2022-2023學(xué)年吉林省通化市梅河口市第五中學(xué)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知P(B|A)=，P(A)=，則P(AB)等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由條件概率的計(jì)算公式求解即可.【詳解】由題意，知故選：C2．在數(shù)列中，，，則（    ）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列中，，，可得.故選：B.3．播種用的一等小麥種子中混有2%的二等種子，1.5%的三等種子，1%的四等種子.用一、二、三、四等種子長(zhǎng)出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，則這批種子所結(jié)的穗含50顆以上麥粒的概率為（    ）A．0.8 B．0.832 5 C．0.532 5 D．0.482 5【答案】D【分析】設(shè)從這批種子中任選一顆是一、二、三、四等種子的事件分別是A1，A2，A3，A4，利用全概率公式即可求出.【詳解】設(shè)從這批種子中任選一顆是一、二、三、四等種子的事件分別是A1，A2，A3，A4，則它們構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分.設(shè)B＝“從這批種子中任選一顆，所結(jié)的穗含50顆以上麥粒”，則：.故選：D.4．已知圓：，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與其半徑的乘積為（    ）A．4 B．1 C．0 D．2【答案】D【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，再由兩點(diǎn)間的距離公式可求出結(jié)果.【詳解】依題意得圓心，半徑為，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離與其半徑的乘積為.故選：D5．已知數(shù)列為等比數(shù)列，公比為負(fù)數(shù)，則下列判斷正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】作差，因?yàn)?/span>的符號(hào)不確定，所以與的大小不確定，故AB都不正確；根據(jù)等比中項(xiàng)可知C正確，D不正確.【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，公比為負(fù)數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故AB都不正確；因?yàn)?/span>，故C正確，D不正確.故選：C.6．如圖，小明在ABCD外的某處出發(fā)，在ABCD范圍內(nèi)存在一條界線，已知小明出發(fā)點(diǎn)與界線一側(cè)某點(diǎn)的距離為a，若該界線另一側(cè)也始終存在一個(gè)點(diǎn)與小明出發(fā)點(diǎn)的距離a，根據(jù)你的判斷，你覺得該界線可能是（    ）  A．橢圓的一部分 B．一段圓弧C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分【答案】C【分析】假設(shè)小明在外的一定點(diǎn)和界線一側(cè)定點(diǎn)，在另一側(cè)存在一個(gè)點(diǎn)，設(shè)與這條界線交于點(diǎn)，在中，得到，結(jié)合雙曲線的定義，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，假設(shè)小明在外的一定點(diǎn)，在界線一側(cè)定點(diǎn)，在界線另一側(cè)也始終存在一個(gè)點(diǎn)，使得，設(shè)與這條界線交于點(diǎn)，在中， 可得，其中和為定點(diǎn)，由雙曲線的定義得，該界線可能是雙曲線一部分.故選：C.  7．已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】根據(jù)題意設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，再根據(jù)基本不等式“1”的用法求解即可.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，因?yàn)?/span>，直線的斜率為，所以，，所以，因?yàn)?/span>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值是.故選：D8．若數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且對(duì)，都有，則稱數(shù)列具有“P性質(zhì)”，則（    ）A．?dāng)?shù)列具有“P性質(zhì)”B．?dāng)?shù)列具有“P性質(zhì)”C．具有“P性質(zhì)”的數(shù)列的前n項(xiàng)和為D．具有“P性質(zhì)”的數(shù)列的前n項(xiàng)和為【答案】C【分析】令，則，令，求得數(shù)列的首項(xiàng)，令，可得，將換為，兩式相減，結(jié)合數(shù)列的遞推式，再將換為，兩式相減，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得；【詳解】解：由題意可得，對(duì)，都有，令，即，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，即為，可得，，兩式相減可得，由于，所以，令可得，解得或（舍去），所以，當(dāng)時(shí)也成立，所以，則.故選：C 二、多選題9．已知，則（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用賦值處理問(wèn)題，令，整理可判斷ABC的正誤；利用求導(dǎo)可得，再令，代入運(yùn)算判斷D正誤．【詳解】令，則，所以A正確；令，則，又，所以，，所以B正確，C錯(cuò)誤；，令，則，故D正確；故選：ABD．10．已知由樣本數(shù)據(jù)組成的一個(gè)樣本，得到回歸直線方程為，且，去除兩個(gè)歧義點(diǎn)和后，得到新的回歸直線的斜率為3．則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．相關(guān)變量x，y具有正相關(guān)關(guān)系B．去除兩個(gè)歧義點(diǎn)后的回歸直線方程為C．去除兩個(gè)歧義點(diǎn)后，樣本（4，8.9）的殘差為D．去除兩個(gè)歧義點(diǎn)后，隨x值增加相關(guān)變量y值增加速度變小【答案】ABC【分析】回歸直線方程的斜率大小可以判斷A和D；殘差為真實(shí)值與估計(jì)值之差，進(jìn)而判斷C；根據(jù)題意算出新的相關(guān)變量的平均值，進(jìn)一步求出，進(jìn)而判斷B.【詳解】對(duì)A，因?yàn)榛貧w直線的斜率大于0，即相關(guān)變量x，y具有正相關(guān)關(guān)系，故A正確；對(duì)B，將代入得，則去掉兩個(gè)歧義點(diǎn)后，得到新的相關(guān)變量的平均值分別為，，此時(shí)的回歸直線方程為，故B正確；對(duì)C，x=4時(shí)，，殘差為8.9-9=-0.1，故C正確；對(duì)D，斜率3>1，此時(shí)隨x值增加相關(guān)變量y值增加速度變大，D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．已知函數(shù)的定義域，部分對(duì)應(yīng)值如表，的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（    ）0451221A．函數(shù)的極大值點(diǎn)有2個(gè)B．