?2024屆湖南省岳陽市岳陽縣第一中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題
1．集合，則（????）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)集合相等可知方程有相等實(shí)根2，即可由根與系數(shù)關(guān)系求解.
【詳解】因?yàn)榧希?br /> 所以方程有相等實(shí)根2，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知，，
所以，
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)集合的元素求參數(shù)，一元二次方程，屬于容易題.
2．在下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函數(shù)的奇偶性定義判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以，故函?shù)不為偶函數(shù)；
對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以，故函?shù)不為偶函數(shù)；
對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以，故函?shù)為偶函數(shù)；
對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)不為偶函數(shù).
故選：C.
3．函數(shù) 的零點(diǎn)所在區(qū)間為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，通過賦值，即可找到零點(diǎn)所在的區(qū)間，從而完成求解.
【詳解】函數(shù)可看成兩個(gè)函數(shù)和組成，
兩函數(shù)在上，都是增函數(shù)，
故函數(shù)在上也是單調(diào)遞增的，
所以，
而，
由零點(diǎn)存在性定理可得，函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為.
故選：B.
4．若、是兩個(gè)不重合的平面，
①若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則；
②設(shè)、相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則；
③若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則；
以上說法中成立的有（　?。﹤€(gè)．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用直線與平面平行的判定定理，平面與平面平行的判定定理，平面與平面垂直的判定定理判定即可.
【詳解】對(duì)于①，設(shè)平面，且,
由直線與平面平行的判定定理可知，，
再由平面與平面平行的判定定理可知，則①正確；
對(duì)于②，設(shè)、交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，
則、可能垂直也可能不垂直，則②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，由直線與平面平行的判定定理可知，則③正確，
故選：.
5．函數(shù)在上的大致圖象為（????）
A．?? B．??
C．?? D．??
【答案】C
【分析】利用特殊點(diǎn)驗(yàn)證排除選項(xiàng)即可求解.
【詳解】由已知得，排除選項(xiàng)D，
，排除選項(xiàng)B，
，排除選項(xiàng)A，
故選：C.
6．如圖，某同學(xué)為測量鸛雀樓的高度MN，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為37m，在地面上點(diǎn)C處（B，C，N三點(diǎn)共線）測得建筑物頂部A，鸛雀樓頂部M的仰角分別為30°和45°，在A處測得樓頂部M的仰角為15°，則鸛雀樓的高度約為（　　）
??
A．91m B．74m C．64m D．52m
【答案】B
【分析】利用正弦定理求解即可.
【詳解】在△中，,
在△中，,,
則,
由正弦定理得，即，解得,
在△中，，
故選:.
7．若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（????）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】運(yùn)用換元思想，把要求最值的分母變?yōu)閱雾?xiàng)式，然后利用“1"的代換技巧轉(zhuǎn)化為能利用基本不等式求最值得問題.
【詳解】設(shè)，，則，
所以
，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
所以.
故選:.
【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式，考查了換元法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，訓(xùn)練了整體代換技巧，解答此題的關(guān)鍵是運(yùn)用換元后使分式的分母由多項(xiàng)式變?yōu)榱藛雾?xiàng)式，展開后使問題變得明朗化是中檔題.
8．已知函數(shù)，若a、b、c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），則abc的取值范圍是（　?。?br /> A．（5，10） B．（5，8） C．（6，8） D．（8，10）
【答案】D
【解析】由題知：令，畫出的圖像，根據(jù)圖像可知：的范圍，又因?yàn)榭傻茫M(jìn)而可求出答案.
【詳解】函數(shù)的圖像如圖所示：

不相等，令，
因?yàn)?，由圖知：
，解得.
又因?yàn)?，所?
故選
【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的圖像畫法以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，正確畫出圖像是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

