第4講  二次函數(shù)與一元二次方程、不等式間的關(guān)系考點(diǎn)一：二次函數(shù)與方程的關(guān)系【知識點(diǎn)睛】?        求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)對于拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與直線y＝kx+n、水平直線y＝m:①當(dāng)求拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)時→則令拋物線的y=0，即：ax2+bx+c=0；②當(dāng)求拋物線與直線y＝kx+n的交點(diǎn)坐標(biāo)時→則聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，得，先求x，[即]，再代入直線解析式求y，(x,y)的對應(yīng)值即為所求交點(diǎn)的坐標(biāo)；③當(dāng)求拋物線與水平直線y＝m的交點(diǎn)是→則聯(lián)立兩個解析式，得，先求x，[即ax2+bx+c=m];再代入拋物線解析式求y，(x,y)的對應(yīng)值即為所求交點(diǎn)的坐標(biāo)；?        判斷拋物線與直線的交點(diǎn)個數(shù)對于拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與直線y＝kx+n、水平直線y＝m:①求拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交點(diǎn)個數(shù)→ax2+bx+c=0△=b2-4ac，∴有：△＞0，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)；△＝0，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)；△＜0，拋物線與x軸無交點(diǎn)；②求拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與直線y＝kx+n交點(diǎn)個數(shù)→整理得：，∴有：△＞0，拋物線與直線y＝kx+n有2個交點(diǎn)；△＝0，拋物線與直線y＝kx+n有1個交點(diǎn)；△＜0，拋物線與直線y＝kx+n無交點(diǎn)；③求拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與水平直線y＝m交點(diǎn)個數(shù)→整理得：，后續(xù)求交點(diǎn)個數(shù)方法同上。?        一元二次方程ax2+bx+c=n的解的幾何意義將“=”左邊的部分看作拋物線y＝ax2+bx+c，“=”右邊的部分看作水平直線y＝n，則方程ax2+bx+c=n即在兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，所以交點(diǎn)橫坐標(biāo)的值就是方程的解。【類題訓(xùn)練】1．若拋物線y＝x2+2x+k與x軸只有一個交點(diǎn)，則k的值為（　　）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．如果a是二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，那么代數(shù)式（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值為（　　）A．﹣1 B．1 C．7 D．93．在求解方程ax2+bx+c＝0（a≠0）時，先在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象，觀察圖象與x軸的兩個交點(diǎn)，這兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以看作是方程的近似解，分析圖中的信息，方程的近似解是（　　）A．x1＝﹣3，x2＝2 B．x1＝﹣3，x2＝3 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣2，x2＝34．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象上部分點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）的對應(yīng)值如表所示，x…04…y…0.32﹣20.32…則方程ax2+bx+2.32＝0的根是（　?。?/span>A．或 B．或 C．0或4 D．1或55．拋物線y＝ax2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：x﹣2﹣101y0466下列結(jié)論不正確的是（　　）A．拋物線的開口向下                      B．拋物線的對稱軸為直線x＝ C．拋物線與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）  D．函數(shù)y＝ax2+bx+c的最大值為6．已知拋物線y＝x2﹣x﹣1與x軸的一個交點(diǎn)為（m，0），則代數(shù)式m2﹣m+2022的值為（　?。?/span>A．2020 B．2021 C．2022 D．20237．已知拋物線y＝x2+mx的對稱軸為直線x＝2，則關(guān)于x的方程x2+mx＝5的根是（　　）A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，58．若方程x2﹣2x﹣t＝0在﹣1＜x≤4范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則t的取值范圍為（　?。?/span>A．3＜t≤8 B．﹣1≤t≤3 C．﹣1＜t≤8 D．﹣1≤t≤89．已知a，b，c是互不相等的非零實(shí)數(shù)，有三條拋物線：y＝ax2+2bx+c，y＝bx2+2cx+a，y＝cx2+2ax+b．則這三條拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)情況是（　?。?/span>A．三條拋物線中至少有一條與x軸有兩個交點(diǎn)  B．三條拋物線中至多有一條與x軸有兩個交點(diǎn) C．三條拋物線與x軸都只有一個交點(diǎn)          D．三條拋物線與x軸都沒有交點(diǎn)10．