2023屆天津市紅橋區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：求出集合后可求.【詳解】[方法一]：直接法因?yàn)?/span>，故，故選：B.[方法二]：【最優(yōu)解】代入排除法代入集合，可得，不滿足，排除A、D；代入集合，可得，不滿足，排除C.故選：B.【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：直接解不等式，利用交集運(yùn)算求出，是通性通法；方法二：根據(jù)選擇題特征，利用特殊值代入驗(yàn)證，是該題的最優(yōu)解． 2．已知，其中是虛數(shù)單位，則（    ）A．1 B．3 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)相等，求得參數(shù)的值，可得答案.【詳解】由，，，，則，即，故選：B.3．設(shè)，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念求解即可.【詳解】由解得，由解得，因?yàn)楫?dāng)能推出，而推不出，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A4．若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為4，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓中弦心距、半徑、半弦長(zhǎng)的關(guān)系列出方程求解即可.【詳解】由可得，即圓心，半徑，則圓心到直線的距離，所以，即，解得，故選：A5．已知某函數(shù)圖象如圖所示，則下列解析式中與此圖象最為符合的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)定義域舍去A選項(xiàng)；B選項(xiàng)，根據(jù)時(shí)，函數(shù)值大于0舍去B選項(xiàng)；CD選項(xiàng)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，的定義域?yàn)?/span>，故和圖象不合，舍去；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，與圖象不合，舍去；C選項(xiàng)，定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減，與圖象符合，D選項(xiàng)，定義域?yàn)?/span>，在上恒成立，故在上均單調(diào)遞減，與圖象不合，舍去；故選：C6．設(shè)，則的大小關(guān)系為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】是單調(diào)遞增函數(shù)，，，，是單調(diào)遞減函數(shù)，，故選：B7．已知甲?乙兩球落入盒子的概率分別為和?假定兩球是否落入盒子互不影響.則甲?乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出甲乙兩球都不落入盒子的概率，即可得到答案.【詳解】由題知：甲乙兩球都不落入盒子的概率為，所以乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為.故選：D8．已知雙曲線 的一條漸近線過點(diǎn) ，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線 的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：雙曲線的一條漸近線是，則①，拋物線的準(zhǔn)線是，因此，即②，由①②聯(lián)立解得，所以雙曲線方程為．故選D．【解析】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 9．已知函數(shù).對(duì)于下列四種說法，正確的是（    ）①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱②函數(shù)在上有個(gè)極值點(diǎn).③函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④【答案】B【分析】對(duì)于①，，則函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱；對(duì)于②，由的范圍，得出的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得取到極值點(diǎn)的位置；對(duì)于③，由的范圍，得出的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得出函數(shù)的最值；對(duì)于④，由的范圍，得出的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．【詳解】對(duì)于①，，的圖象不關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，錯(cuò)誤；對(duì)于②，，則，則當(dāng)分別取時(shí)，函數(shù)取到極值，正確；對(duì)于③，，則， ，正確；對(duì)于④，，則，由于正弦函數(shù)在上不單調(diào)，錯(cuò)誤；故選：B 二、填空題10．某校高一年級(jí)?高二年級(jí)?高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)之比為，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從高中各年級(jí)共抽取同學(xué)參加“流行病學(xué)”調(diào)查，則高一年級(jí)應(yīng)抽取__________名學(xué)生.【答案】【分析】利用分層抽樣的公式計(jì)算可得答案．【詳解】高一年級(jí)應(yīng)抽取的學(xué)生人數(shù)為故答案為：11．________.【答案】【詳解】試題分析：原式，答案：.【解析】1.對(duì)數(shù)運(yùn)算；2.對(duì)數(shù)的換底公式.12．在 的展開式中，的系數(shù)為_______.【答案】【詳解】展開式的通項(xiàng)為，由得，所以，所以該項(xiàng)系數(shù)為.【解析】二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng). 13．在中，，以邊所在直線為軸，將旋轉(zhuǎn)一周，所成的曲面圍成的幾何體的體積為__________.【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的概念，結(jié)合題意得到該幾何體是圓錐，根據(jù)體積計(jì)算公式，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵?/span>中，，所以，若以邊所在的直線為軸，將旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是以為高，以為底面圓半徑的圓錐，因?yàn)?/span>，，因此，其體積為：.故答案為：.14．街道上有編號(hào)1，2，.3，....10的十盞路燈，為節(jié)省用電又能看清路面，可以把其中的三盞路燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，在兩端的燈都不能關(guān)掉的情況下，滿足條件的關(guān)燈方法有__________種.