2023屆黑龍江省七臺(tái)河市勃利縣高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求得復(fù)數(shù)z，再由復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是第四象限，故選：D2．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化簡集合，利用集合的交集運(yùn)算即可求解【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，即，故選：C3．下列說法正確的是（    ）A．命題“，”的否定是“，”B．命題：，，若命題是假命題，則C．“”是“，的夾角為鈍角”的充分不必要條件D．中，是的充要條件【答案】D【分析】對于A，利用含量詞的命題的否定即可判斷；對于B，由是假命題可得：，為真命題，分和進(jìn)行討論即可；對于C，利用“的夾角為鈍角”的充要條件即可判斷；對于D，利用正弦定理和三角形性質(zhì)即可求解.【詳解】對于A，由含量詞的命題的否定知，命題“，”的否定是“，”，故不正確；對于B，因?yàn)槊}是假命題，所以：，為真命題，當(dāng)時(shí)，不等式為恒成立；當(dāng)時(shí)，需滿足，解得，綜上所述，的取值范圍為，故不正確；對于C，“的夾角為鈍角”的充要條件是“且不平行于”，所以“”是“，的夾角為鈍角”的必要不充分條件，故不正確；對于D，若，由三角形中“大邊對大角”可知，，由正弦定理可知，；若，由正弦定理可知，，從而，故“”是“”的充要條件，故正確，故選：D4．一個(gè)扇形的弧長與面積的數(shù)值都是3，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為（　　）A． B． C． D．2【答案】C【分析】由扇形的弧長公式和面積公式列方程組求解．【詳解】設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為α，半徑為r，則解得故選：C．5．下列四個(gè)命題中真命題的序號(hào)是（    ）①函數(shù)的最小值為2；②函數(shù)的最小值為3；③函數(shù)的最大值為；④函數(shù)的最小值為2．A．②③ B．①②④ C．①④ D．②③④【答案】A【分析】利用基本不等式判斷各命題即可，注意驗(yàn)證“一正二定三相等”的條件．【詳解】①需滿足和大于零，當(dāng)時(shí)，，則最小值不為2，故①錯(cuò)誤；②因?yàn)?/span>，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故②正確；③因?yàn)?/span>，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，故③正確；④因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，但是無實(shí)數(shù)解，故④錯(cuò)誤．故選：A．6．已知函數(shù)，則＝（    ）A． B．4 C．  D．8【答案】C【分析】利用函數(shù)的解析式，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡計(jì)算，可得答案.【詳解】由題意得,故選：C7．若函數(shù)滿足，且時(shí)，，則函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（    ）A．2 B．3 C．4 D．無數(shù)個(gè)【答案】C【分析】在同一直角坐標(biāo)系中，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像，由圖像可以判斷其交點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】，，在同一直角坐標(biāo)系中，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像如圖所示：由圖像可知與有4個(gè)交點(diǎn).故選：C.8．已知函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，，則不等式的解集為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)是偶函數(shù)得到的圖像關(guān)于直線對稱，由函數(shù)單調(diào)性結(jié)合得到，及上單調(diào)遞增，畫出和的圖象，數(shù)形結(jié)合求出不等式的解集.【詳解】由是偶函數(shù)知的圖像關(guān)于直線對稱，再根據(jù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減和知:在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，，則函數(shù)和的大致圖像如圖所示，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，，故的解集為．故選：B． 二、多選題9．已知,,其中，則以下結(jié)論正確的是（    ）A．若，則B．若，則或 C．若，則D．若，則【答案】BCD【分析】對于A，由得，得或或，故A不正確；對于B，由得，得或，故B正確；對于C，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律求出，故C正確；對于D，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律求出，故D正確.【詳解】對于A，若，則，則，因?yàn)?/span>，所以，則或或，故A不正確；對于B，若，則，則，因?yàn)?/span>，所以，所以或，所以或，故B正確；對于C，，則，故C正確；對于D，若，則，則，則，即，所以，故D正確.故選：BCD.10．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（    ）A． B．若，則的最小值為C．取到最大值時(shí)， D．設(shè)，則數(shù)列的最小項(xiàng)為【答案】AD【分析】求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷選項(xiàng)A；求得的最小值判斷選項(xiàng)B；求得取到最大值時(shí)n的值判斷選項(xiàng)C；求得數(shù)列的最小項(xiàng)判斷選項(xiàng)D.【詳解】由，可得，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則選項(xiàng)A判斷正確；若，則則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）又，則的最小值為不為.則選項(xiàng)B判斷錯(cuò)誤；等差數(shù)列中，則等差數(shù)列的前項(xiàng)和取到最大值時(shí)，或.則選項(xiàng)C判斷錯(cuò)誤；設(shè)，則，則則則數(shù)列的最小項(xiàng)為.則選項(xiàng)D判斷正確故選：AD11．下列說法正確的是（    ）A．函數(shù)在定義域上是減函數(shù)B．函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)C．函數(shù)的最小值是1D．在同一坐標(biāo)系中函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱【答案】CD【分析】利用熟知函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于A，在定義域上不具有單調(diào)性，故命題錯(cuò)誤；對于B，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)負(fù)值，兩個(gè)正值，故命題錯(cuò)誤；對于C，∵|x|≥0，∴2|x|≥20＝1，∴函數(shù)y＝2|x|的最小值是1，故命題正確；對于D，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝2x與y＝2﹣x的圖象關(guān)于y軸對稱，命題正確.故選CD【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，涉及到單調(diào)性、最值、對稱性、零點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合能力，屬于中檔題.12．