2023屆湖南省岳陽市岳陽縣第一中學(xué)高三下學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題含答案

這是一份2023屆湖南省岳陽市岳陽縣第一中學(xué)高三下學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題含答案，共19頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，雙空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2023屆湖南省岳陽市岳陽縣第一中學(xué)高三下學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（　?。?/span>A．1 B． C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)題意，由條件可得復(fù)數(shù)表示以為圓心，2為半徑的圓，然后再結(jié)合其幾何意義即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，∵，∴，表示以為圓心，2為半徑的圓，∴，表示圓上的點到點的距離，∴的最小值為.故選：A.2．已知，，，則的大小關(guān)系是（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，找到中間值和進(jìn)行輔助判斷.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)在上遞增可得，；根據(jù)對數(shù)函數(shù)在上遞增可得，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)在上遞減和值域可得，，∴.故選：D3．已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（　?。?/span>A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)方程表示雙曲線求出的取值范圍，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】若方程表示雙曲線，則，即，由能推出，必要性成立，由不能推出，充分性不成立，故“”是“方程表示雙曲線”的必要不充分條件.故選：B.4．直線與圓相交于A，B兩點，則的最小值為（　?。?/span>A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)題意，由條件可得直線過定點，即可得到當(dāng)直線l與線段CP垂直時，弦AB的長最小，再由勾股定理即可得到結(jié)果.【詳解】圓C：的圓心，半徑為2，由直線l：為，∴直線l過定點，又，∴P在圓C內(nèi)部，當(dāng)直線l與線段CP垂直時，弦AB的長最小，∵，∴弦AB長的最小值為.故選：C.5．a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個不重合的平面，現(xiàn)給出下面六個命題：①，，則；②若，，則；③，，則；④若，，則；⑤若，，則；⑥若，，則.其中真命題的個數(shù)是（　?。?/span>A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)空間中線線平行、線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理判斷即可.【詳解】，，為三條不重合的直線，，，為三個不重合的平面，①，，則，滿足直線與直線平行的傳遞性，所以①正確；②，，則，可能平行，可能相交，也可能異面，所以②不正確；③，，則，可能平行，也可能相交，所以③不正確；④，，則，滿足平面與平面平行的性質(zhì)，所以④正確；⑤，，則或，所以⑤不正確；⑥，，則或，所以⑥不正確；故選：C.6．甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每人各局取勝的概率均為，現(xiàn)采用五局三勝制，勝3局者贏得全部獎金800元.若前兩局比賽均為甲勝，此時因某種原因比賽中止，為使獎金分配合理，則乙應(yīng)得獎金（　?。┰?/span>.A．700 B．600 C．200 D．100【答案】D【分析】根據(jù)題意，先計算得到甲應(yīng)得獎金的期望，從而得到乙應(yīng)得獎金.【詳解】設(shè)甲應(yīng)得獎金為X，X的可能取值為800，0，甲贏得比賽有3中情況：①勝第3局，甲贏的概率為，②輸?shù)?/span>3局，勝第4局，甲贏的概率為，③輸?shù)?/span>3，4局，勝第5局，甲贏的概率為，∴甲贏的概率為，∴，則乙應(yīng)得獎金，故選：D.7．已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A． 8．設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不同的解，，，，且，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)圖象可得：，，，.，則.令，，求函數(shù)的值域，即可得出結(jié)果.【詳解】畫出函數(shù)的大致圖象如下：根據(jù)圖象可得：若方程有四個不同的解，，，，且，則，，，.，，，則.令，，而函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，則.故選：A.【點睛】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力，求解時注意借助圖象分析問題，屬于中檔題. 二、多選題9．已知正數(shù)x，y，z滿足，則（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】設(shè)，，求出，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式計算即可判斷A；利用作商法即可判斷B；利用作差法即可判斷D；再根據(jù)AD即可判斷C.【詳解】解：設(shè)，，則，，，所以，A正確；因為，則，因為，則，所以，B正確；因為，則，D正確.因為，則，所以，C錯誤.故選：ABD.10．已知數(shù)列的前項和，則（    ）A． B．