第28課    直線與直線平行  課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀　1.會(huì)判斷空間兩直線的位置關(guān)系.2.能用基本事實(shí)4和等角定理解決一些簡(jiǎn)單的相關(guān)問(wèn)題．． 1.本節(jié)內(nèi)容包含一個(gè)基本事實(shí)、一個(gè)定理，是對(duì)學(xué)生原有的平面知識(shí)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)的拓展，同時(shí) 也是后面研究空間直線與平面平行、平面與平面平行的基礎(chǔ)，它在知識(shí)結(jié)構(gòu)上起著承上啟下的 作用.教材以長(zhǎng)方體為載體，讓學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)空間中直線與直線的位置關(guān)系，通過(guò)觀察得出基 本事實(shí) 4.基本事實(shí) 4 表明了平行線的傳遞性，可以作為判斷空間兩條直線平行的依據(jù)， 同時(shí)它 給出了空間兩條直線平行的一種證法2.通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何知識(shí)打下基礎(chǔ)， 同時(shí)能更好地提升學(xué)生直觀想 象和羅輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).  知識(shí)點(diǎn)01   基本事實(shí)4文字語(yǔ)言平行于同一條直線的兩條直線平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言直線a，b，c，a∥b，b∥c?    作用證明兩條直線平行說(shuō)明基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的     【即學(xué)即練1】　如圖所示，在三棱錐S－MNP中，E，F，G，H分別是棱SN，SP，MN，MP的中點(diǎn)，則EF與HG的位置關(guān)系是(　　)A．平行 B．相交C．異面 D．平行或異面     知識(shí)點(diǎn)02  空間等角定理1．定理文字語(yǔ)言如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)符號(hào)語(yǔ)言OA∥O′A′，OB∥O′B′?∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°圖形語(yǔ)言作用判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ) 2.推廣如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等．反思感悟　等角定理的結(jié)論是兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)一般是借助于圖形判斷是相等還是互補(bǔ)，還是兩種情況都有可能．  【即學(xué)即練2】　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分別是AB，BB1，BC的中點(diǎn)，求證：△EFG∽△C1DA1.      考法01  基本事實(shí)4的應(yīng)用 【典例1】如圖所示，在空間四邊形ABCD(不共面的四邊形稱為空間四邊形)中，E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．     反思感悟　基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性，解題時(shí)首先找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．【變式訓(xùn)練】如圖，已知在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點(diǎn)．求證：四邊形MNA1C1是梯形．     考法02  等角定理的應(yīng)用【典例2】如圖所示，△ABC和△A′B′C′的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA′，BB′，CC′交于同一點(diǎn)O，且＝＝＝，則＝________.       反思感悟  【變式訓(xùn)練】如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，E1分別是棱AD，A1D1的中點(diǎn)．求證：∠BEC＝∠B1E1C1.       題組A  基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練 一、單選題1．空間兩個(gè)角α，β的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，且α=60°，則β為（　　）A．60° B．120° C．30° D．60°或120°     2．若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是（    ）A．異面或平行 B．異面或相交C．異面 D．相交、平行或異面     3．過(guò)平面外的直線l作一組平面與相交，若所得交線分別為a，b，c…，則這些交線的位置關(guān)系為（    ）A．相交于同一點(diǎn) B．相交但交于不同的點(diǎn)C．平行 D．平行或相交于同一點(diǎn)     4．已知，，，則（    ）A． B．或C． D．或     5．在空間，下列說(shuō)法正確的是A．兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形B．四邊相等的四邊形是菱形C．正方形確定一個(gè)平面D．三點(diǎn)確定一個(gè)平面     6．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且＝＝，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．EF與GH平行B．EF與GH異面C．EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上D．EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上     二、多選題7．，，是空間三條不同的直線，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（    ）A．， B．，C．，，共面 D．，，共點(diǎn)，，共面     8．(多選題)下列命題中，錯(cuò)誤的結(jié)論有（    ）A．如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等B．如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等C．如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)D．如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行     三、填空題9．在長(zhǎng)方體中，與平行的棱有____________(填寫所有符合條件的棱)     10．如圖是正方體的表面展開圖，E，F，G，H分別是棱的中點(diǎn)，則EF與GH在原正方體中的位置關(guān)系為______.      11．如圖，空間四邊形中，分別是△和△的重心，若，則___.      12．已知矩形中，，點(diǎn)，分別為線段的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻轉(zhuǎn)，直到與首次重合，則此過(guò)程中，線段的中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為____________．     四、解答題13．如圖1所示，在梯形中，，，分別為，的中點(diǎn)，將平面沿翻折起來(lái)，使到達(dá)的位置（如圖2），，分別為，的中點(diǎn)，求證:四邊形為平行四邊形.