二、多選題
9．已知命題“”，則（????）
A．
B．
C．是假命題
D．是真命題
【答案】AD
【分析】根據(jù)含量詞的命題的否定方法判斷AB，通過分解因式判斷命題p的真假.
【詳解】因?yàn)槊}為：“”，
所以該命題的否定為：“”，A正確，B錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br /> 所以是真命題，C錯(cuò)誤，D正確；
故選：AD.
10．已知關(guān)于的不等式的解集為，則下列說法錯(cuò)誤的是（????）
A．，則
B．若，則關(guān)于x的不等式的解集為
C．若為常數(shù)，且，則的最小值為
D．若的解集M一定不為
【答案】AC
【分析】選項(xiàng)A中，由二次函數(shù)的性質(zhì)得到，可判定A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，轉(zhuǎn)化為和是方程的兩個(gè)實(shí)根，求得，把不等式化簡得到，求得的解集，可判定B正確；選項(xiàng)C中，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，化簡得到，令，結(jié)合基本不等式，求得的最大值，可判定C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，由函數(shù)表示開口向下的拋物線，可判定D正確.
【詳解】由題意，關(guān)于的不等式的解集為，
對(duì)于A中，若，即不等式的解集為空集，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，則滿足，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B中，若，可得和是方程 兩個(gè)實(shí)根，且，
可得，解得，
則不等式，可化為，
即，解得或，
即不等式的解集為，所以B正確；
對(duì)于C中，若為常數(shù)，可得是唯一的實(shí)根，且，
則滿足，解得，所以，
令，因?yàn)榍?，可得，且?br /> 則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最大值為，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)表示開口向下的拋物線，
所以當(dāng)?shù)慕饧欢ú粸椋訢正確.
故選：AC.
11．已知直線與曲線相交于兩點(diǎn)，與相交于兩點(diǎn)，的橫坐標(biāo)分別為，則（????）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意，利用導(dǎo)數(shù)分別求得函數(shù)和的單調(diào)性和最大值，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用圖象結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，可得，令，可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，
又由函數(shù)，可得，令，可得，
當(dāng)當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，
作出兩個(gè)函數(shù)和的圖象，如圖所示，
由，可得，所以A正確；
因?yàn)榍以谏蠁握{(diào)遞增，
又因?yàn)?，所以，所以，所以B錯(cuò)誤；
因?yàn)榍以谏蠁握{(diào)遞減，
又因?yàn)椋?，所以，所以C正確；
由，所以D正確.
故選：ACD.
??
【點(diǎn)睛】方法技巧
已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：
1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
3、數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.
結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型
①，構(gòu)造函數(shù)（或，構(gòu)造函數(shù)）；
②，構(gòu)造函數(shù)（或，構(gòu)造函數(shù)）；
③，構(gòu)造函數(shù)（或，構(gòu)造函數(shù)）.
12．如圖，正方形中，為中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（????）

A．當(dāng)為線段上的中點(diǎn)時(shí)，
B．的最大值為
C．的取值范圍為
D．的取值范圍為
【答案】ABC
【分析】以為原點(diǎn)，為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示及向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示條件，由此判斷各選項(xiàng).
【詳解】以為原點(diǎn)，為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，
設(shè)，則，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，即，
對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)闉榫€段上的中點(diǎn)，所以，故，A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，，，當(dāng)時(shí)，取最大值為，B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，，所以，的取值范圍為，C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，，，所以，所以的取值范圍為，D錯(cuò)誤.
故選：ABC.


三、填空題
13．“”是“”的必要而不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義求解即可.
【詳解】由題意得是的真子集，故．
故答案為：
14．已知正數(shù)x，y滿足，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】由題設(shè)將目標(biāo)式化為，應(yīng)用基本不等式求最大值，注意取值條件.
【詳解】，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
所以目標(biāo)式最大值為.
故答案為：

四、雙空題
15．設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)? ；若的最小值為1，則的取值范圍是 .
【答案】 ; .
【分析】當(dāng)時(shí)，根據(jù)單調(diào)性分段求值域，再取并集即可求值域；討論可得與不符合題意；當(dāng)時(shí)，,畫出圖象，設(shè)與在上的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，討論可得時(shí)，的最小值為1，求出，解不等式即可求的取值范圍.
【詳解】若，則，
當(dāng),單調(diào)遞增，所以；
當(dāng),單調(diào)遞減，所以.
故的值域?yàn)?
當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，在上的最小值為，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，,
畫出的圖象，如圖所示：