不是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列中最小 D．【答案】BD【分析】根據(jù)求出數(shù)列的通項公式，即可判斷A、B、C，再根據(jù)數(shù)列的特征計算D；【詳解】解：因為，當(dāng)時，當(dāng)時，所以，顯然當(dāng)時不成立，所以，所以從第二項起以為公差的等差數(shù)列，故數(shù)列不是等差數(shù)列，即A錯誤，B正確；從第二項起為遞增的等差數(shù)列，又，所以為數(shù)列的最小項，故C錯誤；因為，所以，故D正確；故選：BD11．下列說法正確的是（    ）A．直線的傾斜角為B．存在使得直與直線垂直C．對于任意，直線與圓相交D．若直線過第一象限，則【答案】ABC【分析】對于A：化簡成點斜式，利用斜率與傾斜角的關(guān)系得出結(jié)論，C選項首先求出直線過定點，且定點在圓的內(nèi)部，得出結(jié)論，B、C是通過特值得出結(jié)論.【詳解】對于A：∵，∴，∴，故A正確；對于B：時符合題意，故B正確；對于C：化簡得：∴，解得∴直線過定點，又∵∴該定點在圓內(nèi)，∴直線與圓相交，故C正確；對于D：當(dāng)此時直線為，經(jīng)過第一象限，此時，故D錯誤．故選：ABC．12．已知四面體ABCD中，，，，O為其外接球球心，AO與AB，AC，AD所成的角分別為，，，有下列結(jié)論正確的是（　?。?/span>A．該四面體的外接球的表面積為B．該四面體的體積為10C．D．【答案】AD【分析】將四面體補(bǔ)形為長方體，結(jié)合長方體的外接球以及棱錐的體積公式即可判斷AB，由，，分別等同于長方體的體的體對角線AE與面對角線AB，AC，AD所成的角即可判斷C，由，，為三角形的三個內(nèi)角，即可判斷D.【詳解】依題意，把四面體補(bǔ)成長方體，如圖，設(shè)長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則，，，解得，，；由于四面體的外接球就是長方體的外接球，所以球的半徑，可得該四面體的外接球的表面積為，故A正確；該四面體的體積等于長方體的體積去掉四個三棱錐的體積，則，故B錯誤；四面體的外接球的球心O是長方體體對角線的中點，則，，分別等同于長方體的體的體對角線AE與面對角線AB，AC，AD所成的角，則，即，故C錯誤；，，是邊長為5，，的三角形的三個內(nèi)角，故，故D正確.故選：AD. 三、填空題13．已知集合，，若，則______．【答案】【分析】由兩個集合相等，結(jié)合集合元素的特征，分析可得，即可計算出答案.【詳解】因為集合，且,所以，所以即，此時，，所以即，根據(jù)集合元素的互異性，所以，所以.故答案為：.14．函數(shù)的部分圖像如圖所示，則 ______ .【答案】2.【解析】由正切函數(shù)性質(zhì)求得兩點的坐標(biāo)，然后計算數(shù)量積．【詳解】，，，，最小的正整數(shù)為，，，，，，最小的正整數(shù)為，，，∴，故答案為：2．【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，解題關(guān)鍵是由正切函數(shù)性質(zhì)求出兩點坐標(biāo)，然后計算．15．已知曲線在點處的切線與曲線相切,則a=________．【答案】8【詳解】試題分析：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，所以切線方程為；曲線的導(dǎo)函數(shù)的為，因與該曲線相切，可令，當(dāng)時，曲線為直線，與直線平行，不符合題意；當(dāng)時，代入曲線方程可求得切點，代入切線方程即可求得.【解析】導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)用.【方法點睛】求曲線在某一點的切線，可先求得曲線在該點的導(dǎo)函數(shù)值，也即該點切線的斜率值，再由點斜式得到切線的方程，當(dāng)已知切線方程而求函數(shù)中的參數(shù)時，可先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)的值等于切線的斜率，這樣便能確定切點的橫坐標(biāo)，再將橫坐標(biāo)代入曲線（切線）得到縱坐標(biāo)得到切點坐標(biāo)，并代入切線（曲線）方程便可求得參數(shù)．  四、雙空題16．設(shè)拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過第一象限內(nèi)的拋物線上一點作的垂線，垂足為.設(shè)，直線與相交于點.若，且的面積為，則直線的斜率___________，拋物線的方程為___________.【答案】          【分析】根據(jù)，的坐標(biāo)得到，根據(jù)∥軸，和得到四邊形為平行四邊形，再結(jié)合拋物線的定義得到點的坐標(biāo)，利用列方程，解方程得到，即可得到拋物線方程，最后利用坐標(biāo)求斜率即可.【詳解】如圖所示，，，所以，∵軸，，，∴，所以四邊形為平行四邊形，∴，，∴解得，代入可取，∴解得，∴， ∴.故答案為：；. 五、解答題17．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；(2)設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，若，，且的面積為，求的值．【答案】(1)增區(qū)間為，最小正周期為；(2)或. 【分析】（1）先根據(jù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)形式，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；（2）先根據(jù)求C，再根據(jù)三角形面積公式得，由余弦定理得，最后解方程組得結(jié)果.【詳解】（1），所以最小正周期；由，得函數(shù)的增區(qū)間為（2）由得，∴，∵，∴，∴，∴，，①由余弦定理，∴，②由①②解得或18．PMI值是國際上通行的宏觀經(jīng)濟(jì)監(jiān)測指標(biāo)之一，能夠反映經(jīng)濟(jì)的變化趨勢.下圖是國家統(tǒng)計局發(fā)布的某年12個月的制造業(yè)和非制造業(yè)PMI值趨勢圖.