【同步講義】（人教A版2019）高中數(shù)學(xué)必修二：第24講 棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積 講義

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?第24課 棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積

目標導(dǎo)航


課程標準
課標解讀
1.了解棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積的計算公式.2.理解并掌握側(cè)面展開圖與幾何體的表面積之間的關(guān)系，并能利用計算公式求幾何體的表面積與體積．
1.通過閱讀課本培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和抽象思維能力.
2.柱、錐、臺的側(cè)面積和體積問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，現(xiàn)就柱、錐、臺的側(cè)面積和體積的常見問題分類解析以下。對于棱柱、棱錐、棱臺的表面積，多采用面積累加的方式求解.
3.特別地，若為正棱柱（錐、臺），各側(cè)面積相等，可用乘法計算；計算其體積時，關(guān)鍵是求底面積和高，并注意公式的運用

知識精講


知識點01 棱柱、棱錐、棱臺的表面積

圖形
表面積
多面體

多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和，也就是展開圖的面積

【即學(xué)即練1】　已知長方體全部棱長的和為36，表面積為52，則其體對角線的長為（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用可得對角線的長.
【詳解】設(shè)長方體的三條棱的長分別為：，
則，
可得對角線的長為．
故選B．



知識點02 棱柱、棱錐、棱臺的體積
幾何體
體積
說明
棱柱
V棱柱＝Sh
S為棱柱的底面積，h為棱柱的高
棱錐
V棱錐＝Sh
S為棱錐的底面積，h為棱錐的高
棱臺
V棱臺＝(S′＋＋S)h
S′，S分別為棱臺的上、下底面面積，h為棱臺的高


【即學(xué)即練2】已知長方體過一個頂點的三條棱長的比是，體對角線的長為，則這個長方體的體積是（????）
A．48 B．24 C．12 D．6
【答案】A
【解析】由題意可設(shè)長方體的過一個頂點的三條棱長分別為a，2a，3a，利用過一個頂點的三條棱的平方和等于對角線長的平方求得a，則答案可求.
【詳解】由題意可設(shè)長方體的過一個頂點的三條棱長分別為a，2a，3a，
則有，
即，解得，
∴長方體的過一個頂點的三條棱長分別為2，4，6，
∴這個長方體的體積是，
故選：A.




能力拓展


考法01 棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積

【典例1】棱長和底面邊長均為1的正四棱錐的側(cè)面積為
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】利用正三角形的面積計算公式即可得出．
【詳解】解：正四棱錐的側(cè)面積．
故選．

【變式訓(xùn)練】若正三棱臺上、下底面邊長分別是和，棱臺的高為，則此正三棱臺的側(cè)面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出輔助線構(gòu)造出直角三角形,進而求得側(cè)面的高與側(cè)面積即可.
【詳解】如圖，分別為上、下底面的中心，分別是，的中點，過作于點E.在直角梯形中，，，.
在中，，
則
.
.

故選：C
【變式訓(xùn)練】已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為4和8的正方形，側(cè)面是腰長為8的等腰梯形，求該四棱臺的表面積.
【答案】
【解析】首先求出四棱臺上、下底面面積與側(cè)面面積，然后求出表面積即可.
【詳解】如圖，

在四棱臺中，
過作，垂足為，
在中，，，
故，
所以，
故四棱臺的側(cè)面積，
反思感悟
　(1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積求法
①多面體的表面積是各個面的面積之和．
②棱柱、棱錐、棱臺的表面積等于它們的側(cè)面積與各自底面積的和．
(2)求解正棱臺的表面積時注意棱臺的四個基本量：底面邊長、高、斜高、側(cè)棱，并注意兩個直角梯形的應(yīng)用：
①高、側(cè)棱、上下底面多邊形的中心與頂點連線所成的直角梯形．
②高、斜高、上下底面邊心距所成的直角梯形．