設(shè)與在上的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
又，
當(dāng)時(shí)，由圖象可得無最小值；
當(dāng)時(shí)，由圖象可得有最小值，
由，可得，
故可得，
所以，即，
化簡得,解得.
故答案為:;.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)分段函數(shù)問題中參數(shù)值影響變形時(shí)，往往要分類討論，需有明確的標(biāo)準(zhǔn)、全面的考慮；
(2)求解過程中，求出的參數(shù)的值或范圍并不一定符合題意，因此要檢驗(yàn)結(jié)果是否符合要求．

五、填空題
16．半正多面體亦稱“阿基米德體”，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體．如圖，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，如此共可截去八個(gè)三棱錐，得到一個(gè)有十四個(gè)面的半正多面體，它的各棱長都相等，其中八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體．若該二十四等邊體的體積為，則原正方體的外接球的表面積為 ．

【答案】
【分析】令原正方體的棱長為，原正方體的外接球的半徑為，由該二十四等邊體是由棱長為的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得，可得，解得，再根據(jù)正方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑可以求得，從而可求表面積.
【詳解】令原正方體的棱長為，原正方體的外接球的半徑為，
因?yàn)樵摱牡冗咉w是由棱長為的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得，
所以.解得，即，
因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線就是外接球的直徑，
所以，即，
所以則原正方體的外接球的表面積為.
故答案為：

六、解答題
17．記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.
（1）證明：；
（2）若，求.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.
（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，
得，
因?yàn)?，所以，即?br /> 又因?yàn)?，所以?br /> （2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理
因?yàn)椋鐖D，在中，，①

在中，．②
由①②得，整理得．
又因?yàn)?，所以，解得或?br /> 當(dāng)時(shí)，（舍去）．
當(dāng)時(shí)，．
所以．
[方法二]：等面積法和三角形相似
如圖，已知，則，
即，

而，即，
故有，從而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
則．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化簡得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)
如圖，作，交于點(diǎn)E，則．

由，得．
在中，．
在中．
因?yàn)椋?br /> 所以，
整理得．
又因?yàn)?，所以?br /> 即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因?yàn)椋裕?br /> 以向量為基底，有．
所以，
即，
又因?yàn)?，所以．?br /> 由余弦定理得，
所以④
聯(lián)立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過點(diǎn)D垂直于的直線為y軸，
長為單位長度建立直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則．

由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．
設(shè)，則．⑤
由知，，
即．⑥
聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；
方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；
方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；
方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.
18．甲乙兩人進(jìn)行象棋比賽，先勝三局的人晉級(jí)，假設(shè)甲每局獲勝的概率為（不考慮平局），
(1)若比賽三局后結(jié)束，求甲晉級(jí)的概率；
(2)若已知晉級(jí)的是甲，求比賽三局后結(jié)束的概率.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解,
（2）利用條件概率公式求解.
【詳解】（1）比賽三局后結(jié)束，甲晉級(jí)，表示三局甲全獲勝，設(shè)比賽三局后甲晉級(jí)為事件,
則甲晉級(jí)的概率為;
（2）設(shè)甲晉級(jí)為事件,
有三種情況，可能比賽三場且這三場比賽甲都獲勝，其概率為，
可能比賽四場前三場甲勝兩場第四場比賽甲獲勝，其概率為,
可能比賽五場前四場比賽甲勝兩場，第五場比賽甲獲勝，其概率為，
所以,
設(shè)比賽三局后結(jié)束為事件,則,
由條件概率公式可知.
19．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)記，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，探究：是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)，
(2)是定值，定值為2

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，列方程組求出和，即可得的通項(xiàng)；由，可得，數(shù)列是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)后可得的通項(xiàng).
（2），由錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求數(shù)列的前n項(xiàng)和，代入中化簡即可.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
由已知，可得解得
∴，
又，∴，
又，∴數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為4，
∴，∴.
（2）由（1）知，
數(shù)列的前n項(xiàng)和為①，
∴②；
①-②，得，
∴，
又，則其前n項(xiàng)和為，
∴，∴為定值2．
20．如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．
??
(1)證明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）連接并延長交于點(diǎn)，連接、，根據(jù)三角形全等得到，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，即可得到為的中點(diǎn)從而得到，即可得證；
（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦的絕對(duì)值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.
【詳解】（1）證明：連接并延長交于點(diǎn)，連接、，
因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，
又平面，平面，
所以平面
??
（2）解：過點(diǎn)作，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，，所以?br /> 又，所以，則，，
所以，所以，，，，
所以，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，，所以；
所以.
設(shè)二面角的大小為，則，
所以，即二面角的正弦值為.
??

