2023屆吉林省通化市梅河口市第五中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化簡集合A、B，再去求即可解決【詳解】則故選：C2．已知向量 ， ，若 ，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示求出的值，利用二倍角公式以及弦化切可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】已知向量 ， ，且，則，即，若，則，這與矛盾，所以，，故，因此，.故選：A.3．分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦·B·曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路．下圖是按照，的分形規(guī)律生長成的一個(gè)樹形圖，則第10行的實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（    ）A．89 B．55 C．34 D．144【答案】C【分析】記第行實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，由圖中實(shí)心圓點(diǎn)個(gè)數(shù)的規(guī)律可知，由此即可計(jì)算出答案.【詳解】設(shè)第行實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，由題圖可得，，，，，，，……，則，故，，，．故選：C．4．如圖，在三角形中，是線段上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（    ）  A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量線性運(yùn)算，用基底向量表示出即可求解作答.【詳解】在中，設(shè)，則，因?yàn)?/span>，則有，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.故選：A5．已知數(shù)列是公比不等于的等比數(shù)列，若數(shù)列，，的前2023項(xiàng)的和分別為m，，20，則實(shí)數(shù)m的值（    ）A．只有1個(gè) B．有2個(gè) C．無法確定 D．不存在【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求得數(shù)列，，的前2023項(xiàng)的和，通過觀察得出關(guān)于的方程，由此求得的值.【詳解】是公比不等于的等比數(shù)列，則數(shù)列，都是公比不為1的等比數(shù)列，前者公比為，后者公比為.設(shè)的公比為q，則，，，觀察可知：，即，所以或.故選：B6．已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列是遞增數(shù)列，列出符合條件的不等式組，求出的取值范圍即可.【詳解】數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則，解得，故的取值范圍是故選：D7．設(shè)，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到當(dāng)時(shí)，從而說明，再比較與的大小關(guān)系，即可得解.【詳解】解：令，則，所以在定義域上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以，又，，且，，所以；故選：B8．已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，且，則的最大值是（    ）A．0 B．2 C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在上遞增，轉(zhuǎn)化為存在，使得有兩個(gè)相異實(shí)根，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象有，設(shè)，再利用導(dǎo)數(shù)可得答案.【詳解】由于，故函數(shù)在上遞增，又有兩個(gè)相異實(shí)根，所以存在，使得有兩個(gè)相異實(shí)根，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖以及題意可知，，由，解得，，即有，設(shè)，，可得，所以在上單調(diào)遞增，．故選：C. 二、多選題9．下列各式中，值為的是（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】對于A，根據(jù)輔助角公式，結(jié)合特殊角三角函數(shù)，可得答案；對于B，采用降冪公式，結(jié)合特殊角三角函數(shù)，可得答案；對于C，根據(jù)特殊角三角函數(shù)，結(jié)合正切的和角公式，可得答案；對于D，根據(jù)輔助角公式，結(jié)合余弦的差角公式，可得答案；【詳解】對于A，，故A錯(cuò)誤；對于B，， ，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，.故選：BCD.10．已知平面非零向量，，下列結(jié)論正確的是（    ）A．若存在非零向量使得，則B．已知向量，則在方向上的投影向量是C．已知向量與的夾角是鈍角，則k的取值范圍是D．若{，}是它們所在平面所有向量的一組基底，且不是基底，則實(shí)數(shù)【答案】BD【分析】選項(xiàng)A可由向量的運(yùn)算性質(zhì)判斷；選項(xiàng)B根據(jù)投影向量的定義判斷；選項(xiàng)C將向量的夾角轉(zhuǎn)化為數(shù)量積進(jìn)行運(yùn)算；選項(xiàng)D根據(jù)共線向量基本定理進(jìn)行運(yùn)算.【詳解】選項(xiàng)A，，則，所以或，所以A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，在方向上的投影向量的長度為，所以投影向量為，B正確；選項(xiàng)C，，則，所以；當(dāng)與共線時(shí)，，，則k的取值范圍是，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，不是基底，即共線，則存在，使得，，故，或，所以D正確；故選：BD.11．在中，角的對邊分別是，下列說法正確的是（    ）A．若，則有2解；B．若，則；C．若，則為銳角三角形；D．若，則為等腰三角形或直角三角形.【答案】BCD【分析】利用正余弦定理都每項(xiàng)逐一判斷即可【詳解】對于A，由正弦定理可得： ，，此時(shí)無解，A錯(cuò)誤；對于B， ， ，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可知，故B正確；對于C，， ，可知均為銳角，故為銳角三角形，故C正確；對于D，，由余弦定理可得：,整理得：，或 即或 ，為等腰三角形或直角三角形，故D正確故選：BCD12．函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，且是奇函數(shù)，設(shè)，，則以下結(jié)論正確的有（    ）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．若的導(dǎo)函數(shù)為，定義域?yàn)?/span>R，則C．的圖象存在對稱中心D．