考法02 棱柱、棱錐、棱臺的體積

【典例2】棱長和底面邊長均為1的正四棱錐的體積為??????
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】底面邊長和側(cè)棱長均為1的正四棱錐S﹣ABCD中，連結(jié)AC、BD交于點O，連結(jié)SO，則SO⊥底面ABCD，AO，，由此能求出正四棱錐的體積．
【詳解】如圖，底面邊長和側(cè)棱長均為1的正四棱錐S﹣ABCD中，
連結(jié)AC、BD交于點O，連結(jié)SO，
則SO⊥底面ABCD，
S正方形ABCD＝AB?BC＝1×1＝1，
AO，
，
∴正四棱錐的體積：
V．

故答案為C．



反思感悟 求解正棱臺的體積時，注意棱臺的五個基本量(上、下底面邊長、高、斜高、側(cè)棱)．
常用兩種解題思路：一是把基本量轉(zhuǎn)化到直角梯形中解決問題；二是把正棱臺還原成正棱錐．利用正棱錐的有關(guān)知識來解決問題．


【變式訓(xùn)練】已知正六棱柱的高為，底面邊長為，則它的表面積為（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根據(jù)正六棱柱的高和底面邊長，求出側(cè)面面積與底面面積，然后求出表面積即可.
【詳解】由題知側(cè)面積為，
兩底面積之和為，
所以表面積.
故選：A.


考法03 簡單組合體的表面積與體積

【典例3】如圖，在幾何體中，，，，側(cè)棱，，均垂直于底面，，，，求該幾何體的體積.

【答案】96
【詳解】解：在上取點，在上取點，使得，連接，
則幾何體為直三棱柱，
因為，，，
所以，
所以是以為直角的直角三角形，
，，
則多面體是四棱錐，高為8，
所以幾何體是由三棱柱和四棱錐組合而成的，
，
，
所以該幾何體的體積為.





【變式訓(xùn)練】
如圖，已知正方體ABCD–A1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1–BB1D1D的體積為__________．

【答案】
【分析】由題意分別求得底面積和高，然后求解其體積即可.
【詳解】
如圖所示，連結(jié)，交于點，很明顯平面，
則是四棱錐的高，且，
，
結(jié)合四棱錐體積公式可得其體積為
，
故答案為.

考法04 幾何體體積的求法
【典例4】　等積變換法
如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是棱長為a的正方體，E為AA1的中點，F(xiàn)為CC1上一點，求三棱錐A1－D1EF的體積．

解　由＝，
∵＝EA1·A1D1＝a2，
又三棱錐F－A1D1E的高為CD＝a，
∴＝×a×a2＝a3，
∴＝a3.
【典例5】　分割法
如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一點到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積．

解　如圖，連接EB，EC，AC.V四棱錐E－ABCD＝×42×3＝16.

∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF.
∴V三棱錐F－EBC＝V三棱錐C－EFB
＝V三棱錐C－ABE＝V三棱錐E－ABC
＝×V四棱錐E－ABCD＝4.
∴多面體的體積V＝V四棱錐E－ABCD＋V三棱錐F－EBC＝16＋4＝20.
反思感悟
　(1)轉(zhuǎn)換頂點和底面是求三棱錐體積的一種常用的方法．
(2)對于給出的一個不規(guī)則的幾何體不能直接套用公式，常常需要運用分割法．
(3)通過識別幾何體的結(jié)構(gòu)特征，提升直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．







分層提分


題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練

一、單選題
1．正六棱柱的底面邊長為2，最長的一條對角線長為，則它的表面積為（）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正六棱柱的結(jié)構(gòu)特征，求出棱柱的高，再計算它的表面積.
【詳解】正六棱柱的底面邊長為2，最長的一條對角線長為，則高為，它的表面積為.
故選:B.
2．已知長方體全部棱長的和為，表面積為，則其體對角線的長為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用，可得對角線的長.
【詳解】設(shè)長方體的三條棱的長分別為：，
則，
可得對角線的長為．
故選：A．
3．魯班鎖起源于中國古代建筑的榨卯結(jié)構(gòu)．這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙，魯班鎖類玩具比較多，形狀和內(nèi)部的構(gòu)造各不相同，一般都是易拆難裝，如圖（1），這是一種常見的魯班鎖玩具，圖（2）是該魯班鎖玩具的直觀圖．已知該魯班鎖玩具每條棱的長均為1，則該魯班鎖玩具的表面積為（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出正八邊形的面積，再由該魯班鎖玩具的表面積為6個邊長為1的正八邊形和8個邊長為1的正三角形的面積和計算表面積即可.
【詳解】
由圖可知：該魯班鎖玩具的表面積為6個邊長為1的正八邊形和8個邊長為1的正三角形的面積和，如圖為正八邊形的平面圖，易得，作，垂足為，則，則八邊形的面積為，則該魯班鎖玩具的表面積為.
故選：A.
4．如圖，在棱長為a的正方體中，P在線段上，且，M為線段上的動點，則三棱錐的體積為（????）