下列不等關(guān)系中，正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)及性質(zhì)每項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】對A，令，則 ，當(dāng)e 時(shí)，，此時(shí)在（0，e）上單調(diào)遞增，當(dāng)e時(shí)，，此時(shí)在（e，）上單調(diào)遞減，所以，，所以，故A正確；對B，令，則，當(dāng)e 時(shí)，，此時(shí)在（0，e）上單調(diào)遞增，當(dāng)e 時(shí)，，此時(shí)在（e，）上單調(diào)遞減，由e，所以，故B錯(cuò)誤；對C，由時(shí)，所以，令，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng) 時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以 ，即，又，所以，所以，故C正確對D，由 又 （，當(dāng)時(shí)取等號(hào)）所以即，即，故D正確故選：ACD. 三、填空題13．若向量滿足，則      .【答案】1【分析】將兩邊平方，然后將條件代入即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以 ，即 ，所以，即所以，所以 故答案為: .14．已知，，是直線，給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若與異面，則至多有一條直線與，都垂直．其中真命題是      （寫出所有正確命題的序號(hào)）．【答案】①③【分析】根據(jù)空間中線線的位置關(guān)系判斷即可；【詳解】解：已知，，是直線，給出下列命題：①若，，根據(jù)平行線的傳遞性可得：，正確；②若，，則與平行、相交或?yàn)楫惷嬷本€，因此不正確；③若，，則，正確；④若與異面，則有無數(shù)條直線與，都垂直，因此不正確．其中真命題是 ①③．故答案為：①③．15．關(guān)于x的不等式的解集為          【答案】【分析】由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與換元法求解【詳解】令，則，解得，則，解得，故答案為：16．如圖，在四面體中，，AC與BD所成的角為60°，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，則線段MN的長為      ．【答案】或【分析】取的中點(diǎn)，連接、，求出的值，利用余弦定理可求得線段的長.【詳解】取的中點(diǎn)，連接、，、分別為、的中點(diǎn)，且，同理可得且，為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，則或.在中，.若，則為等邊三角形，此時(shí)，；若，由余弦定理可得.綜上所述，或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角． 四、解答題17．在①a＝2，②a＝b＝2，③b＝c＝2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，求△ABC的面積的值（或最大值）．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，三邊a，b，c與面積S滿足關(guān)系式：，且______，求△ABC的面積的值（或最大值）．【答案】選①時(shí)，；選②時(shí)，；選③時(shí)，.【分析】由及面積公式、余弦定理解得，選擇條件①：使用余弦定理及基本不等式可求出，從而求出△ABC的面積最大值.選擇條件②：已知可求出，進(jìn)一步可求得△ABC的面積的值.選擇條件③：已知兩邊及夾角，直接可求△ABC的面積的值.【詳解】∵，∴，∵，∴，選擇條件①：當(dāng)a＝2時(shí)，根據(jù)余弦定理，，∴，∵，∴（當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取等），∴；選擇條件②：當(dāng)a＝b＝2時(shí)，∵，∴，∴；選擇條件③：當(dāng)b＝c＝2，．18．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間(2)在中，若，求的取值范圍.【答案】(1)最小正周期為，(2) 【分析】（1）利用二倍角公式，輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）先求出，結(jié)合，將表示成關(guān)于的函數(shù)后進(jìn)行求解.【詳解】（1），故的最小正周期為，令，解得，即為的單調(diào)遞減區(qū)間.（2）因?yàn)?/span>，所，因?yàn)?/span>，所以，可得，所以，因，所，所以，即的取值范圍是19．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析，(2) 【分析】（1）由可得，所以數(shù)列是以公差為3的等差數(shù)列，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）求出，由裂項(xiàng)相消法求出.【詳解】（1）由得，∴．又，∴，∴．∴數(shù)列是以公差為3的等差數(shù)列．又，∴，，∴．（2）由（1）知．∴．20．已知數(shù)列滿足，且.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見詳解，(2) 【分析】（1）根據(jù)遞推公式構(gòu)造可證，然后借助為等比數(shù)列可得通項(xiàng)，再構(gòu)造數(shù)列可證為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可解；（2）由錯(cuò)位相減法可得.【詳解】（1）因?yàn)?/span>所以又因?yàn)?/span>所以是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.所以變形得所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列所以，所以（2）因?yàn)?/span>…①所以…②①-②得：所以21．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)求的單調(diào)性；(3)求函數(shù)在上的最小值．【答案】(1).(2)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.(3)答案見解析. 【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）求導(dǎo)得，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可得到單調(diào)性；（3）按的取值情況，再借助單調(diào)性討論求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，，所以曲線在處的切線方程為.（2）由題意得，因?yàn)?/span>恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.（3）由（2）得，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，；②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，.22．設(shè)函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：.【答案】(1)見解析(2)見解析 【分析】（1）求導(dǎo)，再分，和三種情況討論，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可得出答案；（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，從而有，則有，再令，再利用放縮法及裂項(xiàng)相消法即可得證.【詳解】（1）解：的定義域?yàn)?/span>，，令，當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有二正根，，，當(dāng)，，在和上單調(diào)遞減，當(dāng)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，故在上單調(diào)遞減；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；（2）證明：由（1）知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，令，則，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，考查了分類討論思想及放縮思想，有一定的難度. 

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