?授課題目
4.4平面與平面的位置關(guān)系
選用教材
高等教育出版社《數(shù)學(xué)》
（拓展模塊一上冊）
授課時長
4課時
授課類型
新授課
教學(xué)提示
本課通過引導(dǎo)學(xué)生觀察教室中墻面之間的位置關(guān)系，歸納出平面之間的位置關(guān)系，并通過平面性質(zhì)3從理論角度進(jìn)行說明，然后用圖形語言與符號語言表示，然后引導(dǎo)學(xué)生用“線線關(guān)系”和“線面關(guān)系”理解“面面關(guān)系”，對空間不同維度的問題加以綜合認(rèn)識，提升空間想象能力. 二面角的平面角的概念是本課一個難點，建議盡量以圖形直觀或操作演示的方式使學(xué)生理解．關(guān)于兩個相交平面所成角的概念非本課重點，主要與前面線線、線面所成角相呼應(yīng)，使學(xué)生知識結(jié)構(gòu)完善．
教學(xué)目標(biāo)
能結(jié)合實例說明兩個平面之間的位置關(guān)系，能畫出兩個相交平面、兩個平行平面的圖形；知道兩個平面平行的定義，能用兩個平面平行的判定定理證明兩個平面平行，能用兩個平面平行的性質(zhì)定理證明兩條直線平行；知道二面角及其平面角的定義；能解決求二面角大小的簡單問題；知道直二面角定義，知道兩個相交平面所成角的概念；知道兩個平面垂直的定義；能用兩個平面垂直的判定定理證明兩個平面垂直，能用兩個平面垂直的性質(zhì)定理證明直線與平面垂直；逐步培養(yǎng)和提升直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).
教學(xué)重點
兩個平面平行的判定與性質(zhì)定理、兩個平面垂直的判定與性質(zhì)定理、二面角概念及二面角的平面角的求法．
教學(xué)難點
對二面角及其平面角概念的理解及求法．
教學(xué)環(huán)節(jié)
教學(xué)內(nèi)容
教師
活動
學(xué)生
活動
設(shè)計
意圖
情境導(dǎo)入
觀察你所在教室的六個面,想一想,任兩個平面之間有幾種位置關(guān)系？
引發(fā)
思考
分析
回答
創(chuàng)設(shè)情境
新知探索
觀察發(fā)現(xiàn),兩個平面之間的位置關(guān)系有兩種:相交和平行.事實上,根據(jù)公理3可知,當(dāng)兩個平面有一個公共點時,這兩個平面相交于一條直線.
一般地,當(dāng)兩個平面有一條公共直線時,稱兩個平面相交；當(dāng)兩個平面沒有公共點時,稱兩個平面平行.
如圖(1)所示，平面α與平面β相交于直線l，記作α∩β=l.如圖(2)所示，平面α與平面β平行，記作α∥β，此時α∩β=?.

畫兩個平面平行時,要使表示平面的兩個平行四邊形的對應(yīng)邊平行.
講解


講解說明



展示圖形

分析要點
理解


思考
領(lǐng)會



觀察
圖形

體會
理解
通過平面性質(zhì)3從理論角度說明平面位置關(guān)系更易學(xué)生理解
情境導(dǎo)入
4.4.1 兩平面平行
觀察教室,可以直觀感受到教室的天花板和地面所在平面是平行的.考慮到平面的無限展性,直接判斷這兩個平面是否有公共點是很難實現(xiàn)的.那么,如何判斷兩個平面是平行的呢？

提出問題
引發(fā)思考

觀察
思考
討論
交流

引發(fā)學(xué)生思考
新知探索
可以設(shè)想,如果一個平面內(nèi)的所有直線都與另一個平面平行.那么這兩個平面平行,但要判定所有直線都與平面平行也是比較困難的,考慮到兩條相交直線可以確定一個平面,是否可以通過平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行來判定兩個平面平行呢？?
如圖(1)所示，如果m?β，n?β，且m∩n=P，m∥α， n∥α，是否有β∥α呢？