A． B． C． D．與點M的位置有關(guān)
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可得點到平面MBC的距離為，，利用等體積法和三棱錐的體積公式即可求出.
【詳解】由題意知，點到平面MBC的距離為a，又，
所以點到平面MBC的距離為，
又點M在上運動，所以，
所以，
故選：A.
5．如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（????）

A．23 B．24 C．26 D．27
【答案】D
【分析】作出幾何體直觀圖，由題意結(jié)合幾何體體積公式即可得組合體的體積.
【詳解】該幾何體由直三棱柱及直三棱柱組成，作于M，如圖，
因為，所以，
因為重疊后的底面為正方形，所以,
在直棱柱中，平面BHC，則,
由可得平面，
設(shè)重疊后的EG與交點為

則
則該幾何體的體積為.
故選：D.

二、多選題
6．正三棱錐底面邊長為3，側(cè)棱長為，則下列敘述正確的是（????）
A．正三棱錐高為3 B．正三棱錐的斜高為
C．正三棱錐的體積為 D．正三棱錐的側(cè)面積為
【答案】ABD
【分析】先求出正三棱錐的高和斜高，從而可判斷AB的正誤，再計算出體積和側(cè)面積，從而可判斷CD的正誤.
【詳解】
設(shè)為等邊三角形的中心，為的中點，連接，
則為正三棱錐的高，為斜高，
又，，故,
故AB正確.
而正三棱錐的體積為，側(cè)面積為，
故C錯誤，D正確.
故選：ABD.
7．如圖，四邊形為正方形，平面，，，記三棱錐，，的體積分別為，，，則（????）

A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】利用直接法與等體積法直接計算各三棱錐的體積，進而得解.
【詳解】設(shè) ，則，，
如圖所示，

連接交于點，連接、，
則 ，， ，
故，
,
所以，，
故選：CD.

三、填空題
8．玉璧是我國傳統(tǒng)的玉禮器之一，也是“六瑞”之一，象征著吉祥等寓意.穿孔稱作“好”，邊緣器體稱作“肉”.《爾雅?釋器》“肉倍好謂之璧，好倍肉謂之璦，肉好“若一謂之環(huán)”.一般把體形扁平?周邊圓形?中心有一上下垂直相透的圓孔的器物稱為璧.如圖所示，某玉璧通高，孔徑.外徑，則該玉璧的體積為_____________

【答案】
【分析】由題意知，該玉璧的體積為底面半徑為，高為的圓柱的體積減去底面半徑為，高為的圓柱的體積，然后利用圓柱的體積公式可求得答案
【詳解】由題意知，該玉璧的體積為底面半徑為，高為的圓柱的體積減去底面半徑為，高為的圓柱的體積，
即.
故答案為：
9．如圖，一個正四棱錐（底面為正方形且側(cè)棱均相等的四棱錐）的底面的邊長為4，高與斜高的夾角為30°，則正四棱錐的側(cè)面積為___________.

【答案】32
【分析】根據(jù)正棱錐中高與斜高的夾角求出斜高的長，即可求出側(cè)面積.
【詳解】在正四面體中易知，是正棱錐的高，是正棱錐的斜高，
, ,
,
，
故答案為：32
10．側(cè)面均為面積為4的正方形的正三棱柱的表面積為______．
【答案】##
【分析】根據(jù)題意可判斷該正三棱柱的所有棱長都為2，進而可求表面積.
【詳解】如圖，四邊形均為正方形，故該三棱柱的所有棱長均為2，故側(cè)面積為，底面積之和為，
故表面積為，
故答案為：

11．已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且它們的長度分別為1，1，，則此三棱錐的高為_________．
【答案】
【分析】將圖形還原為長方體，進而通過等積法得到答案.
【詳解】如圖1，將三棱錐P-ABC還原為長方體PADB-CQRS，

由題意可知，，
設(shè)P到平面ABC的距離為d，如圖2，M為BA中點，則CM⊥BA，

由勾股定理可知，，所以，
所以，由.
故答案為：.