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），與y軸的交點(diǎn)在（0，2），（0，3）之間（包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：①b＞c；②≤n≤4；③若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，y1）和點(diǎn)（4，y2），則y1＞y2；④關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝3有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．其中正確的結(jié)論有（　　）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個11．在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3的圖象在x軸上方的部分沿x軸向下翻折后，得到新的函數(shù)圖象．若直線y＝m與新的函數(shù)圖象有4個公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（　?。?/span>A．m＞0 B．0＜m＜4 C．﹣4＜m＜0 D．﹣4≤m＜012．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表，則方程ax2+bx+c＝0的一個解x的范圍是（　?。?/span>x…11.11.21.31.4…y…﹣1﹣0.490.040.591.16…A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.413．如圖，已知函數(shù)y＝﹣與y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的圖象交于點(diǎn)P，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，則關(guān)于x的方程ax2+bx+＝0的解是　   　． 14．已知拋物線y1＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是﹣3和1，若拋物線y2＝ax2+bx+c+m（m＞0）與x軸有兩個交點(diǎn)A，B，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 　   　．15．若直線y＝m（m為常數(shù)）與函數(shù)y＝的圖象恒有三個不同的交點(diǎn)，則常數(shù)m的取值范圍是　   　．16．將二次函數(shù)y＝﹣x2+6x﹣5在x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個新的圖象，若直線y＝x+b與這個圖象恰好有3個公共點(diǎn)，則b的值為 　   　．17．已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．（1）若A（﹣1，0），則b＝　   　．（2）若M（﹣1，0），N（1，0），拋物線與線段MN沒有交點(diǎn)，則b的取值范圍為 　   　．18．拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)）的對稱軸為直線x＝﹣1，經(jīng)過A（0，﹣2），B（1，m）兩點(diǎn)，其中m＞0．下列四個結(jié)論：①a＞；②一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個根在﹣3和﹣2之間：③點(diǎn)P1（t，y1），P2（t﹣1，y2）在拋物線上，當(dāng)實(shí)數(shù)t＜﹣時，y1＞y2；④一元二次方程ax2+bx+c＝n，當(dāng)n＞﹣時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，其中正確的結(jié)論是　   　（填寫序號）．19．已知二次函數(shù)y＝x2+x﹣m的部分圖象如圖所示．（1）求該二次函數(shù)圖象的對稱軸，并利用圖象直接寫出一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．（2）向上平移該二次函數(shù)的圖象，使其經(jīng)過原點(diǎn)，求平移后圖象所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．     20．某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對函數(shù)y＝﹣x2+2|x|+3的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下，請補(bǔ)充完整．（1）自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，x與y的幾組對應(yīng)值列表如下：x…﹣4﹣3﹣2﹣﹣101234…y…﹣503434m0﹣5…其中，m＝　   　．（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，直接畫出該函數(shù)的圖象．（3）根據(jù)函數(shù)圖象，判斷下列關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)的說法正確的是　   　．①該函數(shù)是軸對稱圖形，它的對稱軸為y軸．②該函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)有最小值，當(dāng)x＝0時，函數(shù)取得最小值3．③函數(shù)圖象與直線y＝有4個交點(diǎn)，所以對應(yīng)的方程﹣x2+2|x|+3＝有4個實(shí)數(shù)根．（4）已知函數(shù)y＝﹣x+4的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象．直接寫出方程﹣x2+2|x|+3＝﹣x+4的解（保留一位小數(shù)，誤差不超過0.2）     考點(diǎn)二：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）與一元一次不等式間的關(guān)系【知識點(diǎn)睛】?        