將每連續(xù)3個月的PMI值做為一個觀測組，對國家經(jīng)濟(jì)活動進(jìn)行監(jiān)測和預(yù)測(1)現(xiàn)從制造業(yè)的10個觀測組中任取一組，（ⅰ）求組內(nèi)三個PMI值至少有一個低于50．0的概率；（ii）若當(dāng)月的PMI值大于上一個月的PMI值，則稱該月的經(jīng)濟(jì)向好.設(shè)表示抽取的觀測組中經(jīng)濟(jì)向好的月份的個數(shù)（由已有數(shù)據(jù)知1月份的PMI值低于去年12月份的PMI值），求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)用表示第月非制造業(yè)所對應(yīng)的PMI值，表示非制造業(yè)12個月PMI值的平均數(shù)，請直接寫出取得最大值所對應(yīng)的月份．【答案】(1)（ⅰ）；（ii）分布列見解析,；(2)月份. 【分析】（1）（ⅰ）根據(jù)已知條件寫出基本事件的個數(shù)，再利用古典概型的計算公式即可求解；（ii）根據(jù)已知條件寫出隨機(jī)變量的取值求出對應(yīng)的概率，進(jìn)而得出分布列，根據(jù)分布列及數(shù)學(xué)期望的公式即可求解；（2）根據(jù)已知條件求出，結(jié)合某年12個月的非制造業(yè)PMI值趨勢圖即可求解.【詳解】（1）（ⅰ）從制造業(yè)的10個觀測組中任取一組的基本事件有，共有10個，設(shè)“組內(nèi)三個PMI值至少有一個低于50．0”為事件，則事件包含的結(jié)果有共4個，由古典概型的計算公式，得（ii）的可能取值為，，，.的分布列為所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.（2）月份，理由如下由某年12個月的非制造業(yè)PMI值趨勢圖中的數(shù)據(jù)，得根據(jù)某年12個月的非制造業(yè)PMI值趨勢圖，可知當(dāng)時，取得最大值為.19．已知數(shù)列是等比數(shù)列，且公比，．（1）求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，且前n項和為，求的表達(dá)式；（3）設(shè)由（2）中及構(gòu)成函數(shù)，，求的最小值與最大值．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)已知求出公比即可得出通項公式；（2）利用分組求和法即可求出；（3）化簡得出，根據(jù)通項公式即可求出最值.【詳解】（1）由題可得，，，；（2），；（3），所以當(dāng)時，有最小值，當(dāng)時，有最大值.20．如圖，四棱錐中，底面ABCD為等腰梯形，，，且平面平面ABCD，.(1)求證：；(2)與平面所成的角為，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2). 【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)證明線線平行，先證平面即可.（2）用向量法求二面角.【詳解】（1）證明：取AB的中點，連接，則由題意知為正三角形，所以，由等腰梯形知，設(shè)，則，，故，即得，所以，因為平面平面，，平面平面，平面PAD，所以平面，又平面，所以，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以.（2）由（1）得，，兩兩垂直，則以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，因為平面，所以平面所成的角為，設(shè)，則，，則，，，，則，，，設(shè)平面PAB的法向量為，則，即   ，取，則，設(shè)平面PBC的法向量為，則，即，取，則，所以，所以二面角的余弦值為.21．已知橢圓C：的長軸長為，離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動點P為橢圓C外一點，且過點P的橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由橢圓的相關(guān)概念及離心率求解即可；（2）設(shè)出動點P的坐標(biāo)，求出切線方程，聯(lián)立方程組由求解即可（注意分類討論）.【詳解】（1）由題意可知，解得，，∵，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)點，①當(dāng)兩條切線斜率均存在時，設(shè)其中一條切線為，另一條為，聯(lián)立方程，消去y得，∴，即，則，是方程的兩個不等實根，∴，又∵兩條切線相互垂直，∴，∴，整理得，即點P的軌跡方程為，②當(dāng)兩條切線中有一條斜率不存在時，即A、B兩點分別位于橢圓長軸與短軸的端點，P的坐標(biāo)為，把點代入亦成立，綜上所述，點P的軌跡方程為：.22．已知函數(shù)，其中函數(shù)，.（1）求函數(shù)在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最大值；（3）當(dāng)時，對于給定的正整數(shù)，問：函數(shù)是否有零點？請說明理由.（參考數(shù)據(jù)，，，）【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時，函數(shù)無零點；當(dāng)時，函數(shù)有零點，理由見解析.【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)可得切線斜率，進(jìn)而由點斜式即可得切線方程；（2）先求得，可得或，再比較和的大小，利用函數(shù)單調(diào)性可得最大值；（3）先證明，函數(shù)無零點，構(gòu)造，，利用可證得，，函數(shù)有零點，利用零點存在性定理即可證得.【詳解】（1），故，，∴切線方程為，即.（2），，可得或.①，即時，在上遞減，在上遞增，∴；②，即時，在上遞增，遞減，在上遞增，∴；綜上所述，；（3），函數(shù)無零點，，函數(shù)有零點.理由如下：時，證明即可，即證明.令，，而，令，解得：，令，解得：，∴，，令，解得：，令，解得：，故，∴，故命題得證.當(dāng)時，，，，所以，函數(shù)有零點.【點睛】本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，第二問分兩種情況討論是本題的難點，通過構(gòu)造，，是解題的關(guān)鍵，屬于難題.