四、解答題
12．已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為4和8的正方形，側(cè)面是腰長為8的等腰梯形，求該四棱臺的表面積.
【答案】
【解析】首先求出四棱臺上、下底面面積與側(cè)面面積，然后求出表面積即可.
【詳解】如圖，

在四棱臺中，
過作，垂足為，
在中，，，
故，
所以，
故四棱臺的側(cè)面積，
所以四棱臺的表面積.
【點睛】本題考查了四棱臺的表面積，屬于基礎(chǔ)題.
13．用一張正方形的紙把一個棱長為1的正方體禮品盒完全包住，不將紙撕開，求所需紙的最小面積．
【答案】8
【分析】把正方體的表面展開，得到5個邊長為1的正方形組成十字形，并在四端加上四個斜邊為1的等腰直角三角形，就可以包住棱長為1的正方體，直接求面積即可.
【詳解】如圖①為棱長為1的正方體禮品盒，先把正方體的表面按圖所示方式展成平面圖形，再把平面圖形盡可能拼成面積較小的正方形，如圖②所示，由圖知正方形的邊長為，其面積為8．
????
圖①?????????????????圖②
14．如圖所示，在長方體中，，，且E為中點．求到平面的距離．

【答案】．
【分析】根據(jù)，結(jié)合錐體的體積公式，準確運算，即可求解.
【詳解】由題意，可得長方體中，，，
所以．
設(shè)到平面的距離為，則．
在直角中，由勾股定理得，
所以，
所以，解得，
即到平面的距離為．
題組B 能力提升練

一、單選題
1．如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的表面積為（????）

A． B． C．8 D．12
【答案】B
【分析】首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，然后求解其表面積即可.
【詳解】由題意知，
該幾何體是一個由8個全等的正三角形圍成的多面體，
正三角形的邊長為：，
正三角形邊上的一條高為：，
所以一個正三角形的面積為：，
所以多面體的表面積為：.
故選：B
2．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)三視圖得到該幾何體是長方體中挖去了一個圓錐，結(jié)合題意可知長方體的長、寬、高和圓錐的底面圓的半徑和高，再由體積公式求解，即可得到答案.
【詳解】由三視圖知，此幾何體是長方體中挖去了一個圓錐，
其中長方體的長為2，寬為2，高為3，
圓錐的底面圓的半徑為，高為，
所以幾何體的體積為：
，
故選：B.
3．將一個斜邊為2的等腰直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意旋轉(zhuǎn)后的幾何體圓錐，由題意求出其底面半徑和高，從而可得出答案.
【詳解】設(shè)為斜邊為2的等腰直角三角，將其繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周形成圓錐，如圖
則,
則圓錐的底面圓的半徑為 ，高為
所以其體積為
故選：C

4．下圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖，若兩個半圓的半徑分別是1和2，則該圓臺的體積是（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先計算出上下底面的半徑和面積，再求出圓臺的高，按照圓臺體積公式計算即可.
【詳解】
如圖，設(shè)上底面的半徑為，下底面的半徑為，高為，母線長為，則，，解得，
，，
設(shè)上底面面積為，下底面面積為，
則體積為.
故選：B.
5．正三棱錐P﹣ABC的三條棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為（　?。?br /> A．1：3 B．1： C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)側(cè)棱長為，用補形法求得外接球的半徑，用體積法求得內(nèi)切球的半徑后即可得．
【詳解】三棱錐擴展為長方體（本題實質(zhì)上是正方體），它的對角線的長度，就是球的直徑，
設(shè)側(cè)棱長為a，則它的對角線的長度為a，外接球的半徑為，
再設(shè)正三棱錐內(nèi)切球的半徑為r，正三棱錐底面邊長為，設(shè)是內(nèi)切球球心，則到棱錐四個面的距離都等于，
根據(jù)三棱錐的體積的兩種求法，得，
，
∴該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為．
故選：D．