如圖(2)所示，假設(shè)平面β與α不平行，設(shè)α∩β=AB，則由m∥α可知m∥AB.同理可得，n//AB.根據(jù)直線平行的傳遞性,得m∥n,這與已知條件m∩m=P矛盾，所以β∥α.?
于是有以下結(jié)論：
兩個平面平行的判定定理 如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面互相平行.
講解


說明

理解


領(lǐng)會

直接用相交直線引入判定定理，未提及平行直線，是給學(xué)生留下思考的空間
典型例題
例1 證明: 如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線,那么這兩個平面互相平行.
已知：m∩n =P,m?α,n?α,m' ?β,n' ?β,且m∥m',
n∥n',如圖所示.

求證: α∥β.
證明 因為m∥m', m' ?β, m?β,所以m∥β.同理可證,
n ∥β. 又m?α,n?α,m∩m=P,根據(jù)兩個平面平行的判定定理可知α∥β.
提問
引導(dǎo)

講解
強調(diào)

指導(dǎo)
思考
分析

解決
交流

主動
求解
利用“線線平行”證明“線面平行”
情境導(dǎo)入
探究與發(fā)現(xiàn)
既然可以用直線與平面平行、直線與直線平行判定平面與平面平行,那么能否利用平面與平面的平行來判定直線與平面平行、直線與直線平行呢？

引發(fā)思考

討論
交流
鍛煉學(xué)生
逆向思維
新知探索
如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面.也就是說，如果α∥β，l?α，那么l∥β.
兩個平面平行的性質(zhì)定理? 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么兩條交線互相平行.?
已知: α∥β，γ∩α=m，γ∩β=n，如圖所示.
求證: m∥n.
證明 因為m?γ，n?γ，所以m、n共面.
又因為α∥β，m?α，n?β，所以m、n沒有公共點，因此m∥n.
講解



說明



指導(dǎo)

理解



領(lǐng)會



證明

利用“面面”平行來證明“線線”平行
典型例題
例2 證明：如果一條直線與兩個平行平面中的一個平面垂直，那么它也與另一個平面垂直.
已知: α //β，l⊥α，如圖所示.
求證: l⊥β.

證明 過直線l分別作平面γ、φ，使γ∩α=m，γ∩β=m'， φ∩α=n，φ∩β=n'.
由α //β，得m//m'，n//n'.
因為l⊥α，所以l⊥m，l⊥n，則l⊥m'，l⊥ n'.
顯然，m'與n'是β內(nèi)的相交直線.故l⊥β.
提問
引導(dǎo)

講解
強調(diào)

指導(dǎo)
思考
分析

解決
交流

主動
求解
結(jié)論也是證明“線面垂直”的一種方法，結(jié)論可以作為定理使用
鞏固練習(xí)
練習(xí)4.4.1
1.?在底面為矩形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面AD1與平面A1C1的位置關(guān)系是 ,平面AB1與平面DC1的位置關(guān)系是 .
2.?判斷下列命題的真假.
(1) 如果平面α與β沒有公共點，那么α∥β ；
(2) 在圖中所示的三棱錐中，若A'C'∥AC，則平面A'B'C'∥平面ABC；

(3)如果m?α，n?α，且m∥β，n∥β，那么α∥β；
(4)如果m?α，n? β，且α∥β，那么m∥n；
(5)如果α∥β，β∥γ，那么α∥γ.
3.?在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是A1B1、AB、AD、A1D1的中點，求證：平面EFGH∥平面BB1D1D.
4.已知平面α∥β，ΔABC在β內(nèi)，AB、AC分別與平面α 相交于D、E兩點，如圖所示，求證：.
5.工程人員具有一絲不茍、精益求精的工匠精神是工程質(zhì)量的基本保障.為檢驗所鋪設(shè)的地板是否達(dá)到水平要求,工程人員將水平儀(如圖)分兩次交叉放置在地板上,如果氣泡兩次都在正中間,則說明地板與水平面平行,達(dá)到要求.你知道其中的原理嗎？


