2023屆甘肅省隴南、臨夏、甘南三地高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．已知集合，那么（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)元素與集合關(guān)系，集合與集合關(guān)系可判斷.【詳解】，，，.故選：B.2．如果命題，命題，那么命題是命題的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】根據(jù)包含關(guān)系確定正確選項.【詳解】由于，所以命題是命題的充分不必要條件.故選：A【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.3．已知圓C與直線x-y=0及x-y-4=0都相切，圓心在直線x+y=0上，則圓C的方程為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件求得圓心和半徑，由此求得圓的方程.【詳解】直線與直線平行，直線與直線都與圓相切，所以圓的圓心在直線上，由可求得.直線與直線的距離為，所以圓的半徑為，所以圓的方程為.故選：B4．設(shè)函數(shù)，則的表達式是A． B． C． D．【答案】B【分析】由，知，令，則，先求出，由此能求出.【詳解】，，令，則，，，故選B.【點睛】本題考查函數(shù)解折式的求解及常用方法，解題時要認真審題,仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.5．在等差數(shù)列{an}中，已知a5=3，a9=6，則a13=（    ）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】A【解析】在等差數(shù)列{an}中，利用等差中項由求解.【詳解】在等差數(shù)列{an}中，a5=3，a9=6，所以，所以，故選：A6．原點到直線的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用點到直線的距離公式，求得所求的距離.【詳解】由點到直線距離可知所求距離.故選：D【點睛】本小題主要考查點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.7．已知的頂點，，其垂心為，則其頂點的坐標為A． B． C． D．【答案】A【分析】由垂心的定義可知，；根據(jù)垂直時斜率乘積為可知，，利用兩點連線斜率公式可構(gòu)造出方程組求得結(jié)果.【詳解】為的垂心    ，又，直線斜率存在且，設(shè)，則，解得：    本題正確選項：【點睛】本題考查根據(jù)直線與直線垂直的位置關(guān)系求解參數(shù)的問題；關(guān)鍵是能夠利用垂心的性質(zhì)得到直線與直線的垂直關(guān)系.8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點P是該雙曲線上的一點，且，則（    ）A．2或18 B．2 C．18 D．4【答案】C【解析】首先根據(jù)可判斷出點P在該雙曲線左支上，再根據(jù)雙曲線的定義即可得結(jié)果.【詳解】在雙曲線中，，，，因為，所以點P在該雙曲線左支上，則，故選：C.【點睛】本題主要考查了雙曲線的定義，判斷出點P的位置是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.9．若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則|PQ|的最小值為(　　)A．  B．  C．  D． 【答案】C【解析】先判定兩直線平行，再求出兩平行線之間的距離即得解.【詳解】因為，所以兩直線平行，將直線3x＋4y－12＝0化為6x＋8y－24＝0，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即，所以|PQ|的最小值為.故選：C.【點睛】本題主要考查平行直線的判定和兩平行線之間的距離的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平. 二、多選題10．已知雙曲線過點且漸近線方程為，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．雙曲線的方程為 B．雙曲線的離心率為C．曲線經(jīng)過雙曲線的一個焦點 D．焦點到漸近線的距離為1【答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件求得，由此對選項逐一分析，從而確定選項.【詳解】設(shè)雙曲線方程為，將點代入可得，又因為雙曲線的漸近線方程為，所以.由解得，故選項正確；由上可知，,所以雙曲線的離心率為，故選項錯誤；雙曲線的焦點坐標為，其中滿足，故選項正確；雙曲線的一個焦點坐標為，漸近線方程為，即，焦點到漸近線的距離為，故選項正確，故選：ACD.11．下列說法正確的是（    ）A．“”是“”的必要不充分條件B．“”是“”的充分不必要條件C．“”是“成等比數(shù)列”的充要條件D．設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的充分必要條件【答案】AB【解析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】A. 當 時，，故不充分；當時，兩邊同乘以，得，故必要，故正確；B. 由，則，故充分；當” 時，或，故不必要，故正確；C. 當“時，不成等比數(shù)列，故錯誤；D. 由，當時，為遞減數(shù)列，故不充分，故錯誤；故選：AB【點睛】本題主要考查充分條件，必要條件和充要條件的判斷，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題. 三、單選題12．已知數(shù)列滿足，若，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，推出．然后得到，說明的范圍．【詳解】解：由遞推關(guān)系可知，，所以.即，可求，所以.因為，∴，解得，故選：B.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．屬于中檔題． 四、填空題13．若{1，a，}＝{0，a2，a＋b}，則a2 018＋b2 018＝        .【答案】1【分析】由題意求得a,b的值，然后求解代數(shù)式的值即可.【詳解】由集合相等的充分必要條件可知：，則，題中的條件即：，故，由于，故.則.【點睛】本題主要考查集合相等的充分必要條件，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.14．已知等差數(shù)列的前項和為，且，則      .【答案】【解析】根據(jù)題中條件，由等差數(shù)列的性質(zhì)，求出，再由等差數(shù)列的求和公式，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】因為等差數(shù)列的前項和為，且，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，所以，因此.