6．用半徑為2，弧長為的扇形紙片卷成一個圓錐，則這個圓錐的體積等于（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用扇形的弧長求出圓錐底面的半徑，繼而求解圓錐的高，再利用圓錐的體積公式即得解
【詳解】令圓錐底面半徑為，則，因此
圓錐的高為：
圓錐的體積
故選：B
【點睛】本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖的面積及圓錐的體積，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題

二、多選題
7．正三棱錐的外接球半徑為2，底面邊長為，則此三棱錐的體積為（????）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】首先設(shè)三棱錐的外接球的球心為，三角形的中心為，得到，再分類討論求解三棱錐體積即可。
【詳解】設(shè)三棱錐的外接球的球心為，三角形的中心為，
由題知：，解得.
當外接球球心在線段上時，如圖所示：

，，
所以.
當外接球球心在線段的延長線上時，如圖所示：

，，
所以.
故選：AB
8．如圖，在多面體中，四邊形，，均是邊長為1的正方形，點在棱上，則（????）

A．該幾何體的體積為 B．點在平面內(nèi)的射影為的垂心
C．的最小值為 D．存在點，使得
【答案】BD
【分析】將幾何體補形為正方體，根據(jù)正方體與棱錐體積差判斷A，由棱錐側(cè)棱長相等、底面為正三角形確定定點射影的位置判斷B，根據(jù)展開圖及余弦定理判斷C，由正方形對角線垂直可判斷D.
【詳解】由題意，可將該幾何體補成正方體，如圖，

則該幾何體的體積為正方體體積去掉一個三棱錐的體積，所以，故A錯誤；
由題意知，為等邊三角形，因為，所以點在平面內(nèi)的射影為的外心，即的中心，故B正確；
把所在面沿折起，當四點共面時，連接，則的最小值即為的長，由余弦定理知，，故，即的最小值為，故C錯誤；
四邊形為正方形，， ，當與重合時，，故D正確.
故選：BD

三、填空題
9．若正四棱柱的底面邊長為5，側(cè)棱長為4，則此正四棱柱的體積為______．
【答案】100
【分析】根據(jù)棱柱體積公式直接可得.
【詳解】
故答案為：100
10．已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為4和8的正方形，側(cè)面是腰長為8的等腰梯形，則該四棱臺的表面積為________．
【答案】
【分析】分別算側(cè)面等腰梯形的面積及上下兩底面面積，然后再求和.
【詳解】如圖，在四棱臺中，過點作，垂足為點，在中，，故，

所以，
故四棱臺的側(cè)面積，
所以．
故答案為：
11．正多面體被古希臘圣哲認為是構(gòu)成宇宙的基本元素，加上它們的多種變體，一直是科學(xué)、藝術(shù)、哲學(xué)靈感的源泉之一.如圖，該幾何體是一個棱長為2的正八面體，則此正八面體的體積與表面積之比為___________.

【答案】##
【分析】根據(jù)給定條件求出正八面體的表面積和體積即可計算作答.
【詳解】正八面體的表面是8個全等的正三角形組成，其中正邊長為2，
則正八面體的表面積，
而正八面體可視為兩個共底面的，側(cè)棱長與底面邊長相等的正四棱錐與拼接而成，
正四棱錐的高，
則正八面體的體積，
于是得，
所以正八面體的體積與表面積之比為.
故答案為：
12．正三棱臺上下底面的邊長為1，2，斜高為1，則其體積為______．
【答案】##
【分析】如圖，設(shè)上下底面中心分別為，分別為的中點，過點作于點，利用勾股定理求出，即棱臺的高，再根據(jù)臺體的體積公式即可得解.
【詳解】解：如圖，設(shè)上下底面中心分別為，分別為的中點，
則即為斜高，
過點作于點，
則，
，
所以，
所以，
上底面面積，
下底面面積，
所以棱臺的體積.
故答案為：.


