湖南省岳陽市岳陽縣2024屆高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 如圖，是全集，是的3個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根據(jù)陰影部分的位置得答案.
【詳解】圖中陰影部分不在集合中，在集合中，
故陰影部分所表示的集合是.
故選：C.
2. 下列有關(guān)命題說法正確的是
A. “”是“”的必要不充分條件
B. 命題“,”的否定是“，”
C. 三角形ABC的三內(nèi)角為A、B、C，則是的充要條件
D. 函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)
【答案】C
【解析】
【詳解】A正確應(yīng)為“x＝?1”是“”的充分不必要條件；
B正確應(yīng)為命題“?x∈R，”的否定是“?x∈R，”，
D正確應(yīng)為函數(shù)f（x）＝x?sinx（x∈R）只有x＝0這1零點(diǎn)．
C項(xiàng)是正確的：在三角形中，A＞B?a＞b?2RsinA＞2RsinB?sinA＞sinB，其中R為三角形外接圓的圓心，
故選：C．
3. 如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果的值為（）
A. 0B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】模擬執(zhí)行程序，即可計(jì)算出輸出值.
【詳解】第一次循環(huán)：，，滿足；
第二次循環(huán)：，，滿足；
第三次循環(huán)：，，滿足；
第四次循環(huán)：，，滿足；
第五次循環(huán)：，，滿足；
第六次循環(huán)：，，滿足；
第七次循環(huán)：，，滿足；
，
又，
第次循環(huán)：，，滿足；
第次循環(huán)：，，滿足；
第次循環(huán)：，，不滿足，
退出循環(huán)，輸出.
故選：A
4. 一個(gè)盒子里有6支好晶體管，4支壞晶體管，任取兩次，每次取一支，每次取后不放回，若已知第一支是好的，則第二支也是好的概率為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)“第一次取到好的”為事件A，“第二次取到好的”為事件B，結(jié)合題意計(jì)算出，，再利用條件概率公式即可得到答案
【詳解】解：設(shè)“第一次取到好的”為事件A，“第二次取到好的”為事件B，
，，
，
故選：C
5. 設(shè)函數(shù)，若對于任意的，都有，則的最小值為（）
A. 4B. 2C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可得是函數(shù)的最小值，是函數(shù)的最大值，的最小值就是函數(shù)的半周期長.
【詳解】函數(shù)，若對于任意的，都有，
則是函數(shù)的最小值，是函數(shù)的最大值，的最小值即為函數(shù)的半周期長，
而函數(shù)的最小正周期，因此.
故選：B
6. 棱長為的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球，則這些球的最大半徑為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出正四面體的體積及表面積，利用求出內(nèi)切球的半徑，再通過求出空隙處球的最大半徑即可.
【詳解】
如圖，由題意知球和正四面體的三個(gè)側(cè)面以及內(nèi)切球都相切時(shí)半徑最大，設(shè)內(nèi)切球球心為，半徑為，空隙處的最大球球心為，半徑為，
為的中心，易知面，為中點(diǎn)，球和球分別與面相切于和.
易得，，，由，
可得，又，，
故，，，
又由和相似，可得，即，解得，即球的最大半徑為.
故選：C.
7. 復(fù)數(shù)滿足，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得復(fù)數(shù)，即可得到復(fù)數(shù)的模，得到答案．
【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，解得，所以，故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的模的求解，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
8. 公比不為的等比數(shù)列中，若，則不可能為
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得到，且，即可求解，得到答案．
【詳解】由，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，且，
所以可能值為或或，
所以不可能的是6，故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中熟記等比數(shù)列的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
9. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡方程是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)，然后表示出向量的坐標(biāo)，代入已知條件，整理后得到動點(diǎn)的軌跡方程.
【詳解】設(shè)，
，，
因?yàn)?br>所以
整理得
故選A項(xiàng).
【點(diǎn)睛】本題考查求動點(diǎn)的軌跡方程，屬于簡單題.
10. 已知的垂心為，且是的中點(diǎn)，則
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將轉(zhuǎn)化為，然后得到，再將和，用來表示，得到答案.