故答案為：.15．已知的三個頂點坐標分別為，則邊上的高所在直線的斜率為        ．【答案】【分析】利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可得出．【詳解】解：由題知直線的斜率為： ，，，即，解得∴邊上的高所在直線的斜率為故答案為：16．已知雙曲線 的一個焦點是，橢圓 的焦距等于 ，則         ．【答案】5【分析】根據(jù)雙曲線和橢圓的幾何性質(zhì)計算可得.【詳解】因為雙曲線的一個焦點是，所以，得，又橢圓 的焦距等于，所以，得.故答案為：5 五、解答題17．設(shè)集合,.（1）若，求m的范圍；（2）若，求m的范圍.【答案】（1）或；（2）或.【分析】（1）分和兩種情況討論,使得即可;（2）分和兩種情況討論,使得即可.【詳解】（1）已知,.當時,有,即,滿足.當時,有,即,又,則或,即或，綜上可知,m的取值范圍為或；（2）∵,∴.當時,有,即,滿足題意.當,有,即,且,解得.綜上可知,m的取值范圍為或.【點睛】本題考查了集合的交集與并集的性質(zhì),注意空集是任何一個集合的子集,屬于基礎(chǔ)題.18．設(shè)直線與.（1）若∥，求、之間的距離；（2）若直線與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形的面積最大，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）若l1∥l2，求出m的值，即可求l1，l2之間的距離；（2）表示直線l2與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形的面積，配方法求出最大，即可求直線l2的方程．【詳解】（1）若l1∥l2，則，∴，∴m＝6，∴l1：x﹣2y﹣1＝0，l2：x﹣2y﹣6＝0∴l1，l2之間的距離d；（2）由題意，，∴0＜m＜3，直線l2與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形的面積Sm（3﹣m），∴m時，S最大為，此時直線l2的方程為2x+2y﹣3＝0．【點睛】本題考查直線方程，考查直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．19．設(shè)函數(shù)為定義在上的奇函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義法證明在區(qū)間上的單調(diào)性.【答案】（1）；（2）在區(qū)間上是減函數(shù)；證明見解析.【解析】（1）由奇函數(shù)的定義，可得，化簡整理，可得； （2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明并判斷在上單調(diào)遞減．【詳解】（1）∵是奇函數(shù)，，.， ，.經(jīng)檢驗為所求.（2）的單調(diào)遞減區(qū)間為與，沒有單調(diào)遞增區(qū)間，證明：當時，，且，則， ，在區(qū)間 上是減函數(shù).【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷與證明，考查化簡整理的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．20．已知等差數(shù)列，為其前項和，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)數(shù)列的首項為，公差為，然后根據(jù)題目條件列出關(guān)于和的方程組求解；（2）將（1）中所得的數(shù)列的通項公式代入，得到的通項公式，再根據(jù)通項公式確定該用哪個方法求前項和.【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的首項為，公差為，則根據(jù)題意得：由，解得，所以.（2），則.【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本公式的運用，考查利用分組求和法求數(shù)列的前項和. 解答時，如果已知數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列求通項公式，只需將題目條件翻譯成數(shù)學(xué)表達式，然后通過方程解出首項和公差或公比，然后得出數(shù)列的通項公式. 對于數(shù)列，當和分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列時，可采用分組求和法求和.21．如圖，在多面體中，底面是梯形，，，，底面，，，點為的中點，點在線段上．（1）證明：平面；（2）如果直線與平面所成的角的正弦值為，求點的位置．【答案】（1）證明見解析；（2）點與點重合．【分析】（1）通過證明可證平面；（2）以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，設(shè)()，利用空間向量求出即可得解.【詳解】（1）證明：在梯形中，∵，且，∴，，∴，∵點為的中點，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，，∴，又∵底面，底面，∴，又平面，平面，，∴平面；（2）以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系：則、、、、，∴，，，設(shè)()，則，則，，設(shè)平面的法向量為，由得，令得，則平面的一個法向量為，則，所以，整理得，解得或，因為，所以應(yīng)舍去，所以，即，∴當點與點重合時直線與平面所成的角的正弦值為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）證明是解題關(guān)鍵；（2）正確建立空間直角坐標系，利用空間向量求解是解題關(guān)鍵.22．已知數(shù)列的前項和為， 且 .（Ⅰ）若，且，，成等比數(shù)列，求和；（Ⅱ）若數(shù)列為等差數(shù)列，求和.【答案】（Ⅰ）或，；（Ⅱ），.【分析】（Ⅰ）先計算，，然后根據(jù)以及對范圍的討論，可得，最后簡單計算可得結(jié)果.（Ⅱ）計算，，然后根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，對進行討論，并判斷可得，最后簡單計算可得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）因為，所以，因為，，成等比數(shù)列，所以，①當時，所以，得；②當時，所以，得（舍）或綜合①②可知，或.當時，，，，所以；當時，，，，所以；故.（Ⅱ）因為，，所以由等差列定義得，得（*）當時，由（*）得，矛盾.當時，由（*）得，符合條件.當時，因為公差，所以必存在使得，這與矛盾.故綜上可知：只有時符合條件且此時公差，所以，所以，.【點睛】本題考查等差和等比數(shù)列的綜合，考查分類討論的思想和分析問題的能力，屬中檔題. 

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