21．已知函數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，且恰為的極值點(diǎn).
（1）證明：；
（2）求在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【答案】（1）證明見解析；（2）零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．
【解析】（1）由題可得，可根據(jù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理判斷a是的唯一零點(diǎn)，且在內(nèi)；
（2）求出的導(dǎo)數(shù)，可得當(dāng)，無零點(diǎn)，當(dāng)，構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，分，，三段討論的單調(diào)性，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷的單調(diào)性，即可得出零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】解:（1）由題意，得．
因?yàn)闉楹瘮?shù)的極值點(diǎn)，
所以．
令，顯然a是的零點(diǎn)．
則，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，?br /> 所以在上有唯一的零點(diǎn)a，
所以．
（2）由（1）知，，
．
①當(dāng)時(shí)，由，，，得，，
所以在上單調(diào)遞減，，
所以在區(qū)間上不存在零點(diǎn)．
②當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，
（ⅰ）若，令，
則，所以在上單調(diào)遞減．
因?yàn)椋?br /> 所以存在，滿足．
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．
（ⅱ）若，令，，
則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以．
又因?yàn)椋?br /> 所以，在上單調(diào)遞減．
（ⅲ）若，則，
在上單調(diào)遞減．
由（ⅰ）、（ⅱ）、（ⅲ）得，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
因?yàn)?，?br /> 所以存在使得，
所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?br /> 所以在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上，在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，并分段利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理判斷，本題的難點(diǎn)在于需分多段討論且多次構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)討論.
22．已知雙曲線：，設(shè)是雙曲線上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線右焦點(diǎn)，，為雙曲線的左右頂點(diǎn).

（1）已知：無論點(diǎn)在右支的何處，總有，求的取值范圍；
（2）設(shè)過右焦點(diǎn)的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，若存在直線，使得為等邊三角形，求的值；
（3）若，，動(dòng)點(diǎn)在雙曲線上，且與雙曲線的頂點(diǎn)不重合，直線和直線與直線：分別相交于點(diǎn)和，試問：是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，坐標(biāo)為或
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，分別求出和的長度，比較大小，得到的取值范圍；
（2）要使為等邊三角形，則,即,直線l斜率不存在，再通過求出的值；
設(shè)直線l：，；
（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再計(jì)算出點(diǎn)和的坐標(biāo)，由Q點(diǎn)在雙曲線上關(guān)于軸的對(duì)稱性得，若存在點(diǎn)，使得恒成立，點(diǎn)只能在軸上，再設(shè)，根據(jù)算出t的值。
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，，
要使，則，代入化簡得，
，，
又
所以的取值范圍是。
（2）要使為等邊三角形，則,即,直線l斜率不存在，
設(shè)直線l：，則，，
要使為等邊三角形，
又，

（3）設(shè)點(diǎn)，則
直線：，則，
直線：，則
由Q點(diǎn)在雙曲線上關(guān)于軸的對(duì)稱性得，若存在點(diǎn)，使得恒成立，則點(diǎn)只能在軸上，設(shè)，
若，則，
或，
即存在定點(diǎn)E，坐標(biāo)為或
【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線中的關(guān)系及轉(zhuǎn)換，解析幾何類型題目多與幾何關(guān)系有關(guān)，多畫圖，找到變量間的幾何關(guān)系，再根據(jù)圓錐曲線的對(duì)稱性，猜測出定點(diǎn)可能存在的位置（比如軸、軸等）。注意利用向量的關(guān)系來解方程會(huì)簡單一些。本題屬于難題。

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