【詳解】因?yàn)闉榈拇剐模裕?br>而，
所以
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
所以
【點(diǎn)睛】本題考查向量的互相表示，向量的數(shù)量積，屬于簡單題.
11 已知正實(shí)數(shù)，，滿足：，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】??的值可以理解為圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則根據(jù)圖象可判斷，，大小關(guān)系.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以??為與，，的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
如圖所示：

由圖象知： .
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)以及函數(shù)零點(diǎn)問題，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬中擋題.
12. 函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)，，為常數(shù)）有三個(gè)不同零點(diǎn)，則的取值范圍是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，得到，可得一個(gè)零點(diǎn)為，轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)解，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值和最值，得到圖像，從而得到和有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的范圍，得到答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>令，得
可得一個(gè)零點(diǎn)為，
所以當(dāng)時(shí)，
轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解
設(shè)
即圖像與的圖像有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
當(dāng)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取最小值為
且時(shí)，，
所以的范圍為，
故選A項(xiàng).
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，屬于中檔題.
二．填空題（共4小題，共20分）
13. 已知展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為3，則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______．
【答案】##
【解析】
【分析】令，求出，再求出的通項(xiàng)即可得出答案.
【詳解】令可得：，
由展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為3，
所以，解得：，
所以的通項(xiàng)為：，
令，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為：.
故答案為：.
14. 若圓：與圓：外切，則的最大值為______．
【答案】
【解析】
【分析】將圓的一般方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓心坐標(biāo)和半徑，由兩圓外切，可得，的關(guān)系，由均值不等式即可求解.
【詳解】圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
圓心，半徑，
圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
圓心，半徑，
因兩圓外切，所以，即，所以，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
所以，所以，
所以，所以的最大值為.
故答案為：.
15. 已知定義在上的偶函數(shù)滿足，，則等于______．
【答案】
【解析】
【分析】由滿足，利用函數(shù)的奇偶性，求得函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，進(jìn)而可求的值．
【詳解】由題意，函數(shù)滿足，即，
，，
又由函數(shù)是上的偶函數(shù)，即，所以，
即，取得，
所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，
則
故答案為：.
16. 已知正方體的棱長為3，垂直于棱的截面分別與面對角線，相交于點(diǎn)，則四棱錐體積的最大值為______．
【答案】
【解析】
【分析】先通過面面平行的性質(zhì)以及垂直關(guān)系得到四邊形為矩形，設(shè)到平面的距離為，表示出體積，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值.
【詳解】已知正方體垂直于棱的截面分別與面對角線，相交于點(diǎn)，
則面面，又面面，面面，
所以，同理，所以，同理，
即四邊形為平行四邊形，又，所以，
所以四邊形為矩形，
又，
設(shè)到平面的距離為，
則，所以，
所以四棱錐體積
所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，四棱錐體積最大值.
故答案為：.
三．解答題（共6小題，共70分）
17. 已知在中，角所對的邊分別為，且．
（1）求角的大小；
（2）設(shè)向量，求當(dāng)取最大值時(shí)，的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)兩角和的正弦公式結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得解；
（2）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式結(jié)合二倍角的余弦公式及二次函數(shù)的性質(zhì)，求出取最大值時(shí)，的值，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理及兩角和的正切公式即可得出答案.
【小問1詳解】
由題意，
所以，
，．
，
，；
【小問2詳解】
，
所以當(dāng)時(shí)，取最大值，
此時(shí) ，
.
18. 如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（1）證明：AP⊥BC；
（2）在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A﹣MC﹣B為直二面角？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）見解析（2）存在，3
【解析】
【分析】
【詳解】以O(shè)為原點(diǎn)，以AD方向?yàn)閥軸正方向，以射線OP的方向?yàn)閦軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，
則O（0，0，0），A（0，﹣3，0），B（4，2，0），C（﹣4，2，0），P（0，0，4）
（1）則=（0，3，4），=（﹣8，0，0）
由此可得?=0
∴⊥
即AP⊥BC
（2）設(shè)=λ，則=λ（0，﹣3，﹣4）
=+=+λ=（﹣4，﹣2，4）+λ（0，﹣3，﹣4）
=（﹣4，5，0），=（﹣8，0，0）
設(shè)平面BMC的法向量=（a，b，c）
則
令b=1，則=（0，1，）
平面APC的法向量=（x，y，z）
則
即
令x=5
則=（5，4，﹣3）
由=0
得4﹣3=0
解得λ=
故AM=3
綜上所述，存在點(diǎn)M符合題意，此時(shí)AM=3
19. 已知，函數(shù)，.
