】方法技巧：求解圓錐曲線的最值問(wèn)題的解答策略與技巧：
1、幾何方法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓、圓錐曲線的定義、圖形，以及幾何性質(zhì)求解；
2、代數(shù)方法：當(dāng)題目給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③單調(diào)性法；④三角換元法；⑤導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.
22. 已知函數(shù).
（1）若在處的切線方程平行于直線，求的值以及此時(shí)的切線方程；
（2）若方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），
（2）.
【解析】
【分析】（1）求得，根據(jù)題意得到，求得，進(jìn)而求得切線方程；
（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而得出方程，令，求得在上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不同的實(shí)根，令，求得函數(shù)單調(diào)性與最值，再由，令，得出函數(shù)的單調(diào)性，得出，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
解：由函數(shù)，可得，
因?yàn)樵谔幍那芯€方程平行于直線，
所以，即，解得，則，
可得，故在處的切線方程為，即.
【小問(wèn)2詳解】
解：由，得，
兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，即，可得，
可得，則，
所以關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
因?yàn)?，所以?br>令，則，所以在上單調(diào)遞增，
要使有兩個(gè)不同的實(shí)根，則需有兩個(gè)不同的實(shí)根，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以；
當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，，，
令，則，即在上單調(diào)遞增，
所以，即.
所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，符合條件.
綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】方法技巧：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的三種常用方法：
1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過(guò)解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；
3、數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.
結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見(jiàn)同構(gòu)模型
①，構(gòu)造函數(shù)或；
②，構(gòu)造函數(shù)或；
③，構(gòu)造函數(shù)或.一般
激動(dòng)
總計(jì)
男性
90
120
女性
25
總計(jì)
200
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
一般
激動(dòng)
總計(jì)
男性
30
90
120
女性
25
55
80
總計(jì)
55
145
200
X
200
150
100
50
0
P

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