提問


巡視




指導(dǎo)

思考


動手
求解



交流

及時掌握學(xué)生掌握情況查漏補缺
情境導(dǎo)入
4.4.2 二面角
打開筆記本計算機時,顯示屏的開合程度不同,鍵盤與屏幕所在平面的相對位置就不同,如圖所示.怎樣來描述這種不同呢？

提出
問題
引發(fā)
思考
思考

分析
回答
通過熟悉物體創(chuàng)設(shè)情境，引入二面角
探索新知
觀察可知,顯示屏的開合程度可以用角度來描述.
平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩部分,其中的每一部分都稱為半平面.從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角,這條直線稱為二面角的棱,這兩個半平面稱為二面角的面.
根據(jù)二面角的不同擺放位置,常常把二面角畫成圖所示圖形.

當(dāng)二面角的棱為l，兩個面分別為α、β時，二面角記為α-l-β.圖(4)所示的二面角也可記為A-BD-C.?
如圖所示,在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，分別在兩個面內(nèi)作垂直于校的射線OA、OB，射線?OA、OB?所成的最小正角稱為這個二面角的平面角.?
可以用二面角的平面角的大小度量二面角的大小.
如圖，平面角∠AOB的大小就是二面角α-l-β的大小.

規(guī)定,當(dāng)二面角的兩個半平面重合時,二面角為零角；當(dāng)二面角的兩個半平面構(gòu)成一個面時,二面角為平角.于是,二面角的取值范圍是[0,π].當(dāng)二面角的平面角為直角時,稱為直二面角.
講解


說明



展示圖像引發(fā)思考


分析講解




講解展示
指導(dǎo)

理解


思考



觀察
圖像
分析
問題


理解
體會




觀察
體驗
操作

借助圖形直觀或操作演示的方式幫助學(xué)生理解
典型例題
例3 ?已知二面角α-l-β是銳角，其面α內(nèi)一點A到棱l的距離為2，到面的距離為l，求這個二面角的大小.
解 如圖所示，過點A作AB⊥l，垂足為B；再作AC⊥β，垂足為C,連接.?由題意可知AB=2，AC=1.
因為AC⊥β，l?β，所以AC⊥l ,又因為AB⊥l,AB交AC于點A，所以l⊥平面ABC.?
又因為?BC?平面ABC，所以l⊥BC，從而∠ABC?是二面角α-l-β的一個平面角.?
因為AB=2，AC=1，ΔACB是直角三角形，所以.
因此，二面角α-l-β的大小是.

例4 求證:如果一個平面γ垂直于二面角α-l-β的棱l，O為垂?足且與兩半平面的交線分別為?OA、OB，如圖所示.那么∠AOB?是二面角α-l-β的平面角.?
證明 因為γ∩α=OA，γ∩α=OB，所以O(shè)A ? γ，OB ? γ.?
又因為l⊥γ，所以l⊥OA，l⊥OB.?因此，∠AOB?是二面角α-l-β的一個平面角.

例4中,垂直于棱l的平面,與二面角α-l-β的交線?OA、OB構(gòu)成了二面角的平面角∠AOB,這又為我們提供了一種尋找二面角的平面角的方法.
提問
引導(dǎo)

講解
強調(diào)

指導(dǎo)
思考
分析

解決
交流

主動
求解
例3是已知線面所成角來求二面角的平面角的例子







例4利用面面相交的交線來求二面角的平面角
情境導(dǎo)入
探究與發(fā)現(xiàn)
我們己經(jīng)知道了兩條直線所成的角和直線與平面所成的角的定義,那么,兩個平面所成的角怎樣定義呢？

引發(fā)
思考

分析
交流
類比直線成角
探索新知
在兩個相交平面形成的四個二面角中,至少有一個不大于，這個二面角稱為兩個相交平面所成的角.于是，兩個相交平面所成角的范圍是，這樣的角有兩個.
講解