設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，若，則【答案】BCD【分析】A.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及是奇函數(shù)得到是偶函數(shù)判斷；B.由的對稱性， 為奇函數(shù)判斷；C.由，結(jié)合為奇函數(shù)判斷；D.由C得到時(shí)，，再結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)判斷.【詳解】對A，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及的對稱性，在和處的切線也關(guān)于原點(diǎn)對稱，其斜率總相等，故是偶函數(shù)，對稱軸為，A錯(cuò)；對B，由的對稱性，在和處的切線關(guān)于縱軸對稱，其斜率互為相反數(shù)，故為奇函數(shù)，又定義域?yàn)?/span>，B對；對C，，由為奇函數(shù)知為奇函數(shù)，圖像關(guān)于對稱，可以看作由按向右移動(dòng)4個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位而得，所以的圖象存在對稱中心，故C對；對D，由C選項(xiàng)知，當(dāng)時(shí)，，由等差數(shù)列性質(zhì)，同理，…，故，D正確.故選：BCD 三、填空題13．已知向量、滿足，，，則        .【答案】【分析】由已知，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得，再由，即可求.【詳解】，又，，∴，而，∴.故答案為：14．已知等差數(shù)列 的前項(xiàng)和為，且，則滿足的正整數(shù)的最大值 為    【答案】21【分析】由可知，則可知，由此即可選出答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以所以故，所以滿足的正整數(shù)的最大值為21．故答案為：2115．關(guān)于x的不等式的解集為          【答案】【分析】由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與換元法求解【詳解】令，則，解得，則，解得，故答案為：16．?dāng)?shù)列滿足，，則前40項(xiàng)和為        ．【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得、，利用分組求和可求前40項(xiàng)和，【詳解】當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，， 所以，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故，故前40項(xiàng)和為，故答案為： 四、解答題17．在三角形中，已知，求：(1)的值；(2)角的大小和三角形的面積.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由余弦定理列方程直接求解；（2）由正弦定理求出，利用三角形的性質(zhì)求出角，代入面積公式即可求解面積.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，由余弦定理，得，化簡得，解得或（舍），所以；（2）因?yàn)?/span>，所以.由正弦定理，得，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以為銳角，所以，所以.18．已知函數(shù)(其中)的圖象與軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為, 且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為.(1) 求函數(shù)的最小正周期和對稱中心；(2) 將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的，再把所得到的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求出函數(shù)f(x)的解析式，再求函數(shù)的最小正周期和對稱中心；（2）先求出函數(shù)的解析式，再求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【詳解】由題得A=2,T=.又因?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，所以.所以f(x)＝＝2sin，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝π，令，∴f(x)的對稱中心為，k∈Z.(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到y＝2sin；再把所得到的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)x＝0時(shí)，g(x)max＝2，當(dāng)x＝時(shí)，g(x)min＝－1.∴y＝g(x)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>[－1，2].【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖像的變換和解析式的求法，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.19．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用，求得通項(xiàng)公式，利用的前項(xiàng)公式求得，進(jìn)而求得.（2）利用錯(cuò)位求和法求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）由題意知，①，可得②，兩式相減得：，整理得：，即，因?yàn)?/span>，所以．令可得：，解得，即，所以．所以．所以，，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以．（2）令，前項(xiàng)和為，則有：，等式兩邊同乘以2有：，兩式相減得：，整理化簡得：．20．某興趣小組為了解某城市不同年齡段的市民每周的閱讀時(shí)長情況，在市民中隨機(jī)抽取了人進(jìn)行調(diào)查，并按市民的年齡是否低于歲及周平均閱讀時(shí)間是否少于小時(shí)將調(diào)查結(jié)果整理成列聯(lián)表，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)得出樣本中周平均閱讀時(shí)間少于小時(shí)的人數(shù)占樣本總數(shù)的.歲以上（含歲）的樣本占樣本總數(shù)的，歲以下且周平均閱讀時(shí)間少于小時(shí)的樣本有人. 周平均閱讀時(shí)間少于小時(shí)周平均閱讀時(shí)間不少于小時(shí)合計(jì)歲以下  歲以上（含歲）   合計(jì)  (1)請根據(jù)已知條件將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析周平均閱讀時(shí)間長短與年齡是否有關(guān)聯(lián).如果有關(guān)聯(lián)，解釋它們之間如何相互影響.