圖1                        圖2     14．如圖所示，和的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線，，交于同一點(diǎn)O，且.（1）證明: ，，.（2）求的值.     15．在三棱錐中，分別是邊的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，求證：四邊形為菱形．     16．如圖，在正方體中，，分別是棱和的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）求證：．      題組B  能力提升練一、單選題1．在空間四邊形ABCD中，AC=BD，E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，順次連接各邊中點(diǎn)E，F，G，H，所得四邊形EFGH的形狀是（    ）A．梯形 B．矩形C．正方形 D．菱形     2．已知在三棱錐中，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（   ）A． B．C． D．     3．對(duì)于空間三條直線，有下列四個(gè)條件：①三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)；②三條直線兩兩平行；③三條直線共點(diǎn)；④有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交．其中，使三條直線共面的充分條件有(　　)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3 D．4個(gè)          4．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則直線到直線的距離為（    ）A． B． C． D．     5．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且＝＝，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．EF與GH平行B．EF與GH異面C．EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上D．EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上     6．如圖，在三棱錐中，分別為線段的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是A． B． C． D．      二、多選題7．已知三棱柱的棱長(zhǎng)均相等，則（    ）A． B．C． D．     8．(多選題)下列說(shuō)法中，正確的結(jié)論有（    ）A．如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等B．如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等C．如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)D．如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行      三、填空題9．如圖，點(diǎn)P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是平行直線的圖是________(填序號(hào)).     10．已知長(zhǎng)方體的體積為9，，，且異面直線AC與所成的角為，則該長(zhǎng)方體的表面積為___________.     11．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，H分別為AB，AD的中點(diǎn)，F，G分別是BC，CD上的點(diǎn)，且，若BD＝6 cm，梯形EFGH的面積為28 cm2，則平行線EH，FG間的距離為________．     12．已知，，是空間中的三條相互不重合的直線，給出下列說(shuō)法：①若，，則；②若與相交，與相交，則與相交；③若平面，平面，則，一定是異面直線；④若，與成等角，則．其中正確的說(shuō)法是______（填序號(hào)）．      四、解答題13．如圖，E，F分別是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點(diǎn)．求證：四邊形B1EDF為平行四邊形．     14．如圖，E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點(diǎn)，且，.（1）證明：E，F，G，H四點(diǎn)共面.（2）m，n滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是平行四邊形？     15．梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分別為BC和AD的中點(diǎn)，將平面DCEF沿EF翻折起來(lái)，使CD到C′D′的位置，G、H分別為AD′和BC′的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH為平行四邊形.     16．在如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分別是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中點(diǎn)，求證：(1) ；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.        題組C  培優(yōu)拔尖練一、單選題1．在正六棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的連線中與棱AB平行的條數(shù)為（    ）A．2 B．3 C．4 D．5     2．已知E，F，G，H分別為空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若對(duì)角線BD＝2，AC＝4，則EG2＋HF2的值是（    ）A．5 B．10C．12 D．不能確定     3．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且＝＝，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．EF與GH平行B．EF與GH異面C．EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上D．EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上     4．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則直線到直線的距離為（    ）A． B． C． D．     5．如圖，在三棱錐中，分別為線段的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是A． B． C． D．     6．如圖所示，在直角梯形中，，分別是上的點(diǎn)，且，（如圖1）.將四邊形沿折起，連接，，（如圖2）.在折起的過(guò)程中，則下列表述：①平面；②四點(diǎn)B、C、E、F可能共面；③，則平面平面；④平面與平面可能垂直.其中正確的是（    ）A．①④ B．①③ C．②③④ D．①②④      二、解答題7．在長(zhǎng)方體中，求證：（1）；（2）.     8．如圖，P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，D、E分別是△PAB和△PBC的重心．求證：DE//AC，.     9．如圖，在正方體中，，分別是棱和的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）求證：．     10．正方體中：（1）求AC與所成角的大??；（2）若F分別為AD的中點(diǎn)，求與CF所成角的余弦值.    

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