利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)和上下關(guān)系，直接確定不等式的解集常見關(guān)系如下：①ax2+bx+c＞0的解表示：拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象在x軸上方，則交點(diǎn)橫坐標(biāo)的一側(cè)符合題意；②ax2+bx+c＜0的解表示：拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象在x軸下方，則交點(diǎn)橫坐標(biāo)的一側(cè)符合題意；③ax2+bx+c＞kx+m的解表示：拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象在直線y=kx+m上方，則交點(diǎn)橫坐標(biāo)的一側(cè)符合題意；④ax2+bx+c＜kx+m的解表示：拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象在直線y=kx+m下方，則交點(diǎn)橫坐標(biāo)的一側(cè)符合題意；【類題訓(xùn)練】1．如圖，拋物線y1＝ax2+bx+c與直線y2＝mx+n相交于點(diǎn)（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c＞mx+n，則x的取值范圍是（　?。?/span>A．0＜x＜3 B．1＜x＜3 C．x＜0或x＞3 D．x＜1減x＞32．若二次函數(shù)y＝﹣x2+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，4），則不等式﹣x2+b≥0的解集為（　?。?/span>A．﹣2≤x≤2 B．x≤2 C．x≥﹣2 D．x≤﹣2或x≥23．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①2a+b＝0；②關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集為﹣1＜x＜3；③8a+c＜0；④a+b≤m（am+b）（m為實(shí)數(shù)），其中正確的個數(shù)為（　?。?/span>A．1 B．2 C．3 D．44．已知，一次函數(shù)y1＝kx+m（k≠0）與二次函數(shù)y2＝ax2+bx+c（a≠0）的部分自變量與對應(yīng)的函數(shù)值如表：x…﹣0234…y1…1345…y2…﹣2﹣2414…當(dāng)y1＞y2時，自變量x的取值范圍是（　?。?/span>A．或x＞3 B．或x＞3 C． D．5．已知二次函數(shù)y1＝（ax﹣1）（bx﹣1）和y2＝（x﹣a）（x﹣b）（ab≠0）（　?。?/span>A．若﹣1＜x＜1，a＞＞0，則y1＞y2   B．若x＜1，a＞＞0，則y1＞y2 C．若﹣1＜x＜1，＜a＜0，則y1＜y2   D．若x＜﹣1，＜a＜0，則y1＜y26．如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點(diǎn)，則不等式ax2﹣mx+c＜n的解集為（　　）A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞17．拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)且a≠0）經(jīng)過A（4，0）、B（m，0）、C（1，n）三點(diǎn)，若m，n滿足：﹣1＜m＜0，n＞0．下列四個結(jié)論：①abc＜0；②當(dāng)x＞時，y隨x增大而減少；③一元二次方程ax2+bx+c＝n的有一個實(shí)數(shù)根在2和3之間；④不等式ax2+bx+c＞﹣的解集是1＜x＜4．其中正確的結(jié)論是 　   　（填寫序號）．8．二次函數(shù)y＝（x﹣2）2+m的圖象如圖所示，一次函數(shù)y＝kx﹣b的圖象過該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)A（1，0），B（4，3），則滿足（x﹣2）2﹣kx+b+m≤0的x的取值范圍是 　   　．9．如圖，直線y1＝kx+b與拋物線y2＝ax2+bx+c交于點(diǎn)A（﹣2，3）和點(diǎn)B（2，﹣1），若y2＜y1＜0，則x的取值范圍是 　   　．  10．如圖，一次函數(shù)y＝mx+n的圖象與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象相交于點(diǎn)A（﹣1，d），B（3，e），則mx+n＜ax2+bx+c解集是 　   　． 11．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的頂點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，﹣1），與直線相交于O、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是原點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式．（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．（3）直接寫出不等式的解．  12．已知拋物線y＝ax2﹣4ax+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且AB＝2．（1）求該拋物線的解析式．（2）關(guān)于x的不等式ax2﹣4ax+3＞0的解集為 　   　．（3）點(diǎn)M（x1，y1），點(diǎn)N（x2，y2）是該拋物線上的兩點(diǎn)，若x2﹣x1＝2，試比較y1和y2的大?。?/span>  13．請閱讀下列解題過程：解一元二次不等式x2﹣3x＜0．解：設(shè)x2﹣3x＝0，解得：x1＝3，x2＝0；則拋物線y＝x2﹣3x與x軸的交點(diǎn)為（3，0）和（0，0），畫出y＝x2﹣3x的大致圖象；由圖象可知：當(dāng)0＜x＜3時，函數(shù)圖象在x軸下方，此時y＜0，即x2﹣3x＜0；所以一元二次不等式x2﹣3x＜0的解集為0＜x＜3．通過上述解題過程的學(xué)習(xí)，按其解題思路和方法解答下列問題：（1）上述解題過程中，滲透了下列數(shù)學(xué)思想中的 　   　和 　   　；（只填序號）①分類討論思想；②轉(zhuǎn)化思想；③數(shù)形結(jié)合思想．（2）用類似的方法解x2﹣5x+6＞0的解集為 　   　． 
 

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