說明
理解


思考
分析相交平面所成角及范圍
典型例題
例5 ?如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求平面?AB1C1D與平面ABCD?所成的角的大小.
證明 因為正方體ABCD-A1B1C1D1的各個面均是正方形,所以?AD⊥A A1，AD⊥AB.?
又因為?A A1與AB?相交，所以AD⊥平面A A1B1B.
因為AB1?平面AA1B1B，所以?AD⊥AB1，從而∠B1AB是二面角B1-AD-B的一個平面角.
因為AB1是正方形AA1B1B的對角線,所以∠B1AB=
因此,平面AB1C1D與平面ABCD所成的角的大小是
提問
引導(dǎo)




講解
強調(diào)


指導(dǎo)分析
思考
分析




解決
交流



主動
求解
鞏固學(xué)生對相交平面所成角的定義
鞏固
練習(xí)
練習(xí)4.4.2
1.?己知二面角α-l-β，C∈α，D∈β，AC⊥AB，AD⊥AB，垂足均為A，則二面角α-AB-β的平面角是 .?
2.?已知正方體ABCD-A1B1C1D1，試找出二面角
A1-BD-A?與二面角A1-BD-C?的一個平面角，并分析二者之間的大小關(guān)系.?
3.判斷下列說法是否正確.
(1)兩個相交平面所成的角的取值范圍是，而二面角的取值范圍是[0,π]；
(2)在正方體?ABCD-A1B1C1D1中，D1A B1是二面角
D1-A A1-B1的平面角；?
(3)分別在二面角的兩個面內(nèi)取一條直線，使兩條直線相交，則相交直線所成的角是二面角的平面角.?
4.?己知等腰ΔABC的腰長為5cm，底邊長為8cm. 現(xiàn)沿著底邊上的高AD?對折，折后，求二面角 B-AD-C的大小.
5.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,，BC=AA1=1，求二面角B1-CD-A的大小.
6.?我國水利建設(shè)具有悠久的歷史,尤其中華人民共和國成立后,修建了許多水車,在防洪、用水、供電、灌溉等方面發(fā)揮了巨大作用.如圖所示,某水庫大壩高85m,斜坡面與水平面成45°角,則斜坡面有多長？


提問


巡視




指導(dǎo)

思考


動手
求解



交流

及時掌握學(xué)生掌握情況查漏補缺
情境導(dǎo)入
4.4.3 兩平面垂直
觀察教室，可以直觀感受到教室的墻面和底面是相互垂直的.如何檢驗這一結(jié)論的正確性呢？

引發(fā)
思考

分析
交流
感受平面位置關(guān)系
新知探索
當(dāng)兩個平面所成的角是時，稱這兩個平面互相垂直. 此時兩個平面相交形成的四個二面角都是.平面α與平面β垂直，記作α⊥β.?
要檢驗墻面和地面所成的二面角是否為直二面角,可以作出它們構(gòu)成的二面角的平面角,并測量其大小是否為 除此之外,還有什么方法呢？
我們知道,利用直線與直線垂直可以判定直線與平面垂直.類似地,也可以利用直線與平面垂直來判定平面與平面垂直.?
如圖所示,直線?AB⊥平面β, 垂足為?B, AB?平面α.?
設(shè)α∩β=CD, 則B∈CD.在β內(nèi)過點B作BE⊥CD.?
由?AB⊥β可知AB ⊥ CD, AB⊥BE.?
于是,∠ABE是二面角α-CD-β的平面角, 且∠ABE是直角.
因此, α與β所成的角是, 即α⊥β .?

于是，有下面的結(jié)論：
兩個平面垂直的判定定理?如果一個平面經(jīng)過另一個平面的條垂線, 那么這兩個平面互相垂直.
講解


說明



展示圖像


講解強調(diào)




說明
理解


思考



觀察
分析


理解
要點




領(lǐng)會


利用直二面角來定義兩個平面垂直，也可以用相交平面所成二面角是直角來定義
典型例題
例6 如圖所示,己知∠ACB= 90°,P是平面ABC?外一點，且?PA⊥平面ABC,求證: 平面PAC⊥平面PBC.