四、解答題
13．已知某個三棱柱的底面是正三角形，側(cè)棱垂直于底面，它的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形，求它的表面積．
【答案】或．
【分析】分兩種情況，求出底面積，從而求出表面積.
【詳解】由題意可知該三棱柱為正三棱柱，
∵正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形，
∴有如下兩種情況：
①6是底面周長，4是三棱柱的高，
此時正三角形邊長為2，
此底面積，
表面積；
②4是底面周長，6是三棱柱的高，
此時正三角形邊長為，
此時底面積，
表面積．
所以該三棱柱的表面積是或．.


題組C 培優(yōu)拔尖練
1．我國已出現(xiàn)了用3D打印技術(shù)打印出來的房子，其耗時只有幾個小時，其中有一尺寸如圖所示的房子．不計屋檐，求其表面積和體積．

【答案】，.
【分析】根據(jù)實體圖，得出如圖所示空間幾何體，上面是三棱柱和下面是長方體的組合體，進行計算即可得解.
【詳解】
如圖所示，該房子的幾何圖形為，上面是三棱柱和下面是長方體的組合體，
由，，
所以，
可得，
所以，
所以底下長方體的面積為，
上面三棱柱的面積為，
所以房子的表面積為，
體積.

2．正四棱臺兩底面邊長分別為和.

（1）若側(cè)棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為，求棱臺的側(cè)面積；
（2）若棱臺的側(cè)面積等于兩底面面積之和，求它的高.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）設(shè)、分別為上、下底面的中心，過作于，過作于，連接，則為正四棱臺的斜高，求出斜高即可求出側(cè)面積；
（2）求出側(cè)面積，即可求出斜高，即可由勾股定理求出高.
【詳解】（1）如圖，設(shè)、分別為上、下底面的中心，過作于，過作于，連接，則為正四棱臺的斜高，?????

由題意知，，
又，
∴斜高，???
∴；????
（2）由題意知，，∴，???
∴，又，.
3．一個圓臺，上底面面積為，下底面面積為，母線長為6.求圓臺的體積.
【答案】
【分析】畫出圓臺的軸截面，利用已知數(shù)據(jù)結(jié)合勾股定理即可求出圓臺的高，再根據(jù)圓臺體積公式求解即可．
【詳解】解：圓臺的軸截面如圖所示：

上底面面積為，下底面面積為，則上底面圓半徑，下底面圓半徑為，圓臺母線長為，
為高，過作于，則，
在△中，，，
，
所以該圓臺的體積為．
4．某市政府為確保在“十四五”開局之年做好城市基礎(chǔ)設(shè)施配套建設(shè)，優(yōu)化公園環(huán)境，方便市民休閑活動．計劃在城市公園內(nèi)的一條小河上建造一座橋，如圖為建造該橋所用的鋼筋混凝土預(yù)制件模型（該模型是由一個長方體挖去一個直四棱柱而成）及尺寸（單位：米）

（Ⅰ）問：澆制一個這樣的預(yù)制件需要多少立方米混凝士（鋼筋體積略去不計）？
（Ⅱ）為防止該預(yù)制件橋梁風(fēng)化腐蝕，需要在其表面涂上一層保護液（假定保護液涂層均勻、單位面積使用的保護液一定），為合理購買保護液數(shù)量，請計算該預(yù)制件的表面積是多少？
注：，結(jié)果精確到0.01．
【答案】（Ⅰ）11.34立方米；（Ⅱ）81.72平方米.
【分析】（Ⅰ）由題知該預(yù)制件是由一個長方體挖去一個底面為等腰梯形的直四棱柱后剩下的幾何體，利用柱體體積公式即求；
（Ⅱ）利用公式求該幾何體的表面積即可.
【詳解】（Ⅰ）由題意，該預(yù)制件是由一個長方體挖去一個底面為等腰梯形的直四棱柱后剩下的幾何體，
則所求混凝土的量等價于該幾何體的體積，
因為，
所以（立方米），
故澆制一個這樣的預(yù)制件需要11.34立方米混凝土；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，該預(yù)制件底面面積為，
其余側(cè)面均為長方形，且，，
，
，
所有側(cè)面面積之和為
，
所以該預(yù)制件的表面積是（平方米）．