【答案】【分析】采用插空法即可求解.【詳解】10只燈關(guān)掉3只，實(shí)際上還亮7只燈，而又要求不關(guān)掉兩端的燈和相鄰的燈，此題可以轉(zhuǎn)化為在7只亮著的路燈之間的6個(gè)空擋中放入3只熄滅的燈，有種方法，故答案為：.15．已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______.【答案】【分析】求出函數(shù)的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，作函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】∵，∴ ，∵函數(shù)y=f(x)?g(x)恰好有四個(gè)零點(diǎn)，∴方程f(x)?g(x)=0有四個(gè)解，即f(x)+f(2?x)?b=0有四個(gè)解，即函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象有四個(gè)交點(diǎn)， ，作函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象如下， ，結(jié)合圖象可知， <b<2，故答案為:. 三、解答題16．在△ABC中，內(nèi)角A,B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsinA=acosB．（1）求角B的大??；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值【答案】（1）B=60°（2）【詳解】（1)由正弦定理得【考點(diǎn)定位】本題主要考查三角形中的三角函數(shù)，由正余弦定理化簡(jiǎn)求值是真理17．如圖，在四棱錐中，平面，是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若直線與平面所成的角和與平面所成的角相等，求線段的長(zhǎng)度.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明，再由線面垂直的判定定理求證；（2）利用向量法求出線面角，根據(jù)線面角相等求出即可.【詳解】（1）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，.則各點(diǎn)坐標(biāo)為：所以.因?yàn)?/span>，所以，而是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面；（2）由題設(shè)和（1）知，分別是平面，平面的法向量，而與平面所成的角和與平面所成的角相等，所以即由（1）知，，由，故.，解得.所以.18．已知等比數(shù)列的公比，且，．Ⅰ求數(shù)列的通項(xiàng)公式；Ⅱ設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)n不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1).(2).【詳解】試題分析：（Ⅰ）本小題用等比數(shù)列的基本量法可求解，即用首項(xiàng)和公比表示出已知條件并解出，可得通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由，因此用錯(cuò)位相減法可求得其前項(xiàng)和，對(duì)不等式按的奇偶分類，可求得參數(shù)的取值范圍．試題解析：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為，則， ∴∵，∴，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為． （Ⅱ）解：∴                   ∴                     ∴=∴對(duì)任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，易知單調(diào)遞增．                                                          為奇數(shù)時(shí)，的最小值為，∴得，   為偶數(shù)時(shí)，的最小值為，∴，               綜上，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．19．已知橢圓的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，直線分別交直線于兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，證明：直線的斜率之積為定值.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為和離心率為，由求解；（2）設(shè)，則直線的斜率為，直線的斜率為，再由直線的交點(diǎn)，求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線的斜率，然后結(jié)合運(yùn)算即可.【詳解】（1）由題設(shè)知，，則，橢圓的方程：；（2）設(shè)，則.因?yàn)橹本€的斜率為，直線的斜率為，所以直線的方程為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以直線的斜率為.所以直線的斜率之積為：，則直線的斜率之積為定值.20．已知函數(shù)，(1)若，求的極值；(2)討論的單調(diào)區(qū)間；(3)求證：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值(2)答案見解析(3)證明見解析 【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)正負(fù)可確定單調(diào)性，由此可得極值；（2）求導(dǎo)后，分別在和的情況下，根據(jù)正負(fù)可得單調(diào)性；（3）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，從而得到恒成立，由此可得單調(diào)遞減，進(jìn)而由推導(dǎo)得到結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則其定義域?yàn)?/span>，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；的極小值為，無(wú)極大值.（2）由題意得：定義域?yàn)?/span>，；①當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）令，則，令，則；當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，，即當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值、討論含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性和不等式證明的問題；本題證明不等式的基本思路是通過構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題. 

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