(2)現(xiàn)從歲以上（含歲）的樣本中按周平均閱讀時(shí)間是否少于小時(shí)用分層抽樣法抽取人做進(jìn)一步訪談，然后從這人中隨機(jī)抽取人填寫調(diào)查問卷，記抽取的人中周平均閱讀時(shí)間不少于小時(shí)的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式及數(shù)據(jù)：，.【答案】(1)列聯(lián)表見解析；周平均閱讀時(shí)間長短與年齡有關(guān)聯(lián)；隨著年齡的增長，周平均閱讀時(shí)間也會(huì)有所增長.(2)分布列見解析；數(shù)學(xué)期望 【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)可計(jì)算得到補(bǔ)全列聯(lián)表所需的數(shù)據(jù)，進(jìn)而補(bǔ)全列聯(lián)表，并計(jì)算得到，由此可得結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣原則可確定樣本中周平均閱讀時(shí)間少于小時(shí)和不少于小時(shí)的人數(shù)，由此可得所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可求得每個(gè)取值對應(yīng)的概率，由此可得分布列；由數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式可求得期望值.【詳解】（1）樣本中周平均閱讀時(shí)間少于小時(shí)的人數(shù)占樣本總數(shù)的，樣本中周平均閱讀時(shí)間少于小時(shí)的人數(shù)為人，則其中年齡在歲以上（含歲）的人數(shù)為人；歲以上（含歲）的樣本占樣本總數(shù)的，歲以上（含歲）的人數(shù)為人，則其中周平均閱讀時(shí)間不少于小時(shí)的人數(shù)為人；歲以下周平均閱讀時(shí)間不少于小時(shí)的人數(shù)為人；則補(bǔ)充列聯(lián)表如下： 周平均閱讀時(shí)間少于小時(shí)周平均閱讀時(shí)間不少于小時(shí)合計(jì)歲以下歲以上（含歲）合計(jì)假設(shè)：周平均閱讀時(shí)間長短與年齡無關(guān)聯(lián)，，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)分析判斷不成立，即周平均閱讀時(shí)間長短與年齡有關(guān)聯(lián).二者之間的相互影響為：隨著年齡的增長，周平均閱讀時(shí)間也會(huì)有所增長.（2）由題意可知：抽取的人中，周平均閱讀時(shí)間少于小時(shí)的有人，不少于小時(shí)的有人；則所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學(xué)期望.21．在數(shù)列中，，，，（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【詳解】試題分析：（1）本問考查等比數(shù)列的證明，根據(jù)等比數(shù)列定義，為了證明數(shù)列為等比數(shù)列，需要證明為一個(gè)常數(shù)，根據(jù)已知條件，所以，于是問題得證；（2）根據(jù)第（1）問，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是可以求出，于是可以累加法求通項(xiàng)，，則 ，，數(shù)列的前項(xiàng)和可以拆分為數(shù)列，的前項(xiàng)和.試題解析：（1）由 ，得，又，，所以所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．     所以，所以. （2）, ，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則 記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則      .                            所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.22．設(shè)m為實(shí)數(shù)，函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，直線是曲線的切線，求的最小值；(3)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，證明：．【答案】(1)當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．(2).(3)證明見解析. 【分析】(1)先對求導(dǎo)，根據(jù)m≥0和m＜0進(jìn)行分類討論，通過導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以確定函數(shù)的單調(diào)性；(2)利用求切線斜率，得到切線方程，可得的表達(dá)式，命成新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求出最小值. (3).方程化簡，命成新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性判斷兩根的范圍，利用兩根的關(guān)系引入新變量表示兩根，要證明的不等式用新變量表示，再通過命成新函數(shù)借助導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性找出極值得到不等式成立的充分條件.【詳解】（1），函數(shù)定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞增；，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)切點(diǎn)為，，則切線斜率，切線方程為，，，，，令，函數(shù)定義域?yàn)?/span>，，，；，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即的最小值為（3）證明：，即，則，令，函數(shù)定義域?yàn)?/span>，，，；，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，不妨設(shè)，，令，，所以，，，要證，只要證，只要證，令，，，，；，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，（1），則存在，使得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，，在上恒成立，得證．【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，也是求曲線的切線必備的知識(shí)點(diǎn)1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號．2.研究函數(shù)的最值則要注意區(qū)分函數(shù)最值與極值的區(qū)別.3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是:導(dǎo)函數(shù)在切點(diǎn)處的函數(shù)值就是切線的斜率.4.證明不等式時(shí),根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧，有著非凡的功效. 

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