（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；
（2）是否存在實(shí)數(shù)，使曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）答案見解析
（2）不存在，理由見解析
【解析】
【分析】（1）先求的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)分類討論，確定對應(yīng)區(qū)間導(dǎo)函數(shù)的符號，即得單調(diào)性；
（2）先求的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)范圍確定方程無解.
【小問1詳解】
，
，
①若，則，在上單調(diào)遞增；
②若，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
③若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減.
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
【小問2詳解】
，，
，由（1）易知，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在上的最小值為，
即，，又，
，
曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直等價(jià)于方程有實(shí)數(shù)解，
而，即方程無實(shí)數(shù)解，
故不存在實(shí)數(shù)，使曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直.
20. 在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建坐標(biāo)系，已知曲線，已知過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為：，
直線與曲線分別交于，.
（1）寫出曲線和直線的普通方程；
（2）若，，成等比數(shù)列，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用互化公式即可將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；利用代入消元法消去參數(shù)，即可得到直線的普通方程；
（2）把直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理和參數(shù)的幾何意義分別表示出，，，利用等比中項(xiàng)即可求出的值.
【小問1詳解】
根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化可得，，
即；
直線的參數(shù)方程為：，
消去參數(shù)得：直線的方程為，即.
所以曲線的普通方程為；
直線的普通方程為；
【小問2詳解】
直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），
代入得到，
設(shè)、兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為、，在，，
，則有，，
因?yàn)?，所以?br>即：，
解得或（舍）.
綜上：.
21. 已知直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且.
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）求二面角余弦值的大小.
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】（Ⅰ）在中，由面積相等得到，直角三角形中，得到，由得，易得，從而得到平面.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出面法向量為，面法向量為，從而得到二面角的余弦值.
【詳解】連接，在中，
故.
由于三棱柱是直三棱柱，故平面，
直角三角形中，因?yàn)?，?br>所以所以，
又因?yàn)橹苯?，?
再由為中點(diǎn)并且為等腰三角形可知，
結(jié)合，得平面，.
綜合，，，得到平面.
由于，如圖以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
，故，，，，
,,
設(shè)面法向量為，
面法向量為，
，取，得，
，取，得，
則二面角的余弦值.
【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)，通過法向量求二面角的余弦值，屬于中檔題.
22. 已知橢圓：四個(gè)頂點(diǎn)中的三個(gè)是邊長為的等邊三角形的頂點(diǎn).
（1）求橢圓的方程：
（2）設(shè)直線與圓：相切且交橢圓于兩點(diǎn)，，求線段的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由題意可得，再根據(jù)邊長為得出的值便可解出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)，，先根據(jù)直線與圓相切，利用點(diǎn)到線距離公式得到，然后聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長公式得到關(guān)于與的表達(dá)式，將代入得到關(guān)于的表達(dá)式，然后設(shè)法求最值.
【詳解】解：（1）由題意，橢圓上下頂點(diǎn)與左右頂點(diǎn)其中的一個(gè)構(gòu)成等邊三角形，
∴，，∴ ，，橢圓：
（2）設(shè)，，
因?yàn)閳A：，因?yàn)橹本€與圓：相切，
所以點(diǎn)到直線的距離等于圓的半徑，即，
即.聯(lián)立方程得，設(shè)，則，，
故
.
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立.所以弦長的最大值是.
【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，考查直線與橢圓相交時(shí)弦長的最值問題，難度較大.解答時(shí)，利用韋達(dá)定理表示弦長的表達(dá)式是關(guān)鍵，然后利用基本不等式、函數(shù)等方法求其最值.

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