函數(shù)在上是減函數(shù)C．若時(shí)，的最大值是2，那么的最大值為4D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)【答案】AB【分析】觀察的圖象，有兩個(gè)左負(fù)右正的不等零點(diǎn)故A正確，函數(shù)在成立，故B正確，根據(jù)條件作出的圖象判斷C錯(cuò)誤，由得，利用數(shù)形結(jié)合法得到D錯(cuò)誤.【詳解】由的圖象，當(dāng)或，，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)或，，函數(shù)為減函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，即函數(shù)有兩個(gè)極大值點(diǎn)，故A正確，函數(shù)在上是減函數(shù)，故B正確，作出的圖象如圖:若時(shí)，的最大值是2，則滿足，即的最大值是5，故C錯(cuò)誤，由得，若，當(dāng)時(shí)，有四個(gè)根，若，當(dāng)時(shí)，不一定有四個(gè)根，有可能是2個(gè)，故函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)不一定正確，故D錯(cuò)誤，【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值中的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題.12．已知數(shù)列，均為遞增數(shù)列，的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為.且滿足，，則下列說(shuō)法正確的有（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】對(duì)于A，由數(shù)列為遞增數(shù)列，，可得，從而可求得的范圍，對(duì)于B，由數(shù)列 為遞增數(shù)列，，可得從而可求出 的取值范圍，對(duì)于CD，求出，，然后比較即可.【詳解】∵數(shù)列為遞增數(shù)列；；，，，；故A正確．；因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列；，，，即所以，所以所以B正確；；所以對(duì)于任意的；故C正確，D錯(cuò)誤．故選：ABC 三、填空題13．寫出具有性質(zhì)①②③的一個(gè)函數(shù)      ．①；②當(dāng)時(shí)，；③是奇函數(shù)【答案】（答案不唯一）【分析】要滿足條件①，要聯(lián)想到對(duì)數(shù)函數(shù)，要滿足條件③，應(yīng)考慮原函數(shù)為偶函數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式和法則可得所求的.【詳解】取，則，滿足①，，時(shí)有，滿足②，的定義域?yàn)?/span>，又，故是奇函數(shù)，滿足③.故答案為：（答案不唯一）.14．的展開式中的系數(shù)為         .【答案】60【分析】先求出展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為3即可求出.【詳解】的展開式通項(xiàng)為，令，解得，所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：60.15．函數(shù)的極值點(diǎn)為            .【答案】【分析】求導(dǎo)，再根據(jù)極值點(diǎn)的定義即可得解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的極小值點(diǎn)為，無(wú)極大值點(diǎn).故答案為：.16．設(shè)某批產(chǎn)品中，甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占、、，甲、丙車間生產(chǎn)的產(chǎn)品的次品率分別為和.現(xiàn)從中任取一件，若取到的是次品的概率為，則推測(cè)乙車間的次品率為            .【答案】【分析】設(shè)出事件，設(shè)出未知數(shù)，利用全概率公式列出方程，求出答案.【詳解】設(shè)表示“取到的是一件次品”，分別表示取到的產(chǎn)品是由甲、乙、丙車間生產(chǎn)的，顯然是樣本空間的一個(gè)劃分，且有，由于，設(shè)，由全概率公式得即，解得，推測(cè)乙車間的次品率為故答案為： 四、解答題17．已知數(shù)列滿足：，且___________，其中，從①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)填入上面的橫線中，并完成下列問(wèn)題解答.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.【答案】答案見解析.【分析】（1）選①：根據(jù)題意得到，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得，即可求解；選②：根據(jù)題意，得到，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解；選③：根據(jù)題意得到對(duì)于恒成立，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）化簡(jiǎn)的得到，結(jié)合裂項(xiàng)法求和，即可求解.【詳解】（1）若選①：因?yàn)閿?shù)列滿足，，可得，即公比，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，可得，故；若選②：數(shù)列滿足，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，可得.當(dāng)時(shí)，滿足，故；若選③：數(shù)列滿足，，所以對(duì)于恒成立，則必有：，所以.（2）由題意及（1）知：，所以.18．某市在中學(xué)推行“明珠”課堂進(jìn)行教學(xué)改革，為了比較教學(xué)效果，改革試點(diǎn)學(xué)校的某位數(shù)學(xué)老師用原傳統(tǒng)模式和“明珠”課堂兩種不同的教學(xué)模式在甲、乙兩個(gè)同類型的班級(jí)進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn).經(jīng)過(guò)一學(xué)期的實(shí)驗(yàn)，在期末考試后分別統(tǒng)計(jì)兩個(gè)班級(jí)中起點(diǎn)成績(jī)相同的名同學(xué)的成績(jī)，作出莖葉圖如下：記成績(jī)不低于分為“成績(jī)優(yōu)良”.(1)試用所學(xué)知識(shí)大致判斷哪種教學(xué)方式的教學(xué)效果更佳？(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表，并判斷“成績(jī)優(yōu)良”與教學(xué)方式是否有關(guān)？ 甲班級(jí)乙班級(jí)總計(jì)成績(jī)優(yōu)良   成績(jī)不優(yōu)良   總計(jì)   附：【答案】(1)“明珠”課堂的教學(xué)方式的教學(xué)效果更佳(2)列聯(lián)表見解析；在犯錯(cuò)誤不超過(guò)的前提下，認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)良”與教學(xué)方式有關(guān) 【分析】（1）根據(jù)莖葉圖可比較出甲乙兩班的平均數(shù)和數(shù)據(jù)集中程度，由此可得結(jié)論；（2）根據(jù)莖葉圖可補(bǔ)充列聯(lián)表，并計(jì)算得到，由此可得結(jié)論.