證明 因為∠ACB= 90°，所以?AC⊥BC.?
因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC.?
因為PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC.?
因為BC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.?
利用直線與平面的垂直可以判定平面與平面垂直.反過來,也可以借助于兩個平面的垂直來判定直線與平面垂直.
提問
引導(dǎo)



講解
強調(diào)



指導(dǎo)分析
思考
分析



解決
交流



主動
求解
可利用身邊的實物模型演示，通過直觀感知，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)
新知探索
兩平面垂直的性質(zhì)定理? 如果兩個平面互相垂直, 那么在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面?.
已知: α⊥β，α∩β=CD，AB?α，AB⊥CD，垂足為B，如圖所示 .
求證: AB⊥ β.?

證明 在平面β內(nèi)過點B作BE⊥CD，則由AB⊥CD可知∠ABE是二面角α-CD-β的平面角.
因為α⊥β，所以∠ABE=90°，即?AB⊥BE.
則AB?與兩條相交直線?BE、CD?都垂直，故AB⊥ β.?
講解內(nèi)容



演示證明
領(lǐng)會
要點



演算
思考
引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會的思想方法，提高空間觀念和空間想象力
典型例題
例7 己知平面α⊥平面β，點A∈α，且AB⊥β，垂足是B. 求證: AB ? α.

證明 如圖所示設(shè)α∩β =l，假設(shè)?AB?α.?
在平面α內(nèi)過點A作AC⊥l，垂足為C.則AB與AC相交.因為?α⊥β，所以且 AC⊥β.
又因為AB⊥β，所以?AB//AC，這與?AB、AC?相交矛盾，故假設(shè)不成立，所以AB ? α.
提問
引導(dǎo)



講解
強調(diào)



指導(dǎo)分析
思考
分析



解決
交流



主動
求解
加深對反證法的理解，幫助學(xué)生對兩個定理和反證法更深入認(rèn)識
鞏固練習(xí)
練習(xí)4.4.3
1.判斷下列命題的真假.
(1)如果m⊥β，m?α，那么α⊥β；
(2)如果m?α，n ?β，且m⊥n，那么α⊥β；
(3)如果m?α，α⊥β，那么m⊥β；
(4)如果α⊥β，α∩β=l，m⊥l，那么m⊥β.
2.按要求畫出滿足條件的一個圖形.
(1)直二面角； (2)兩個互相垂直的平面.?
3.?己知AB為一個圓的直徑, 點C為圓上不同于A、B的點,PA垂直于圓所在平面,如圖所示,求證：平面PAC⊥平面PBC.?

4.?已知α⊥β,α∩β=l,AB?α,AB⊥l,垂足為?B, AB=5cm,C∈B,線段AC?在B上的射影?BC?的長度為12cm,如圖所示.求?AC的長.

? 5.?在墻上掛一個鏡框,為了使鏡框下沿與地面平行,可先拿兩根等長的木棍緊靠壁放在地上,并讓木棍與墻角線垂直,再把鏡框下沿放到木棍上.試說明這一方法據(jù)的數(shù)學(xué)原理是什么.?

提問


巡視




指導(dǎo)

思考


動手
求解



交流

及時掌握學(xué)生掌握情況查漏補缺
歸納總結(jié)

引導(dǎo)

提問

回憶

反思

培養(yǎng)
學(xué)生
總結(jié)
學(xué)習(xí)
過程
能力
布置作業(yè)
1.書面作業(yè)：完成課后習(xí)題和《學(xué)習(xí)指導(dǎo)與練習(xí)》；
2.查漏補缺：根據(jù)個人情況對課堂學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)與回顧;
3.拓展作業(yè)：閱讀教材擴展延伸內(nèi)容.
說明
記錄
繼續(xù)探究
延伸學(xué)習(xí)

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4.4.1 兩平面平行

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