【詳解】（1），，乙班同學(xué)的平均成績(jī)更高；由莖葉圖可知：乙班的成績(jī)主要在之間，集中在平均數(shù)附近；甲班的成績(jī)分布更為分散，可知乙班的成績(jī)更穩(wěn)定；綜上所述：“明珠”課堂的教學(xué)方式的教學(xué)效果更佳.（2）根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)可補(bǔ)充列聯(lián)表如下： 甲班級(jí)乙班級(jí)總計(jì)成績(jī)優(yōu)良成績(jī)不優(yōu)良總計(jì)，在犯錯(cuò)誤不超過(guò)的前提下，認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)良”與教學(xué)方式有關(guān).19．已知數(shù)列滿足，，且．(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列．并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，記的前m項(xiàng)和為，求滿足不等式的最小值m．【答案】(1)證明見解析，，；(2)4. 【分析】（1）利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，移項(xiàng)并平方即可；（2）區(qū)間共有個(gè)整數(shù)，因此得到表達(dá)式，進(jìn)而得到表達(dá)式，解不等式即可得到最小值m．【詳解】（1）由，所以，.所以，，.即是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列.所以，，.（2）令，則，.所以，，.令，即，因?yàn)?/span>，所以隨著m的增大而增大，又，所以m的最小值為4.20．已知函數(shù).⑴當(dāng)時(shí)，證明:在上有唯一零點(diǎn)；(2)若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2) 【分析】（1）通過(guò)導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理依次驗(yàn)證在各個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)是否有零點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性可知每段單調(diào)區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)具有唯一性，從而可證得結(jié)論；（2）采用分離變量的方式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)得到在內(nèi)的最小值，從而得到結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，    在有一個(gè)零點(diǎn)    在上沒有零點(diǎn)    在上沒有零點(diǎn)綜上所述：在上有唯一零點(diǎn)（2）當(dāng)時(shí)，恒成立等價(jià)于對(duì)恒成立令，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增    即的取值范圍為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在性定理研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)、恒成立問(wèn)題的求解；解決恒成立問(wèn)題的常用方法是通過(guò)分離變量的方式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為參數(shù)與函數(shù)最值之間的大小關(guān)系問(wèn)題，從而利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值，得到所求范圍.21．已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，，若數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)已知，記.若恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由，可得，從而可求出公比，進(jìn)而可得的通項(xiàng)，由題意得，由求出，然后利用累加法可求出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，然后利用裂項(xiàng)相消求和法可求出，則由，得恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，求出其最大值即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由，得，由，得，所以，即，解得（舍去），或，所以，因?yàn)?/span>，所以，由，得，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，（2）由（1）得，所以，由恒成立，得，得恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，所以，即實(shí)數(shù)t的取值范圍為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查等比數(shù)列的基本量計(jì)算，考查累加法求通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相法求和法，解題的關(guān)鍵是將，化為，從而可求出，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.22．已知函數(shù)，其中.(1)若，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析 【分析】（1）時(shí)，，求出定義域，求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)的值分情況討論即可求解；（2）由，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，可得，令，則原不等式轉(zhuǎn)化為證明成立，分別構(gòu)造函數(shù)和后即可證明.【詳解】（1）時(shí)，，定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，得，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞減；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）因?yàn)?/span>，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，所以，得，所以要證，只要證，只要證，只要證，因?yàn)?/span>，所以，故只要證，令，則只要證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即；令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即.綜上，時(shí)有，從而原不等式得證.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：含雙變量的函數(shù)不等式的證明，應(yīng)注意等價(jià)變形，同時(shí)觀察式子的結(jié)構(gòu)，重視構(gòu)造函數(shù)證明不等式的方法. 

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